전산물리학:유한요소법

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전산물리학:유한요소법 [2025/09/29 13:34] – [요소들의 합] admin전산물리학:유한요소법 [2025/09/30 09:48] (current) – [요소들의 합] admin
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 따라서 전체 목적함수는 다음처럼 계산된다. 따라서 전체 목적함수는 다음처럼 계산된다.
 \begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
-W &=& +2W/\epsilon_0 &=&
-\frac{1}{2} \epsilon_0+
 \begin{pmatrix} \begin{pmatrix}
 V_1^{(1)} & V_2^{(1)} & V_3^{(1)} V_1^{(1)} & V_2^{(1)} & V_3^{(1)}
Line 117: Line 116:
 V_1^{(1)} \\ V_2^{(1)} \\ V_3^{(1)} V_1^{(1)} \\ V_2^{(1)} \\ V_3^{(1)}
 \end{pmatrix}\\ \end{pmatrix}\\
-&+& \frac{1}{2} \epsilon_0+&+& 
 \begin{pmatrix} \begin{pmatrix}
 V_1^{(2)} & V_2^{(2)} & V_3^{(2)} V_1^{(2)} & V_2^{(2)} & V_3^{(2)}
Line 129: Line 128:
 V_1^{(2)} \\ V_2^{(2)} \\ V_3^{(2)} V_1^{(2)} \\ V_2^{(2)} \\ V_3^{(2)}
 \end{pmatrix}\\ \end{pmatrix}\\
-&+& \frac{1}{2} \epsilon_0+&+& 
 \begin{pmatrix} \begin{pmatrix}
 V_1^{(3)} & V_2^{(3)} & V_3^{(3)} V_1^{(3)} & V_2^{(3)} & V_3^{(3)}
Line 175: Line 174:
 \end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
 =====목적함수의 최소화===== =====목적함수의 최소화=====
 +$k=1,\ldots,N$에 대해 다음을 요구하자:
 +$$\frac{\partial W}{\partial V_k} = 0.$$
 +예를 들어 $k=1$이라면,
 +\begin{eqnarray*}
 +0 = \frac{\partial W}{\partial V_1} = 2V_1 C_{11} + V_2 C_{12} + V_3 C_{13} + V_4 C_{14} + V_5 C_{15} + V_2 C_{21} + V_3 C_{31} + V_4 C_{41} + V_5 C_{51}
 +\end{eqnarray*}
 +이며 $C_{ij} = C_{ji}$임을 이용하면
 +$$V_1 C_{11} + V_2 C_{12} + V_3 C_{13} + V_4 C_{14} + V_5 C_{15} = 0$$
 +으로 간략하게 적을 수 있다. 일반적인 $k$에 대해서는
 +$$ 0 = \sum_{i=1}^N V_i C_{ik}$$
 +이므로 다음 식이 만족된다.
 +$$V_k = - \frac{1}{C_{kk}^{-1}} \sum_{i=1, i\neq k}^N V_i C_{ki}$$
 +이 방정식들을 연립하여 한번에 풀거나, 혹은 적절한 초기조건에서 시작해 반복을 통해 수렴시킴으로써 문제를 푼다.
  
 ======푸아송 방정식====== ======푸아송 방정식======
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