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| 전산물리학:변분법 [2020/10/13 19:17] – [참고문헌] admin | 전산물리학:변분법 [2025/03/14 13:11] (current) – [예제] admin | ||
|---|---|---|---|
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| - | ======변분을 통해 에너지 준위 찾기====== | + | ======전자기학에서====== |
| + | 경계 $\Gamma$로 둘러싸인 공간 $\Omega$에서 푸아송 방정식 | ||
| + | $$\nabla^2 u = -f$$ | ||
| + | 이 정의되어 있다. 디리클레 경계조건 $\left. u \right|_\Gamma = u_0$ 혹은 노이만 경계조건 $\left. \partial u / \partial n \right|_\Gamma = \nabla u \cdot \hat{n} = 0$이 만족된다고 가정한다. 이러한 $u$를 찾는 것은 다음 적분을 최소화하는 해 $u = \arg\min_{w} J\left[w\right]$를 찾는 것과 동치이다. | ||
| + | $$J\left[w\right] \equiv \frac{1}{2} \int_\Omega \left| \nabla w \right|^2 - \int_\Omega f w ~dA.$$ | ||
| + | 우리의 추정해인 $w$가 그러한 답 $u$에서 벗어난 정도가 $v$라고 하자. 경계조건을 만족해야 하므로 디리클레라면 $\left. v \right|_\Gamma = 0$일 것이다. | ||
| + | 적분을 해보면 | ||
| + | \begin{eqnarray*} | ||
| + | J\left[ u+v \right] &=& \frac{1}{2} \int_\Omega \left| \nabla u \right|^2 dA - \int_\Omega fu ~dA\\ | ||
| + | && | ||
| + | && + \frac{1}{2} \int_\Omega \left| \nabla v \right|^2 dA | ||
| + | \end{eqnarray*} | ||
| + | 여기에서 세 번째와 네 번째 항을 따로 적어보자. 발산정리를 활용하면 다음처럼 고쳐 쓸 수 있다: | ||
| + | \begin{eqnarray*} | ||
| + | \delta J &=& \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v ~dA - \int_\Omega fv ~dA\\ | ||
| + | &=& \int_\Omega \nabla \cdot \left( v\nabla u \right) dA - \int_\Omega v \nabla^2 u ~dA - \int_\Omega fv ~dA\\ | ||
| + | &=& \int_\Gamma v \nabla u \cdot \hat{n} dl + \int_\Omega v \left(\nabla^2 u - f\right) ~dA. | ||
| + | \end{eqnarray*} | ||
| + | 두 항 모두 0임을 알 수 있다. 따라서 다음 결론을 얻는다: | ||
| + | \begin{eqnarray*} | ||
| + | J\left[ u+v \right] &=& \frac{1}{2} \int_\Omega \left| \nabla u \right|^2 dA - \int_\Omega fu ~dA + \frac{1}{2} \int_\Omega \left| \nabla v \right|^2 dA\\ | ||
| + | & | ||
| + | &=& J\left[ u \right]. | ||
| + | \end{eqnarray*} | ||
| + | |||
| + | =====예제===== | ||
| + | |||
| + | 푸아송 방정식 $\nabla^2 V = -\rho_0 = const.$가 2차원 공간 $\Omega \equiv [-1,1] \times [-1, | ||
| + | 시험 함수 $\Phi$를 아래의 기저로 나타내자: | ||
| + | $$u_{mn} = \left(1-x^2 \right) \left(1-y^2 \right) \left( x^{2m} y^{2n} + x^{2n} y^{2m} \right).$$ | ||
| + | 여기에서 $m,n = 0, | ||
| + | 1차 근사로서 $m=n=0$인 하나의 기저만 사용해보자. 그러면 시험 해는 $\Phi = a_1 u_1$이며, 변분법을 활용하기 위해 이를 적분에 집어 넣으면 | ||
| + | \begin{eqnarray*} | ||
| + | J &=& \frac{1}{2} \int_\Omega \left| \nabla \Phi \right|^2 dA - \int_\Omega \rho_0 \Phi ~dA\\ | ||
| + | &=& \frac{a_1^2}{2} \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \left[ 4x^2 \left(1-y^2\right)^2 + \left(1-x^2\right) 4y^2 \right] dx dy - \rho_0 a_1 \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \left(1-x^2\right) \left(1-y^2\right) dx dy\\ | ||
