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 \end{align}
-이 때 $|\vec{r}-\vec{r}'|$는 코사인 법칙을 이용하고, $r'<<r$을 가정하여,
+이 때 $|\vec{r}-\vec{r}'|$는 코사인 법칙을 이용하고, $r'\ll r$을 가정하여,
 \begin{align}
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 ====== 3차원 다중극 전개 ======
-구면 좌표계의 모든 성분을 고려한 다중극 전개는 조금 복잡하다. 구면 좌표계에서 아래의 그림과 같이 $\vec{r'}=(r',\theta',\phi')$, $\vec{r}=(r,\theta,\phi)$가 있다고 하자.
+구면 좌표계의 모든 성분을 고려한 다중극 전개는 조금 복잡하다. 앞에서 구한 다중극 전개의 전위식의 르장드르 다항식을 $\phi$에 대해서도 생각해야 하기 때문이다. 구면 좌표계에서 아래의 그림과 같이 $\vec{r'}=(r',\theta',\phi')$, $\vec{r}=(r,\theta,\phi)$가 있다고 하자.
 {{ :전자기학:multipole_expansion_in_3d.png?400 |}}
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 \end{align}
-여기서 l과 m의 범위는
+여기서 $l$과 $m$의 범위는
 \begin{align}
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 \begin{align}
-V(r,\theta) = R(r)\Theta(\theta) = \sum_{l=0}^{\infty}(A_lr^l + \frac{B_l}{r^{l+1}})P_l(\cos\theta)
+V(r,\theta) = R(r)\Theta(\theta) = \sum_{l=0}^{\infty}\left(A_lr^l + \frac{B_l}{r^{l+1}} \right)P_l(\cos\theta)
 \end{align}
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 \end{align}
-구면조화함수에 대한 관계식을 얻으려고 하면 첫 번째 항의 R을 처리해주어야 한다. 이는 구면좌표계의 라플라스 방정식으로 얻어진다. 변수분리까지 끝낸 식에서 시작하여 R에대해 식을 얻을 수 있다.
+구면조화함수에 대한 관계식을 얻으려고 하면 첫 번째 항의 $R$을 처리해주어야 한다. 이는 구면좌표계의 라플라스 방정식으로 얻어진다. 변수분리까지 끝낸 식에서 시작하여 $R$에 대해 식을 얻을 수 있다.
 \begin{align}
@@ Line 119: / Line 119: @@
 &\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right) = -\frac{1}{\Theta}\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) = l(l+1) \\
 &\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right) = l(l+1)R \\
-&\nabla^2R_{lm}(r) = \frac{l(l+1)}{r^2}
+&\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR_{lm}}{dr}\right) = \nabla^2R_{lm}(r) = \frac{l(l+1)}{r^2} R_{lm}(r)
 \end{align}
 따라서, 식에 대입하고 정리하면 라플라스 급수(Laplace Series)라고 부르는 식이 만들어진다.
 \begin{align}
 \nabla^2Y_l^m = -\frac{l(l+1)}{r^2}Y_l^m
 \end{align}
-===== r'벡터를 기준으로 =====
+이제 어떠한 함수 $f(\theta,\phi)$라는 함수가 있다고 하자. 함수 $f$는 푸리에 급수 전개식과 같이 구면 조화 함수에 대한 전개식으로 나타낸다.
-그림에 그려진 r'벡터와 r벡터를 생각해보자. 여기서 r'이 3축 중 하나에 만족한다고 하자. 그러면 **r'은 고정된 채 앞에서 했던 r벡터만 고려하는** 다중극 전개식을 생각하면 된다. 그와 동시에 라플라스 급수를 만족한다.
+\begin{align}
+f(\theta,\phi) &= \sum_l \sum_{m=-l}^{l}a_{lm}Y_l^m(\theta,\phi)
+\end{align}
+이 함수 $f$가 라플라스 급수를 만족한다고 하자.
