전산물리학:유한요소법

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전산물리학:유한요소법 [2025/09/29 13:18] – [목적함수의 최소화] admin전산물리학:유한요소법 [2025/09/30 09:48] (current) – [요소들의 합] admin
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 전체 목적함수는 개개의 요소에 대한 값들을 더함으로써 얻어진다. 즉 전체 요소 수를 $N$개라고 하면 다음과 같다. 전체 목적함수는 개개의 요소에 대한 값들을 더함으로써 얻어진다. 즉 전체 요소 수를 $N$개라고 하면 다음과 같다.
-$$W = \sum_{e=1}^N = W^{(e)}$$+$$W = \sum_{e=1}^N W^{(e)}$$
 세 개의 요소로 이루어진 간단한 예를 생각해보자. 세 개의 요소로 이루어진 간단한 예를 생각해보자.
  
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 && V_2^{(2)} = V_1^{(3)} = V_3\\ && V_2^{(2)} = V_1^{(3)} = V_3\\
 && V_2^{(3)} = V_5 && V_2^{(3)} = V_5
 +\end{eqnarray*}
 +
 +따라서 전체 목적함수는 다음처럼 계산된다.
 +\begin{eqnarray*}
 +2W/\epsilon_0 &=&
 +\begin{pmatrix}
 +V_1^{(1)} & V_2^{(1)} & V_3^{(1)}
 +\end{pmatrix}
 +\begin{pmatrix}
 +C_{11}^{(1)} & C_{12}^{(1)} & C_{13}^{(1)}\\
 +C_{21}^{(1)} & C_{22}^{(1)} & C_{23}^{(1)}\\
 +C_{31}^{(1)} & C_{32}^{(1)} & C_{33}^{(1)}
 +\end{pmatrix}
 +\begin{pmatrix}
 +V_1^{(1)} \\ V_2^{(1)} \\ V_3^{(1)}
 +\end{pmatrix}\\
 +&+& 
 +\begin{pmatrix}
 +V_1^{(2)} & V_2^{(2)} & V_3^{(2)}
 +\end{pmatrix}
 +\begin{pmatrix}
 +C_{11}^{(2)} & C_{12}^{(2)} & C_{13}^{(2)}\\
 +C_{21}^{(2)} & C_{22}^{(2)} & C_{23}^{(2)}\\
 +C_{31}^{(2)} & C_{32}^{(2)} & C_{33}^{(2)}
 +\end{pmatrix}
 +\begin{pmatrix}
 +V_1^{(2)} \\ V_2^{(2)} \\ V_3^{(2)}
 +\end{pmatrix}\\
 +&+& 
 +\begin{pmatrix}
 +V_1^{(3)} & V_2^{(3)} & V_3^{(3)}
 +\end{pmatrix}
 +\begin{pmatrix}
 +C_{11}^{(3)} & C_{12}^{(3)} & C_{13}^{(3)}\\
 +C_{21}^{(3)} & C_{22}^{(3)} & C_{23}^{(3)}\\
 +C_{31}^{(3)} & C_{32}^{(3)} & C_{33}^{(3)}
 +\end{pmatrix}
 +\begin{pmatrix}
 +V_1^{(3)} \\ V_2^{(3)} \\ V_3^{(3)}
 +\end{pmatrix}\\
 +&=& \left[ V_1^{(1)} C_{11}^{(1)} V_1^{(1)} + V_1^{(1)} C_{12}^{(1)} V_2^{(1)} + V_1^{(1)} C_{13}^{(1)} V_3^{(1)} \right]\\
 +&+& \left[ V_2^{(1)} C_{21}^{(1)} V_1^{(1)} + V_2^{(1)} C_{22}^{(1)} V_2^{(1)} + V_2^{(1)} C_{23}^{(1)} V_3^{(1)} \right]\\
 +&+& \left[ V_3^{(1)} C_{31}^{(1)} V_1^{(1)} + V_3^{(1)} C_{32}^{(1)} V_2^{(1)} + V_3^{(1)} C_{33}^{(1)} V_3^{(1)} \right]\\
 +&+& \left[ V_1^{(2)} C_{11}^{(2)} V_1^{(2)} + V_1^{(2)} C_{12}^{(2)} V_2^{(2)} + V_1^{(2)} C_{13}^{(2)} V_3^{(2)} \right]\\
 +&+& \left[ V_2^{(2)} C_{21}^{(2)} V_1^{(2)} + V_2^{(2)} C_{22}^{(2)} V_2^{(2)} + V_2^{(2)} C_{23}^{(2)} V_3^{(2)} \right]\\
 +&+& \left[ V_3^{(2)} C_{31}^{(2)} V_1^{(2)} + V_3^{(2)} C_{32}^{(2)} V_2^{(2)} + V_3^{(2)} C_{33}^{(2)} V_3^{(2)} \right]\\
 +&+& \left[ V_1^{(3)} C_{11}^{(3)} V_1^{(3)} + V_1^{(3)} C_{12}^{(3)} V_2^{(3)} + V_1^{(3)} C_{13}^{(3)} V_3^{(3)} \right]\\
