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--- 전산물리학:변분법 [2018/07/10 16:29] – [예제] admin
+++ 전산물리학:변분법 [2025/03/14 13:11] (current) – [예제] admin
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-======변분을 통해 에너지 준위 찾기======
+======전자기학에서======
+경계 $\Gamma$로 둘러싸인 공간 $\Omega$에서 푸아송 방정식
+$$\nabla^2 u = -f$$
+이 정의되어 있다. 디리클레 경계조건 $\left. u \right|_\Gamma = u_0$ 혹은 노이만 경계조건 $\left. \partial u / \partial n \right|_\Gamma = \nabla u \cdot \hat{n} = 0$이 만족된다고 가정한다. 이러한 $u$를 찾는 것은 다음 적분을 최소화하는 해 $u = \arg\min_{w} J\left[w\right]$를 찾는 것과 동치이다.
+$$J\left[w\right] \equiv \frac{1}{2} \int_\Omega \left| \nabla w \right|^2 - \int_\Omega f w ~dA.$$
+우리의 추정해인 $w$가 그러한 답 $u$에서 벗어난 정도가 $v$라고 하자. 경계조건을 만족해야 하므로 디리클레라면 $\left. v \right|_\Gamma = 0$일 것이다.
+적분을 해보면
+\begin{eqnarray*}
+J\left[ u+v \right] &=& \frac{1}{2} \int_\Omega \left| \nabla u \right|^2 dA - \int_\Omega fu ~dA\\
+&&+\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v ~dA - \int_\Omega fv ~dA\\
+&& + \frac{1}{2} \int_\Omega \left| \nabla v \right|^2 dA
+\end{eqnarray*}
+여기에서 세 번째와 네 번째 항을 따로 적어보자. 발산정리를 활용하면 다음처럼 고쳐 쓸 수 있다:
+\begin{eqnarray*}
+\delta J &=& \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v ~dA - \int_\Omega fv ~dA\\
+&=& \int_\Omega \nabla \cdot \left( v\nabla u \right) dA - \int_\Omega v \nabla^2 u ~dA - \int_\Omega fv ~dA\\
+&=& \int_\Gamma v \nabla u \cdot \hat{n} dl + \int_\Omega v \left(\nabla^2 u - f\right) ~dA.
+\end{eqnarray*}
+두 항 모두 0임을 알 수 있다. 따라서 다음 결론을 얻는다:
+\begin{eqnarray*}
+J\left[ u+v \right] &=& \frac{1}{2} \int_\Omega \left| \nabla u \right|^2 dA - \int_\Omega fu ~dA + \frac{1}{2} \int_\Omega \left| \nabla v \right|^2 dA\\
+&\ge& \frac{1}{2} \int_\Omega \left| \nabla u \right|^2 dA - \int_\Omega fu ~dA\\
+&=& J\left[ u \right].
+\end{eqnarray*}
+=====예제=====
+푸아송 방정식 $\nabla^2 V = -\rho_0 = const.$가 2차원 공간 $\Omega \equiv [-1,1] \times [-1,1]$에서 정의되어 있다. 경계조건은 $V(\pm 1, y) = V(x, \pm 1)=0$이다.
+시험 함수 $\Phi$를 아래의 기저로 나타내자:
+$$u_{mn} = \left(1-x^2 \right) \left(1-y^2 \right) \left( x^{2m} y^{2n} + x^{2n} y^{2m} \right).$$
+여기에서 $m,n = 0,1,2,\ldots$이다.
+차 근사로서 $m=n=0$인 하나의 기저만 사용해보자. 그러면 시험 해는 $\Phi = a_1 u_1$이며, 변분법을 활용하기 위해 이를 적분에 집어 넣으면
+\begin{eqnarray*}
+J &=& \frac{1}{2} \int_\Omega \left| \nabla \Phi \right|^2 dA - \int_\Omega \rho_0 \Phi ~dA\\
+&=& \frac{a_1^2}{2} \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \left[ 4x^2 \left(1-y^2\right)^2 + \left(1-x^2\right) 4y^2 \right] dx dy - \rho_0 a_1 \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \left(1-x^2\right) \left(1-y^2\right) dx dy\\
+&=& \frac{128}{45} a_1^2 - \frac{16}{9} \rho_0 a_1.
+\end{eqnarray*}
+$a_1$에 대한 이 이차함수의 최소를 구해보면 $a_1 = \frac{5}{16} \rho_0$임을 얻는다.