+\begin{align}
+-r^2 \nabla^2 f(\theta,\phi) = l(l+1) f(\theta,\phi)
+\end{align}
+$f$를 아래처럼 전개하고
+\begin{align}
+f(\theta,\phi) &= \sum_{l'=0}^\infty \sum_{m'=-l'}^{l'}a_{l'm'}Y_{l'}^{m'}(\theta,\phi)
+\end{align}
+좌변과 우변에 함수 $f$를 대입해보자. 먼저 우변에 $f$를 대입하면,
+\begin{align}
+-{r^2}\nabla^2f = l(l+1)\sum_{l'}\sum_{m'}a_{l'm'}Y_{l'}^{m'}(\theta,\phi)
+\end{align}
+그리고 좌변에 $f$를 대입하면,
+\begin{align}
+-{r^2}\nabla^2f &= \sum_{l'}\sum_{m'}l'(l'+1)a_{l'm'}Y_{l'}^{m'}(\theta,\phi)
+\end{align}
+두 식이 일치해야 하므로,
+\begin{align}
+\sum_{l'}\sum_{m'}[l(l+1)-l'(l'+1)]a_{l'm'}Y_{l'}^{m'}(\theta,\phi) = 0
+\end{align}
+따라서 $l'\neq l$일 때에는 $a_{l'm'} = 0$이어야 한다. 이를 $l'$과 $m'$에 대해 합산했던 식에 대입해보면, $l'=l$일 때에만 합에 기여한다는 뜻이다. 즉
+\begin{align}
+f(\theta,\phi) &= \sum_{l'=0}^\infty \sum_{m'=-l'}^{l'}a_{l'm'}Y_{l'}^{m'}(\theta,\phi)\\
+&= \sum_{m'=-l}^{l}a_{lm'}Y_{l}^{m'}(\theta,\phi)\\
+&= \sum_{m=-l}^{l}a_{lm}Y_{l}^{m}(\theta,\phi)
+\end{align}
+로서 하나의 합으로만 쓸 수 있다.
+===== 덧셈 정리 =====
+그림에 그려진 $r'$벡터와 $r$벡터를 생각해보자. $\alpha$는 $\vec{r}$과 $\vec{r'}$의 사잇각으로 정의하자. $r'$을 고정하고 보면 $f = P_l(\cos\alpha)$는 아래처럼 전개된다.
+\begin{align}
+f = P_l(\cos\alpha) = \sum_{m=-l}^{l}b_m(\theta',\phi')Y_l^m(\theta,\phi)
+\end{align}
+계수 $b_m(\theta', \phi')$ 또한 마찬가지로 전개하면, $\theta$와 $\phi$에 의존하지 않는 계수 $b_{mm'}$을 사용하여 아래처럼 쓸 수 있을 것이다.
+\begin{align}
+f &= \sum_{m=-l}^{l}\sum_{m'=-l}^{l}b_{mm'}Y_l^{m'}({\theta}',{\phi}')Y_l^m(\theta,\phi) \\
+&= \sum_m{b_{m,-m}}Y_l^{-m}({\theta}',{\phi}')Y_l^m(\theta,\phi)
+\end{align}
+여기서 $f$는 방위각(azimuthal angle)에 오직 $\phi-\phi'$을 통해서만 의존할 것이기 때문에 $m'=-m$인 항만 살아남을 것이다.
+아래의 성질
+\begin{align}
+Y_l^{-m}(\theta,\phi) = (-1)^m\left[Y_l^{m}(\theta,\phi)\right]^*
+\end{align}
+로 인해 $f$는 아래처럼 표현된다.
+\begin{align}
+f &= \sum_m{b_{m,-m}}(-1)^m\left[Y_l^{m}({\theta}',{\phi}')\right]^*Y_l^m(\theta,\phi) \\
+&= \sum_m{C_m}Y_l^m(\theta,\phi)\left[Y_l^{m}({\theta}',{\phi}')\right]^*
+\end{align}
+특히 $f$는 실수이고 $(\theta, \phi)$와 $(\theta', \phi')$을 바꿔치기 해도 불변하기 때문에 $C_m=C_{-m}$이 실수임을 알 수 있다.
