전산물리학:xorsat

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전산물리학:xorsat [2026/10/14 14:51] – [XORSAT] admin전산물리학:xorsat [2026/10/14 15:53] (current) – [3-XORSAT의 예] admin
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   * $\operatorname{rank}\mathbb{H}<M$이라고 하자. 그러면 $\underline{b}$가 $\mathbb{H}$의 상(image) 안에 있을 때에, 그리고 그때에만 해가 존재한다. '행렬을 곱하여 나올 수 있는 모든 벡터들의 집합'이라는 상의 정의로부터 이 사실은 자명하다.   * $\operatorname{rank}\mathbb{H}<M$이라고 하자. 그러면 $\underline{b}$가 $\mathbb{H}$의 상(image) 안에 있을 때에, 그리고 그때에만 해가 존재한다. '행렬을 곱하여 나올 수 있는 모든 벡터들의 집합'이라는 상의 정의로부터 이 사실은 자명하다.
  
-방정식 $\mathbb{H} \underline{x} = \underline{b}$에 해가 존재한다면, $Z = 2^{N-\operatorname{rank}\mathbb{H}}$이다. 위의 예에서 $N=4$와 $\operatorname{rank}\mathbb{H} = M = 3$이므로 해가 두 개 존재했다.+방정식 $\mathbb{H} \underline{x} = \underline{b}$에 해가 존재한다면(표기를 간편하게 하기 위해 $\bmod 2$는 앞으로 생략한다), $Z = 2^{N-\operatorname{rank}\mathbb{H}}$이다. 위의 예에서 $N=4$와 $\operatorname{rank}\mathbb{H} = M = 3$이므로 실제로 해가 두 개 존재했다.
  
   *$\mathbb{H}\underline{x} = \underline{0}$을 동차(homogeneous) 방정식이라 하고 그 해의 집합을 $\mathcal{S}_0$라고 하자. $\mathbb{H} \underline{x} = \underline{b}$의 특수해 $\underline{x}_\ast$가 있을 때, $\mathcal{S} = \underline{x}_\ast + \mathcal{S}_0$이다. 달리 말해서, 동차 방정식 $\mathbb{H}\underline{x} = \underline{0}$를 만족하는 해의 수가 $Z_0 = 2^{N-M}$이라면, 원래의 방정식 $\mathbb{H} \underline{x} = \underline{b}$은 임의의 $\underline{b}$에 대해 같은 수의 해를 가진다. 앞의 예에 해당하는 동차 방정식을 풀면 $\mathcal{S}_0 = \{(1,0,1,1), (0,0,0,0)\}$이므로 (동차 방정식은 언제나 $\underline{0}$을 해로 가진다) 이 관계들을 쉽게 확인할 수 있다.   *$\mathbb{H}\underline{x} = \underline{0}$을 동차(homogeneous) 방정식이라 하고 그 해의 집합을 $\mathcal{S}_0$라고 하자. $\mathbb{H} \underline{x} = \underline{b}$의 특수해 $\underline{x}_\ast$가 있을 때, $\mathcal{S} = \underline{x}_\ast + \mathcal{S}_0$이다. 달리 말해서, 동차 방정식 $\mathbb{H}\underline{x} = \underline{0}$를 만족하는 해의 수가 $Z_0 = 2^{N-M}$이라면, 원래의 방정식 $\mathbb{H} \underline{x} = \underline{b}$은 임의의 $\underline{b}$에 대해 같은 수의 해를 가진다. 앞의 예에 해당하는 동차 방정식을 풀면 $\mathcal{S}_0 = \{(1,0,1,1), (0,0,0,0)\}$이므로 (동차 방정식은 언제나 $\underline{0}$을 해로 가진다) 이 관계들을 쉽게 확인할 수 있다.
-  * 반면 $Z_0 > 2^{N-M}$이라면, 원래의 비동차 방정식은 모든 가능한 $\underline{b}$ 중에서 $2^{N-M}/Z_0$의 비율에 대해서만 충족 가능하다.+  * 반면 $Z_0 > 2^{N-M}$이라면, 원래의 방정식은 모든 가능한 $\underline{b}$ 중에서 $2^{N-M}/Z_0$의 비율에 대해서만 충족 가능하다. 말하자면 위의 예를 아래처럼 바꾸었을 때, $x_4$와 함께 $x_3$의 값까지 결정되지 않으므로 해는 $Z_0=4$개가 나와서 $2^{N-M}=2$보다 많다. $\underline{b}$의 세 번째 원소가 1이라면 해가 존재하지 않으므로($0 \neq 1$), 모든 가능한 $\underline{b}$ 중 절반에 대해서만 해가 존재한다. 
 +\[\mathbb{H} = \begin{pmatrix} 
 +1 & 0 & 0 & 1\\ 
 +0 & 1 & 0 & 0\\ 
 +0 & 0 & 0 & 0 
 +\end{pmatrix}. 
 +\] 
 + 
 +====3-XORSAT의 예==== 
 +$N=M=6$인 경우이다: 
 +\[ \mathbb{H} = \begin{pmatrix} 
 +0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 
 +1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\ 
 +0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1\\ 
 +1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 
 +0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\ 
 +1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 
 +\end{pmatrix}. 
 +\] 
 +가우스 소거법을 시행하면 다음을 얻는다: 
 +\[ \begin{pmatrix} 
 +1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 
 +0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 
 +0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 
 +0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\ 
 +0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ 
 +0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 
 +\end{pmatrix}. 
 +\] 
 +따라서 $\operatorname{rank}\mathbb{H} =5$이고 $\mathcal{S}_0 = \{(0,0,1,1,1,1), (0,0,0,0,0,0)\}$로서 동차 방정식에 $Z_0=2$개의 해가 존재한다. 이는 $\mathbb{H} \underline{x} = \underline{b}$의 방정식에서 $b_6=0$이면 해가 존재하고 $b_6=1$이면 해가 존재하지 않는다는 사실과 부합한다. 
 + 
 +위 문제에 해당하는 [[수학:인자_그래프|인자 그래프]]를 그려보면 다음과 같다. 
 + 
  
  
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