+$m=n=1$인 기저까지 활용해서
+$\Phi = a_1 \left(1-x^2 \right) \left(1-y^2 \right) +  a_2 \left(1-x^2 \right) \left(1-y^2 \right) \left( x^2 y^2 + x^2 y^2 \right)$로도 연습하고 해의 모양이 얼마나 바뀌었는지 확인해볼 수 있다.
+답은 $a_1 = \frac{1295}{4432} \rho_0$와 $a_2 = \frac{525}{8864} \rho_0$이다.
+======양자역학에서======
+=====변분을 통해 에너지 준위 찾기=====
 차원의 시간 무관 슈뢰딩거 방정식 $H \psi_n = E_n \psi_n$을 고려하자 ($n=0,1,2,\ldots$).
 임의의 파동함수 $\psi$에 대해 에너지의 기대값은
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 으로 하면 될 것이다.
-======라그랑주 곱수의 사용======
+=====라그랑주 곱수의 사용=====
 실제 계산에서는 라그랑주 곱수를 사용해서 $E$의 분모에 표현된 규격화 조건을 유지하면서 분자를 최소화하는 쪽이 더 간편하다. 변분의 표현으로는
 $$\delta \left( \int \psi^\ast H \psi ~dx - \epsilon \int \psi^\ast \psi ~dx \right) = 0,$$
-$$\left( \int \delta\psi^\ast (H-\epsilon) \psi ~dx + \int \psi^\ast (H-\epsilon) \delta \psi ~dx \right) = 0.$$
+$$\int \delta\psi^\ast (H-\epsilon) \psi ~dx + \int \psi^\ast (H-\epsilon) \delta \psi ~dx = 0.$$
-여기에서 $H \psi = \epsilon \psi$가 나오므로 라그랑주 곱스의 물리적 의미는 에너지 고유값이다.
+여기에서 $H \psi = \epsilon \psi$가 나오므로 라그랑주 곱수의 물리적 의미는 에너지 고유값이다.
-======기저함수로 전개======
+=====기저함수로 전개=====
 라그랑주 곱수를 사용해 범함수
 $$G[\psi] = \int \psi^\ast H \psi ~dx - \epsilon \int \psi^\ast \psi ~dx$$
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-======예제======
+=====예제=====
 입자가 $0<x<L$의 상자 안에 갇혀있고 상자에는 $V(x) = V_0 \frac{x}{L} \left( \frac{x}{L}-1 \right)$의 퍼텐셜이 걸려있다.
 해밀토니안은 다음처럼 주어지고
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 이제 코드를 적어보자.
-<Code:python linenums>
+<code:python>
 from __future__ import print_function,division
 from math import pi
 from numpy import array, empty
 from numpy.linalg import eigvalsh # symmetric or hermitian
 hbar = 1.0546e-34 # Planck constant / (2*pi)
 m, eV = 9.1094e-31, 1.6022e-19 # electron mass and 1eV = 1.6022e-19J
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 V0 = 10**4*eV
 H = empty([N,N], float)
 for n in range(N):
     for k in range(N):
@@ Line 80: / Line 126: @@
 e = eigvalsh(H)
 print(e/eV) # output in units of eV
-</Code>
+</code>
 위 코드의 변분법으로는 $N=10$개의 기저함수만을 사용해도 $E_0 \approx -2128.8767 eV$를 얻는다. 같은 상수값들을 가지고 [[:전산물리학:사격법]]을 사용할 경우 $E_0 \approx -2128.879 eV$를 얻는다. 분명 변분법의 결과가 더 크기는 하지만 그 차이는 매우 작다.
+======함께 보기======
+  * [[수학:범함수]]
+  * [[전산물리학:모멘트법]]
+  * [[전산물리학:유한요소법]]
 ======참고문헌======
   * http://www.fisica.uniud.it/~giannozz/Corsi/MQ/LectureNotes/mq.pdf
+  * https://ocw.mit.edu/courses/16-920j-numerical-methods-for-partial-differential-equations-sma-5212-spring-2003/b08aec3e6f8cd87891d84d05b6d7a5eb_lecs13_14_notes.pdf
+  * Karl E. Lonngren, Sava V. Savov, and Randy J. Jost, //Fundamentals of Electromagnetics with MATLAB//, (SciTech Publishing, 2007).
+  * Matthew N.O. Sadiku, //Computational Electromagnetics with MATLAB//, (CRC Press, Boca Raton, FL, 2019).