전자기학:다중극_전개

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전자기학:다중극_전개 [2020/11/15 20:00] – yong전자기학:다중극_전개 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1
Line 9: Line 9:
 \end{align} \end{align}
  
-이 때 $|\vec{r}-\vec{r}'|$는 코사인 법칙을 이용하고, $r'<<r$을 가정하여,+이 때 $|\vec{r}-\vec{r}'|$는 코사인 법칙을 이용하고, $r'\ll r$을 가정하여,
  
 \begin{align} \begin{align}
Line 43: Line 43:
  
 ====== 3차원 다중극 전개 ====== ====== 3차원 다중극 전개 ======
-구면 좌표계의 모든 성분을 고려한 다중극 전개는 조금 복잡하다. 구면 좌표계에서 아래의 그림과 같이 $\vec{r'}=(r',\theta',\phi')$, $\vec{r}=(r,\theta,\phi)$가 있다고 하자.+구면 좌표계의 모든 성분을 고려한 다중극 전개는 조금 복잡하다. 앞에서 구한 다중극 전개의 전위식의 르장드르 다항식을 $\phi$에 대해서도 생각해야 하기 때문이다. 구면 좌표계에서 아래의 그림과 같이 $\vec{r'}=(r',\theta',\phi')$, $\vec{r}=(r,\theta,\phi)$가 있다고 하자.
  
 {{ :전자기학:multipole_expansion_in_3d.png?400 |}} {{ :전자기학:multipole_expansion_in_3d.png?400 |}}
Line 75: Line 75:
 \end{align} \end{align}
  
-여기서 l과 m의 범위는+여기서 $l$과 $m$의 범위는
  
 \begin{align} \begin{align}
Line 97: Line 97:
  
 \begin{align} \begin{align}
-V(r,\theta) = R(r)\Theta(\theta) = \sum_{l=0}^{\infty}(A_lr^l + \frac{B_l}{r^{l+1}})P_l(\cos\theta)+V(r,\theta) = R(r)\Theta(\theta) = \sum_{l=0}^{\infty}\left(A_lr^l + \frac{B_l}{r^{l+1}} \right)P_l(\cos\theta)
 \end{align} \end{align}
  
Line 112: Line 112:
 \end{align} \end{align}
  
-구면조화함수에 대한 관계식을 얻으려고 하면 첫 번째 항의 R을 처리해주어야 한다. 이는 구면좌표계의 라플라스 방정식으로 얻어진다. 변수분리까지 끝낸 식에서 시작하여 R에대해 식을 얻을 수 있다.+구면조화함수에 대한 관계식을 얻으려고 하면 첫 번째 항의 $R$을 처리해주어야 한다. 이는 구면좌표계의 라플라스 방정식으로 얻어진다. 변수분리까지 끝낸 식에서 시작하여 $R$에 대해 식을 얻을 수 있다.
  
 \begin{align} \begin{align}
Line 119: Line 119:
 &\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right) = -\frac{1}{\Theta}\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) = l(l+1) \\ &\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right) = -\frac{1}{\Theta}\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) = l(l+1) \\
 &\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right) = l(l+1)R \\ &\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right) = l(l+1)R \\
-&\nabla^2R_{lm}(r) = \frac{l(l+1)}{r^2}+&\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR_{lm}}{dr}\right) = \nabla^2R_{lm}(r) = \frac{l(l+1)}{r^2} R_{lm}(r)
 \end{align} \end{align}
  
Line 128: Line 128:
 \end{align} \end{align}
  
-이 식의 특징은 좌변과 우변의 계수 l이 같이 연동된다는 것이다. 예를들어, 어떠한 함수 $f(\theta,\phi)$라는 함수가 있다고 하자. 함수 f는 푸리에 급수 전개식과 같이 구면 조화 함수에 대한 전개식으로 나타낸다.+이제 어떠한 함수 $f(\theta,\phi)$라는 함수가 있다고 하자. 함수 $f$는 푸리에 급수 전개식과 같이 구면 조화 함수에 대한 전개식으로 나타낸다.
  
