Differences
This shows you the differences between two versions of the page.
| Both sides previous revision Previous revision | |||
| 전산물리학:변분법 [2025/03/14 12:52] – [함께 보기] admin | 전산물리학:변분법 [2025/03/14 13:11] (current) – [예제] admin | ||
|---|---|---|---|
| Line 25: | Line 25: | ||
| =====예제===== | =====예제===== | ||
| + | |||
| + | 푸아송 방정식 $\nabla^2 V = -\rho_0 = const.$가 2차원 공간 $\Omega \equiv [-1,1] \times [-1, | ||
| + | 시험 함수 $\Phi$를 아래의 기저로 나타내자: | ||
| + | $$u_{mn} = \left(1-x^2 \right) \left(1-y^2 \right) \left( x^{2m} y^{2n} + x^{2n} y^{2m} \right).$$ | ||
| + | 여기에서 $m,n = 0, | ||
| + | 1차 근사로서 $m=n=0$인 하나의 기저만 사용해보자. 그러면 시험 해는 $\Phi = a_1 u_1$이며, 변분법을 활용하기 위해 이를 적분에 집어 넣으면 | ||
| + | \begin{eqnarray*} | ||
| + | J &=& \frac{1}{2} \int_\Omega \left| \nabla \Phi \right|^2 dA - \int_\Omega \rho_0 \Phi ~dA\\ | ||
| + | &=& \frac{a_1^2}{2} \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \left[ 4x^2 \left(1-y^2\right)^2 + \left(1-x^2\right) 4y^2 \right] dx dy - \rho_0 a_1 \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \left(1-x^2\right) \left(1-y^2\right) dx dy\\ | ||
| + | &=& \frac{128}{45} a_1^2 - \frac{16}{9} \rho_0 a_1. | ||
| + | \end{eqnarray*} | ||
| + | $a_1$에 대한 이 이차함수의 최소를 구해보면 $a_1 = \frac{5}{16} \rho_0$임을 얻는다. | ||
| + | |||
| + | $m=n=1$인 기저까지 활용해서 | ||
| + | $\Phi = a_1 \left(1-x^2 \right) \left(1-y^2 \right) + a_2 \left(1-x^2 \right) \left(1-y^2 \right) \left( x^2 y^2 + x^2 y^2 \right)$로도 연습하고 해의 모양이 얼마나 바뀌었는지 확인해볼 수 있다. | ||
| + | 답은 $a_1 = \frac{1295}{4432} \rho_0$와 $a_2 = \frac{525}{8864} \rho_0$이다. | ||
| ======양자역학에서====== | ======양자역학에서====== | ||