+위의 표현식을 이용하여 몇 가지 정보를 얻어볼 수 있다. 먼저, $\vec{r} = \vec{r}'$이면 $\cos\alpha = 1$이므로 $f$는
+\begin{align}
+f = P_l(1) = 1 = \sum_mC_m|{Y_l^m}|^2
+\end{align}
+이고 입체각에 대해 적분하면 $\sum_m{C_m} = 4\pi$을 얻는다.
+다음 단계로서 $f^2$을 구해보면,
+\begin{align}
+\left[ P_l(\cos\alpha) \right]^2 = \left[\sum_m{C_m}Y_l^m(\theta,\phi)\left[Y_l^{m}({\theta}',{\phi}')\right]^*\right]\left[\sum_{m'}{C_{m'}}Y_l^{m'}({\theta}',{\phi}')\left[Y_l^{m'}(\theta,\phi)\right]^*\right]
+\end{align}
+이 식의 양변을 적분하면
+\begin{align}
+\frac{4\pi}{2l+1} &= \sum_m{C_m}^2|Y_l^m(\theta',\phi')|^2 \qquad (\theta,\phi)
+\end{align}
+한번 더 적분하면
+\begin{align}
+\frac{(4\pi)^2}{2l+1} &= \sum_m{C_m}^2 \qquad ({\theta}',{\phi}')
+\end{align}
+이다. 여기서 [[수학:코시-슈바르츠 부등식]]을 이용하자. 즉
+\begin{align}
+|\vec{A}\cdot\vec{B}|^2 &\leq |\vec{A}|^2|\vec{B}|^2 \\
+\left|\sum_k^n{a_k}{b_k} \right|^2 &\leq \sum_k^n{a_k}^2\sum_k^n{b_k}^2
+\end{align}
+이며 이 때 $b_k = 1$이면,
+\begin{align}
+\left|\sum_k^n{a_k} \right|^2 &\leq n\sum_k^n{a_k}^2
+\end{align}
+인데 등호는 오직 $a_k$가 모든 $k$에 대해 같을 때 성립한다.
+앞의 계수 $C_m$과 비교하면
+\begin{align}
+\left|\sum_{m=-l}^l {C_m} \right|^2 &= (2l+1)\sum_m^n{C_m}^2
+\end{align}
+이므로 모든 $C_m$이 같아야 하고, 특히 $\sum_{m=-l}^l {C_m} = 4\pi$이므로
+$C_m = 4\pi/(2l+1)$임을 알게 된다.
+그 결과, $P_l(\cos\alpha)$이 다음과 같이 결정되어 덧셈 정리를 얻는다.
+\begin{align}
+f = P_l(\cos\alpha) &= \sum_m{C_m}Y_l^m(\theta,\phi)\left[Y_l^{m}({\theta}',{\phi}')\right]^* \\
+&= \frac{4\pi}{2l+1}\sum_{m=-l}^lY_l^m(\theta,\phi)\left[Y_l^m(\theta',\phi')\right]^*
+\end{align}
+===== 최종 전위의 형태 =====
+이제 앞에서 구한 르장드르 다항식과 구면 조화 함수의 관계식을 대입하자.
+\begin{align}
+V(\vec{r})
+&= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{l=0}^{\infty}\frac{1}{r^{l+1}}\int({r'})^lP_l(\cos\alpha){\rho(\vec{r'})}d\tau' \\
+&= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{l=0}^{\infty}\frac{1}{r^{l+1}}\int({r'})^l\frac{4\pi}{2l+1}\sum_{m=-l}^lY_l^m(\theta,\phi)\left[Y_l^m(\theta',\phi')\right]^*{\rho(\vec{r'})}d\tau' \\
+&= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^l\frac{4\pi}{2l+1}\frac{Y_l^m(\theta,\phi)}{r^{l+1}}\int({r'})^l\left[Y_l^m(\theta',\phi')\right]^*{\rho(\vec{r'})}d\tau'
+\end{align}
+이것이 3차원에서의 다중극 전개식이 된다.
+====== 참고문헌 ======
+  * http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph116C