 \begin{align} \begin{align}
-f(\theta,\phi) &= \sum_{m=-l}^{l}a_{lm}Y_l^m(\theta,\phi) \\ +f(\theta,\phi) &= \sum_l \sum_{m=-l}^{l}a_{lm}Y_l^m(\theta,\phi)
-&= \sum_l'\sum_m'a_{l'm'}Y_{l'}^{m'}(\theta,\phi)+
 \end{align} \end{align}
  
-가정한 함수 f는 구면 조화 함수 항이 있으므로 라플라스 급수를 만족한다. 좌변과 우변에 함수 f를 대입해보자. 먼저 우변에 f를 대입하면,+이 함수 $f$가 라플라스 급수를 만족한다고 하자.
  
 \begin{align} \begin{align}
--{r^2}\nabla^2f = l(l+1)\sum_l'\sum_m'a_{l'm'}Y_{l'}^{m'}(\theta,\phi)+-r^2 \nabla^2 f(\theta,\phi) = l(l+1) f(\theta,\phi)
 \end{align} \end{align}
  
-그리고 좌변에 f를 대입하면, +$f$를 아래처럼 전개하고
 \begin{align} \begin{align}
--{r^2}\nabla^2f &= l'(l'+1)f \\ +f(\theta,\phi) &= \sum_{l'=0}^\infty \sum_{m'=-l'}^{l'}a_{l'm'}Y_{l'}^{m'}(\theta,\phi)
-&= \sum_l'\sum_m'l'(l'+1)a_{l'm'}Y_{l'}^{m'}(\theta,\phi)+
 \end{align} \end{align}
  
-두 식 모두 라플라스 급수를 만족해야 하므로,+좌변과 우변에 함수 $f$를 대입해보자. 먼저 우변에 $f$를 대입하면,
  
 \begin{align} \begin{align}
-\sum_l'\sum_m'[l(l+1)-l'(l'+1)]a_{l'm'}Y_{l'}^{m'}(\theta,\phi) = 0+-{r^2}\nabla^2f = l(l+1)\sum_{l'}\sum_{m'}a_{l'm'}Y_{l'}^{m'}(\theta,\phi)
 \end{align} \end{align}
  
-따라서 $l=l'$또는 $a_{l'm'} = 0$이어야 0이 되므로 라플라스 급수의 좌변과 우변의 l은 같이 연동된다.+그리고 좌변에 $f$를 대입하면,
  
 +\begin{align}
 +-{r^2}\nabla^2f &= \sum_{l'}\sum_{m'}l'(l'+1)a_{l'm'}Y_{l'}^{m'}(\theta,\phi)
 +\end{align}
  
-===== r'벡터를 기준으로 ===== +두 식이 일치해야 하므로,
-그림에 그려진 r'벡터와 r벡터를 생각해보자. 여기서 r'이 3축 중 하나에 만족한다고 하자. 그러면 **r'은 고정된 채 앞에서 했던 r벡터만 고려하는** 다중극 전개식을 생각하면 된다. 그와 동시에 라플라스 급수를 만족한다. 그러므로, 이 두가지의 특징을 포함하는 'Addition Theorem' 이라는 것을 도입해보자. Addition Theorem의 식은 아래와 같다.+
  
 \begin{align} \begin{align}
-P_l(\cos\alpha) = \frac{4\pi}{2l+1}\sum_{m=-l}^lY_l^m(\theta,\phi)\left[Y_l^m(\theta',\phi')\right]^*+\sum_{l'}\sum_{m'}[l(l+1)-l'(l'+1)]a_{l'm'}Y_{l'}^{m'}(\theta,\phi) = 0
 \end{align} \end{align}
  
