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--- 전산물리학:qr_알고리듬 [2016/05/23 10:12] – [설명] admin
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 ======설명======
+$A$의 $i$ 번째 고유치가 $\lambda_i$, 그에 해당하는 고유 벡터가 $\vec{v}_i$라고 하자:
+$$A \vec{v}_i = \lambda_i \vec{v}_i.$$
+편의상 $\left| \lambda_0 \right| > \left| \lambda_1 \right| > \ldots$로 정렬되어 있다고 하자.
 $A=Q_1 R_1$일 때에 이로부터 유도되는 또다른 행렬이 $A_1 = R_1 Q_1 = Q_2 R_2$라고 했으므로
 $$A^2 = Q_1 R_1 Q_1 R_1 = Q_1 Q_2 R_2 R_1$$
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 $$A^n = \left( Q_1 \ldots Q_n \right) \left( R_n \ldots R_1 \right) = \hat{Q} \hat{R}$$
 이 성립한다.
+[[:전산물리학:멱 방법]]에 의하면, 임의의 벡터 $\vec{u}$가 있을 때 $A^n \vec{u}$는 $A$의 가장 큰 고유치 $\lambda_0$에 해당하는 고유 벡터 $\vec{v}_0$ 방향으로 수렴한다.
+\begin{eqnarray*}
+\vec{u} &=& a_0 \vec{v}_0 + a_1 \vec{v}_1 + \ldots\\
+A^n \vec{u} &=& a_0 \lambda_0^n \vec{v}_0 + a_1 \lambda_1^n \vec{v}_1 + \ldots
+\end{eqnarray*}
+임의의 $\vec{u}$에 대해 이 성질이 성립한다는 것은 $A^n$의 열들이 이미 $\vec{v}_0$와 유사한 방향임을 의미한다.
+$A^n = \hat{Q} \hat{R}$로 분해했을 때, 그람-슈미트 방법에 따라 $\hat{Q}$의 첫 번째 벡터 $\vec{q}_0$는 $A^n$의 첫 번째 열 벡터와 같은 방향이다. 즉 $\vec{q}_0$는 $\vec{v}_0$에 해당한다.
+그람-슈미트 방법을 따라 $A^n$의 열들로부터 이미 찾은 벡터들과 직교하는 공간을 생각하면 $\vec{q}_1, \vec{q}_2, \ldots$를 얻는다. 이는
+$$A^n \vec{u} = a_0 \lambda_0^n \vec{v}_0 + a_1 \lambda_1^n \vec{v}_1 + a_2 \lambda_2^n \vec{v}_2 + \ldots$$
+에서 $0 = a_0 = a_1 = \ldots$에 해당하고 따라서 그 때마다 $\vec{v}_1, \vec{v}_2,\ldots$들을 근사적으로 얻게 된다.