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--- 진화생물학:프라이스_방정식 [2019/03/08 11:22] – [첨언] admin
+++ 진화생물학:프라이스_방정식 [2026/07/20 15:38] (current) – [참고문헌] admin
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 $$\sum_j \tilde{q}_j \tilde{z}_j = \sum_{ij} p_{ji} q_i \tilde{z}_j$$
 $$\sum_i q_i' z_i' = \sum_i \frac{w_i q_i}{\left<W \right>}z_i'.$$
-이것의 의미는 $z_i'$이 다음처럼 계산되어야 한다는 뜻이다:
+이는 $z_i'$이 다음처럼 계산되어야 한다는 뜻이다:
 $$z_i' = \frac{\left<W \right>}{w_i} \sum_j p_{ji} \tilde{z}_j.$$
+$w_i/\left< W \right> = q_i' / q_i$이므로 위 식을 다시 고쳐서 쓰면
+$$q_i' z_i' = \sum_j p_{ji} q_i \tilde{z}_j$$
+이다. 이는 인덱스 $i$인 부모가 자손 세대의 특성에 기여하는 정도를 다음처럼 풀어서 적는 것과 같다: 즉 비율이 $q_i$인 부모가 $p_{ji}$를 거쳐서 자손 세대에는 $j$라는 인덱스를 주게 되는데 그 자손의 특성이 $\tilde{z}_j$이다. 이를 모든 $j$에 대해 합한다.
+=====선형 회귀법을 사용한 표기=====
+적합도 $W$를 설명변수 $Z$로 기술한다고 가정해보자. 즉 $w_i = \alpha + \beta z_i + \epsilon_i$로서, 최소제곱법을 사용하면 $\beta = \text{Cov}(W,Z)/V_Z$를 얻는다 ($V_Z$는 $Z$의 분산). 프라이스 방정식은 따라서 다음처럼 고쳐 적을 수 있다.
+$$\left< W \right> \Delta \left< Z \right> = \beta V_Z + \left< W \Delta Z \right>.$$
+=====동역학적 충분성=====
+정확한 방정식이지만 시간을 계속 진행시켰을 때의 전체 동역학을 알아내기 위해서는 무한 계층의 문제가 발생한다.
+먼저 평균 $Z$의 변화량을 기술하기 위해 $W$와 $Z$ 사이의 공분산이 필요함에 주목하라. 따라서 동역학을 계속 따라가기 위해서는 공분산이 시간에 대해 어떻게 변화하는지 알아야 한다. 프라이스 방정식을 다시 활용하면 이는 3차항들을 통해 기술될 것이다. 그럼 그 3차항이 어떻게 변화하는지 알아내야 한다. [[물리:bbgky_계층|BBGKY 계층]]에서도 볼 수 있듯이, 이런 무한 계층의 등장은 동역학을 기술할 때에 자주 발생하는 문제이다.
+=====피셔의 "자연선택 근본정리"와의 관계=====
+$Z$는 임의의 특성이므로 만일 $Z=W$라면 다음의 식을 얻을 것이다:
+$$\left< W \right> \Delta \left< W \right> = V_W + \left< W \Delta W \right>.$$
+이 때 설명변수와 종속변수가 동일하므로 $\beta$는 단순히 1이 된다.
+우변의 첫 번째 항은 자연선택에 의한 효과, 두 번째 항은 환경의 변화에 의한 효과로 해석된다. 두 번째 항이 0이 되는 경우, 혹은 자연선택에 의한 변화량만을 볼 경우, 적합도의 변화는
+$$\Delta \left< W \right> = \frac{V_W}{\left< W \right>}$$
+처럼 쓰여져서, 해당 시점의 적합도의 분산에는 비례하고 평균에는 반비례한다.
+====죄수의 딜레마에서====
+죄수의 딜레마와 같은 게임에서는 선택에 의해 참가자 모두의 보수가 낮아지는 결과가 빚어지기 때문에 근본정리가 말하는 바와 어긋나게 된다. 일반적으로 적합도가 빈도에 의존하는 경우 근본정리가 적용되지 않으며 (Nowak, 2006) 특별히 보수 행렬이 완전히 대칭적인 경우에만 적용이 가능하다 (Harms, 2011).
+======함께 보기======
+  * [[진화생물학:친족선택|친족선택]]
 ======참고문헌======
    * Steven A. Frank, //Foundations of Social Evolution// (Princeton University Press, Princeton, NJ, 1998).
+   * Bruce Walsh and Michael Lynch, //Evolution and Selection of Quantitative Traits// (Oxford University Press, Oxford, 2018).
+   * Martin A. Nowak, //Five Rules for the Evolution of Cooperation//, Science **314**, 1560 (2006).
+   * William Harms, //Evolutionary Games and the Modeling of Complex Systems//, in //Philosophy of Complex Systems//, edited by Cliff Hooker (Elsevier, Oxford, 2011), pp. 163--176.