 +&+& \left[ V_2^{(3)} C_{21}^{(3)} V_1^{(3)} + V_2^{(3)} C_{22}^{(3)} V_2^{(3)} + V_2^{(3)} C_{23}^{(3)} V_3^{(3)} \right]\\
 +&+& \left[ V_3^{(3)} C_{31}^{(3)} V_1^{(3)} + V_3^{(3)} C_{32}^{(3)} V_2^{(3)} + V_3^{(3)} C_{33}^{(3)} V_3^{(3)} \right]\\
 +&=& \left[ V_1 C_{11}^{(1)} V_1 + V_1 C_{12}^{(1)} V_4 + V_1 C_{13}^{(1)} V_2 \right]\\
 +&+& \left[ V_4 C_{21}^{(1)} V_1 + V_4 C_{22}^{(1)} V_4 + V_4 C_{23}^{(1)} V_2 \right]\\
 +&+& \left[ V_2 C_{31}^{(1)} V_1 + V_2 C_{32}^{(1)} V_4 + V_2 C_{33}^{(1)} V_2 \right]\\
 +&+& \left[ V_1 C_{11}^{(2)} V_1 + V_1 C_{12}^{(2)} V_3 + V_1 C_{13}^{(2)} V_4 \right]\\
 +&+& \left[ V_3 C_{21}^{(2)} V_1 + V_3 C_{22}^{(2)} V_3 + V_3 C_{23}^{(2)} V_4 \right]\\
 +&+& \left[ V_4 C_{31}^{(2)} V_1 + V_4 C_{32}^{(2)} V_3 + V_4 C_{33}^{(2)} V_4 \right]\\
 +&+& \left[ V_3 C_{11}^{(3)} V_3 + V_3 C_{12}^{(3)} V_5 + V_3 C_{13}^{(3)} V_4 \right]\\
 +&+& \left[ V_5 C_{21}^{(3)} V_3 + V_5 C_{22}^{(3)} V_5 + V_5 C_{23}^{(3)} V_4 \right]\\
 +&+& \left[ V_4 C_{31}^{(3)} V_3 + V_4 C_{32}^{(3)} V_5 + V_4 C_{33}^{(3)} V_4 \right]\\
 +&=& \begin{pmatrix}
 +V_1 & V_2 & V_3 & V_4 & V_5
 +\end{pmatrix}
 +\begin{pmatrix}
 +C_{11}^{(1)} + C_{11}^{(2)} & C_{13}^{(1)} & C_{12}^{(2)} & C_{12}^{(1)}+C_{13}^{(2)} & 0\\
 +C_{31}^{(1)} & C_{33}^{(1)} & 0 & C_{32}^{(1)} & 0\\
 +C_{21}^{(2)} & 0 & C_{22}^{(2)}+C_{11}^{(3)} & C_{23}^{(2)}+C_{13}^{(3)} & C_{12}^{(3)}\\
 +C_{21}^{(1)}+C_{31}^{(2)} & C_{23}^{(1)} & C_{32}^{(2)}+C_{31}^{(3)} & C_{22}^{(1)}+C_{33}^{(2)}+C_{33}^{(3)} & C_{32}^{(3)}\\
 +0 & 0 & C_{21}^{(3)} & C_{23}^{(3)} & C_{22}^{(3)}
 +\end{pmatrix}
 +\begin{pmatrix}
 +V_1 \\ V_2 \\ V_3 \\ V_4 \\ V_5
 +\end{pmatrix}\\
 +&=& \left[ V \right]^\intercal \left[ C \right] \left[ V \right].
 \end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
 =====목적함수의 최소화===== =====목적함수의 최소화=====
 +$k=1,\ldots,N$에 대해 다음을 요구하자:
 +$$\frac{\partial W}{\partial V_k} = 0.$$
 +예를 들어 $k=1$이라면,
 +\begin{eqnarray*}
 +0 = \frac{\partial W}{\partial V_1} = 2V_1 C_{11} + V_2 C_{12} + V_3 C_{13} + V_4 C_{14} + V_5 C_{15} + V_2 C_{21} + V_3 C_{31} + V_4 C_{41} + V_5 C_{51}
 +\end{eqnarray*}
 +이며 $C_{ij} = C_{ji}$임을 이용하면
 +$$V_1 C_{11} + V_2 C_{12} + V_3 C_{13} + V_4 C_{14} + V_5 C_{15} = 0$$
 +으로 간략하게 적을 수 있다. 일반적인 $k$에 대해서는
 +$$ 0 = \sum_{i=1}^N V_i C_{ik}$$
 +이므로 다음 식이 만족된다.
 +$$V_k = - \frac{1}{C_{kk}^{-1}} \sum_{i=1, i\neq k}^N V_i C_{ki}$$
 +이 방정식들을 연립하여 한번에 풀거나, 혹은 적절한 초기조건에서 시작해 반복을 통해 수렴시킴으로써 문제를 푼다.
  
 ======푸아송 방정식====== ======푸아송 방정식======
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