-여기서 $\alpha$는 $\vec{r}$과 $\vec{r'}$의 사잇각이며, *는 켤레복소수 표현이다. 이 식을 얻는 과정을 살펴보자. 앞에서 r'을 한 축에 고정을 하였기 때문에 라플라스 방정식을 만족하는 f는 르장드르 급수 형태일 것이고, 앞의 라플라스 급수의 함수 형태로 나타난다. 따라서 f는+따라서 $l'\neq l$일 때에는 $a_{l'm'} = 0$이어야 한다. 이를 $l'$과 $m'$에 대해 합산했던 식에 대입해보면, $l'=l$일 때에만 합에 기여한다는 뜻이다. 즉 
 + 
 +\begin{align} 
 +f(\theta,\phi) &= \sum_{l'=0}^\infty \sum_{m'=-l'}^{l'}a_{l'm'}Y_{l'}^{m'}(\theta,\phi)\\ 
 +&= \sum_{m'=-l}^{l}a_{lm'}Y_{l}^{m'}(\theta,\phi)\\ 
 +&= \sum_{m=-l}^{l}a_{lm}Y_{l}^{m}(\theta,\phi) 
 +\end{align} 
 +로서 하나의 합으로만 쓸 수 있다. 
 +===== 덧셈 정리 ===== 
 +그림에 그려진 $r'$벡터와 $r$벡터를 생각해보자. $\alpha$는 $\vec{r}$과 $\vec{r'}$의 사잇각으로 정의하자. $r'$을 고정하고 보면 $f = P_l(\cos\alpha)$는 아래처럼 전개된다.
  
 \begin{align} \begin{align}
Line 170: Line 178:
 \end{align} \end{align}
  
-계수 $b_m$또한 라플라스 방정식을 만족하므로,+계수 $b_m(\theta', \phi')$ 또한 마찬가지로 전개하면, $\theta$와 $\phi$에 의존하지 않는 계수 $b_{mm'}$을 사용하여 아래처럼 쓸 수 있을 것이다.
  
 \begin{align} \begin{align}
Line 177: Line 185:
 \end{align} \end{align}
  
-여기서 구면 조화 함수의 직교성을 생각하여, $m=-m'$으로 두었다. 이에 따라서 나타나는 성질+여기서 $f$는 방위각(azimuthal angle)에 오직 $\phi-\phi'$을 통해서만 의존할 것이기 때문에 $m'=-m$인 항만 살아남을 것이다. 
 +아래의 성질
  
 \begin{align} \begin{align}
Line 183: Line 192:
 \end{align} \end{align}
  
-으로 인해 f는+로 인해 $f$는 아래처럼 표현된다.
  
 \begin{align} \begin{align}
Line 190: Line 199:
 \end{align} \end{align}
  
-이 식을 이용하여 몇 가지 얻어볼 수 있다. 먼저, $\vec{r} = \vec{r}'$이면 $\cos\alpha = 1$이므로 f는+특히 $f$는 실수이고 $(\theta, \phi)$와 $(\theta', \phi')$을 바꿔치기 해도 불변하기 때문에 $C_m=C_{-m}$이 실수임을 알 수 있다. 
 + 
 +위의 표현식을 이용하여 몇 가지 정보를 얻어볼 수 있다. 먼저, $\vec{r} = \vec{r}'$이면 $\cos\alpha = 1$이므로 $f$는
  
 \begin{align} \begin{align}
-f = P_l(1) = 1 = \sum_mC_m|{Y_l^m}|^2 \rightarrow \sum_m{C_m} = 4\pi+f = P_l(1) = 1 = \sum_mC_m|{Y_l^m}|^2
 \end{align} \end{align}
 +이고 입체각에 대해 적분하면 $\sum_m{C_m} = 4\pi$을 얻는다.
  
-으로 입체각을 얻는다. 또는 직교성을 이용해서, $f^2$을 구해보면,+다음 단계로서 $f^2$을 구해보면,
  
 \begin{align} \begin{align}
-f^2 = |P_l(\cos\alpha)|^2 = \left[\sum_m{C_m}Y_l^m(\theta,\phi)\left[Y_l^{m}({\theta}',{\phi}')\right]^*\right]\left[\sum_{m'}{C_{m'}}Y_l^{m'}({\theta}',{\phi}')\left[Y_l^{m'}(\theta,\phi)\right]^*\right]+\left[ P_l(\cos\alpha) \right]^2 = \left[\sum_m{C_m}Y_l^m(\theta,\phi)\left[Y_l^{m}({\theta}',{\phi}')\right]^*\right]\left[\sum_{m'}{C_{m'}}Y_l^{m'}({\theta}',{\phi}')\left[Y_l^{m'}(\theta,\phi)\right]^*\right]
 \end{align} \end{align}
  