| + | &=& \frac{128}{45} a_1^2 - \frac{16}{9} \rho_0 a_1. | ||
| + | \end{eqnarray*} | ||
| + | $a_1$에 대한 이 이차함수의 최소를 구해보면 $a_1 = \frac{5}{16} \rho_0$임을 얻는다. | ||
| + | |||
| + | $m=n=1$인 기저까지 활용해서 | ||
| + | $\Phi = a_1 \left(1-x^2 \right) \left(1-y^2 \right) + a_2 \left(1-x^2 \right) \left(1-y^2 \right) \left( x^2 y^2 + x^2 y^2 \right)$로도 연습하고 해의 모양이 얼마나 바뀌었는지 확인해볼 수 있다. | ||
| + | 답은 $a_1 = \frac{1295}{4432} \rho_0$와 $a_2 = \frac{525}{8864} \rho_0$이다. | ||
| + | ======양자역학에서====== | ||
| + | |||
| + | =====변분을 통해 에너지 준위 찾기===== | ||
| 1차원의 시간 무관 슈뢰딩거 방정식 $H \psi_n = E_n \psi_n$을 고려하자 ($n=0, | 1차원의 시간 무관 슈뢰딩거 방정식 $H \psi_n = E_n \psi_n$을 고려하자 ($n=0, | ||
| 임의의 파동함수 $\psi$에 대해 에너지의 기대값은 | 임의의 파동함수 $\psi$에 대해 에너지의 기대값은 | ||
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| 으로 하면 될 것이다. | 으로 하면 될 것이다. | ||
| - | ======라그랑주 곱수의 사용====== | + | =====라그랑주 곱수의 사용===== |
| 실제 계산에서는 라그랑주 곱수를 사용해서 $E$의 분모에 표현된 규격화 조건을 유지하면서 분자를 최소화하는 쪽이 더 간편하다. 변분의 표현으로는 | 실제 계산에서는 라그랑주 곱수를 사용해서 $E$의 분모에 표현된 규격화 조건을 유지하면서 분자를 최소화하는 쪽이 더 간편하다. 변분의 표현으로는 | ||
| $$\delta \left( \int \psi^\ast H \psi ~dx - \epsilon \int \psi^\ast \psi ~dx \right) = 0,$$ | $$\delta \left( \int \psi^\ast H \psi ~dx - \epsilon \int \psi^\ast \psi ~dx \right) = 0,$$ | ||
| Line 24: | Line 68: | ||
| 여기에서 $H \psi = \epsilon \psi$가 나오므로 라그랑주 곱수의 물리적 의미는 에너지 고유값이다. | 여기에서 $H \psi = \epsilon \psi$가 나오므로 라그랑주 곱수의 물리적 의미는 에너지 고유값이다. | ||
| - | ======기저함수로 전개====== | + | =====기저함수로 전개===== |
| 라그랑주 곱수를 사용해 범함수 | 라그랑주 곱수를 사용해 범함수 | ||
| $$G[\psi] = \int \psi^\ast H \psi ~dx - \epsilon \int \psi^\ast \psi ~dx$$ | $$G[\psi] = \int \psi^\ast H \psi ~dx - \epsilon \int \psi^\ast \psi ~dx$$ | ||
| Line 44: | Line 88: | ||
| - | ======예제====== | + | =====예제===== |
| 입자가 $0< | 입자가 $0< | ||
| 해밀토니안은 다음처럼 주어지고 | 해밀토니안은 다음처럼 주어지고 | ||
| Line 59: | Line 103: | ||
| 이제 코드를 적어보자. | 이제 코드를 적어보자. | ||
| - | <Code:python> | + | <code:python> |
| from __future__ import print_function, | from __future__ import print_function, | ||
| from math import pi | from math import pi | ||
| Line 82: | Line 126: | ||
| e = eigvalsh(H) | e = eigvalsh(H) | ||
| print(e/eV) # output in units of eV | print(e/eV) # output in units of eV | ||
| - | </Code> | + | </code> |
| 위 코드의 변분법으로는 $N=10$개의 기저함수만을 사용해도 $E_0 \approx -2128.8767 eV$를 얻는다. 같은 상수값들을 가지고 [[: | 위 코드의 변분법으로는 $N=10$개의 기저함수만을 사용해도 $E_0 \approx -2128.8767 eV$를 얻는다. 같은 상수값들을 가지고 [[: | ||
| ======함께 보기====== | ======함께 보기====== | ||
| - | [[수학: | + | * [[수학: |
| + | * [[전산물리학: | ||
| + | * [[전산물리학: | ||
| ======참고문헌====== | ======참고문헌====== | ||
| * http:// | * http:// | ||
| + | * https:// | ||
| + | * Karl E. Lonngren, Sava V. Savov, and Randy J. Jost, // | ||
| + | * Matthew N.O. Sadiku, // | ||