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--- 전자기학:다중극_전개 [2022/09/06 17:52] – [라플라스 방정식에 적용] admin
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 \end{align}
 로서 하나의 합으로만 쓸 수 있다.
-===== r'벡터를 기준으로 =====
+===== 덧셈 정리 =====
-그림에 그려진 r'벡터와 r벡터를 생각해보자. 여기서 r'이 3축 중 하나에 만족한다고 하자. 그러면 **r'은 고정된 채 앞에서 했던 r벡터만 고려하는** 다중극 전개식을 생각하면 된다. 그와 동시에 라플라스 급수를 만족한다. 그러므로, 이 두가지의 특징을 포함하는 'Addition Theorem' 이라는 것을 도입해보자. Addition Theorem의 식은 아래와 같다.
+그림에 그려진 $r'$벡터와 $r$벡터를 생각해보자. $\alpha$는 $\vec{r}$과 $\vec{r'}$의 사잇각으로 정의하자. $r'$을 고정하고 보면 $f = P_l(\cos\alpha)$는 아래처럼 전개된다.
-\begin{align}
-P_l(\cos\alpha) = \frac{4\pi}{2l+1}\sum_{m=-l}^lY_l^m(\theta,\phi)\left[Y_l^m(\theta',\phi')\right]^*
-\end{align}
-여기서 $\alpha$는 $\vec{r}$과 $\vec{r'}$의 사잇각이며, *는 켤레복소수 표현이다. 이 식을 얻는 과정을 살펴보자. 앞에서 r'을 한 축에 고정을 하였기 때문에 라플라스 방정식을 만족하는 f는 르장드르 급수 형태일 것이고, 앞의 라플라스 급수의 함수 형태로 나타난다. 따라서 f는
 \begin{align}
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 \end{align}
-계수 $b_m$또한 라플라스 방정식을 만족하므로,
+계수 $b_m(\theta', \phi')$ 또한 마찬가지로 전개하면, $\theta$와 $\phi$에 의존하지 않는 계수 $b_{mm'}$을 사용하여 아래처럼 쓸 수 있을 것이다.
 \begin{align}
@@ Line 191: / Line 185: @@
 \end{align}
-여기서 구면 조화 함수의 직교성을 생각하여, $m=-m'$으로 두었다. 이에 따라서 나타나는 성질
+여기서 $f$는 방위각(azimuthal angle)에 오직 $\phi-\phi'$을 통해서만 의존할 것이기 때문에 $m'=-m$인 항만 살아남을 것이다.
+아래의 성질
 \begin{align}
@@ Line 197: / Line 192: @@
 \end{align}
-으로 인해 f는
+로 인해 $f$는 아래처럼 표현된다.
 \begin{align}
@@ Line 204: / Line 199: @@
 \end{align}
-이 식을 이용하여 몇 가지 얻어볼 수 있다. 먼저, $\vec{r} = \vec{r}'$이면 $\cos\alpha = 1$이므로 f는
+특히 $f$는 실수이고 $(\theta, \phi)$와 $(\theta', \phi')$을 바꿔치기 해도 불변하기 때문에 $C_m=C_{-m}$이 실수임을 알 수 있다.
+위의 표현식을 이용하여 몇 가지 정보를 얻어볼 수 있다. 먼저, $\vec{r} = \vec{r}'$이면 $\cos\alpha = 1$이므로 $f$는
 \begin{align}
-f = P_l(1) = 1 = \sum_mC_m|{Y_l^m}|^2 \rightarrow \sum_m{C_m} = 4\pi
+f = P_l(1) = 1 = \sum_mC_m|{Y_l^m}|^2
 \end{align}
+이고 입체각에 대해 적분하면 $\sum_m{C_m} = 4\pi$을 얻는다.
-으로 입체각을 얻는다. 또는 직교성을 이용해서, $f^2$을 구해보면,
+다음 단계로서 $f^2$을 구해보면,
 \begin{align}
-f^2 = |P_l(\cos\alpha)|^2 = \left[\sum_m{C_m}Y_l^m(\theta,\phi)\left[Y_l^{m}({\theta}',{\phi}')\right]^*\right]\left[\sum_{m'}{C_{m'}}Y_l^{m'}({\theta}',{\phi}')\left[Y_l^{m'}(\theta,\phi)\right]^*\right]
+\left[ P_l(\cos\alpha) \right]^2 = \left[\sum_m{C_m}Y_l^m(\theta,\phi)\left[Y_l^{m}({\theta}',{\phi}')\right]^*\right]\left[\sum_{m'}{C_{m'}}Y_l^{m'}({\theta}',{\phi}')\left[Y_l^{m'}(\theta,\phi)\right]^*\right]
 \end{align}
-이를 입체각으로, $(\theta,\phi)$와 $({\theta}',{\phi}')$으로 적분하면
+이 식의 양변을 적분하면
+\begin{align}
+\frac{4\pi}{2l+1} &= \sum_m{C_m}^2|Y_l^m(\theta',\phi')|^2 \qquad (\theta,\phi)
+\end{align}
+한번 더 적분하면
 \begin{align}
-\frac{4\pi}{2l+1} &= \sum_m{C_m}^2|Y_l^m(\theta',\phi')|^2 \qquad (\theta,\phi)\\
 \frac{(4\pi)^2}{2l+1} &= \sum_m{C_m}^2 \qquad ({\theta}',{\phi}')
 \end{align}
-이다. 두 값중에 어떤 값이 ${C_m}$인가? 여기서 슈바르츠 부등식을 이용하자.
+이다. 여기서 [[수학:코시-슈바르츠 부등식]]을 이용하자. 즉
 \begin{align}
 |\vec{A}\cdot\vec{B}|^2 &\leq |\vec{A}|^2|\vec{B}|^2 \\
-|\sum_k^n{a_k}{b_k}|^2 &\leq \sum_k^n{a_k}^2\sum_k^n{b_k}^2
+\left|\sum_k^n{a_k}{b_k} \right|^2 &\leq \sum_k^n{a_k}^2\sum_k^n{b_k}^2
 \end{align}
+이며 이 때 $b_k = 1$이면,
-이 때 $b_k = 1$이면,
 \begin{align}
-|\sum_k^n{a_k}|^2 &\leq n\sum_k^n{a_k}^2
+\left|\sum_k^n{a_k} \right|^2 &\leq n\sum_k^n{a_k}^2
 \end{align}
+인데 등호는 오직 $a_k$가 모든 $k$에 대해 같을 때 성립한다.
-이고 앞의 계수 $C_m$과 비교하면
+앞의 계수 $C_m$과 비교하면
 \begin{align}
-|\sum_m^n{C_m}|^2 &\leq (2l+1)\sum_m^n{C_m}^2
+\left|\sum_{m=-l}^l {C_m} \right|^2 &= (2l+1)\sum_m^n{C_m}^2
 \end{align}
-그러므로 $C_m = 4\pi/2l+1$이고 $P_l(\cos\alpha)$이 다음과 같이 결정되어 Addition Theorem을 얻는다.
+이므로 모든 $C_m$이 같아야 하고, 특히 $\sum_{m=-l}^l {C_m} = 4\pi$이므로
+$C_m = 4\pi/(2l+1)$임을 알게 된다.
+그 결과, $P_l(\cos\alpha)$이 다음과 같이 결정되어 덧셈 정리를 얻는다.
 \begin{align}
@@ Line 260: / Line 265: @@
 이것이 3차원에서의 다중극 전개식이 된다.
+====== 참고문헌 ======
+  * http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph116C