-이를 입체각으로, $(\theta,\phi)$와 $({\theta}',{\phi}')$으로 적분하면+이 식의 양변을 적분하면 
 + 
 +\begin{align} 
 +\frac{4\pi}{2l+1} &= \sum_m{C_m}^2|Y_l^m(\theta',\phi')|^2 \qquad (\theta,\phi) 
 +\end{align} 
 + 
 +한번 더 적분하면
  
 \begin{align} \begin{align}
-\frac{4\pi}{2l+1} &= \sum_m{C_m}^2|Y_l^m(\theta',\phi')|^2 \qquad (\theta,\phi)\\ 
 \frac{(4\pi)^2}{2l+1} &= \sum_m{C_m}^2 \qquad ({\theta}',{\phi}') \frac{(4\pi)^2}{2l+1} &= \sum_m{C_m}^2 \qquad ({\theta}',{\phi}')
 \end{align} \end{align}
  
-이다. 두 값중에 어떤 값이 ${C_m}$인가? 여기서 슈바르츠 부등식을 이용하자. +이다. 여기서 [[수학:코시-슈바르츠 부등식]]을 이용하자. 즉
  
 \begin{align} \begin{align}
 |\vec{A}\cdot\vec{B}|^2 &\leq |\vec{A}|^2|\vec{B}|^2 \\ |\vec{A}\cdot\vec{B}|^2 &\leq |\vec{A}|^2|\vec{B}|^2 \\
-|\sum_k^n{a_k}{b_k}|^2 &\leq \sum_k^n{a_k}^2\sum_k^n{b_k}^2+\left|\sum_k^n{a_k}{b_k} \right|^2 &\leq \sum_k^n{a_k}^2\sum_k^n{b_k}^2
 \end{align} \end{align}
- +이며 이 때 $b_k = 1$이면,
-이 때 $b_k = 1$이면,+
  
 \begin{align} \begin{align}
-|\sum_k^n{a_k}|^2 &\leq n\sum_k^n{a_k}^2+\left|\sum_k^n{a_k} \right|^2 &\leq n\sum_k^n{a_k}^2
 \end{align} \end{align}
 +인데 등호는 오직 $a_k$가 모든 $k$에 대해 같을 때 성립한다.
  
-이고 앞의 계수 $C_m$과 비교하면+앞의 계수 $C_m$과 비교하면
  
 \begin{align} \begin{align}
-|\sum_m^n{C_m}|^2 &\leq (2l+1)\sum_m^n{C_m}^2+\left|\sum_{m=-l}^l {C_m} \right|^2 &= (2l+1)\sum_m^n{C_m}^2
 \end{align} \end{align}
  
-그러므로 $C_m = 4\pi/2l+1$이고 $P_l(\cos\alpha)$이 다음과 같이 결정되어 Addition Theorem을 얻는다.+이므로 모든 $C_m$이 같아야 하고, 특히 $\sum_{m=-l}^l {C_m} = 4\pi$이므로 
 +$C_m = 4\pi/(2l+1)$임을 알게 된다. 
 +그 결과, $P_l(\cos\alpha)$이 다음과 같이 결정되어 덧셈 정리를 얻는다.
  
 \begin{align} \begin{align}
Line 235: Line 254:
 \end{align} \end{align}
  
 +===== 최종 전위의 형태 =====
 +이제 앞에서 구한 르장드르 다항식과 구면 조화 함수의 관계식을 대입하자.
 +
 +\begin{align}
 +V(\vec{r})
 +&= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{l=0}^{\infty}\frac{1}{r^{l+1}}\int({r'})^lP_l(\cos\alpha){\rho(\vec{r'})}d\tau' \\
 +&= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{l=0}^{\infty}\frac{1}{r^{l+1}}\int({r'})^l\frac{4\pi}{2l+1}\sum_{m=-l}^lY_l^m(\theta,\phi)\left[Y_l^m(\theta',\phi')\right]^*{\rho(\vec{r'})}d\tau' \\
 +&= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^l\frac{4\pi}{2l+1}\frac{Y_l^m(\theta,\phi)}{r^{l+1}}\int({r'})^l\left[Y_l^m(\theta',\phi')\right]^*{\rho(\vec{r'})}d\tau'
 +\end{align}
  
 +이것이 3차원에서의 다중극 전개식이 된다.
  
 +====== 참고문헌 ======
 +  * http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph116C
  • 전자기학/다중극_전개.1605438016.txt.gz
  • Last modified: 2023/09/05 15:46
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