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 ====== PlayGround ======
-====== Patlak-Keller-Segel 정리중======
-===Keller-Segel 방정식의 첫 제안===
-Keller-Segel 방정식은 Evelyn F. Keller 와 Lee A. Segel의 1970년 에 Journal of Theoretical Biology에 게시한 Initiation of Slime Mold Aggregation Viewed as an Instability 에서 제시되었다.
-이 방정식은 주화성 상호작용에에 의해 단위 세포가 모여서 군체를 형성하는 것에 대한 수학적 모델이다.
-===2차원 Keller - Segel equation의 수치해석적 해 구하기===
-===Keller-Segel equation===
-Keller - Segel 방정식은 아래와 같은 식 두개로 이루어져 있다.
-\begin{equation*}
-\frac{\partial \rho(x,t)}{\partial t}    = -\chi_0 \nabla (\rho (x,t) \nabla c(x,t) ) + \mu_0 \nabla^2 \rho(x,t) \quad \cdots (eqn.1)
-\end{equation*}
-\begin{equation*}
-\frac{\partial{c(x,t)}}{\partial{t}} = f_0 \rho(x,t) + \nu_0 \nabla^2 c(x,t) - g_0 c(x,t) \quad \cdots (eqn.2)
-\end{equation*}
-식 1은 유기체 밀도에 대한 확산을 나타내고 식 2는 유기체가 밀도에 비례하여 만드는 화학물질 밀도의 확산을 나타낸다.
-식 1에서 유기체는 자신이 내놓은 화학물질의 농도에 영향을 받아 자유확산이 억제된다.
-유기체 밀도를 전체 공간에 대해 적분하면 보존량 $M$을 얻게되는데 이것을 유기체 하나가 지니는 질량이라고 생각할 수 있을 것이다.
-$$\int_{R^{2}}\rho(x) dx = M_{tot} \quad \cdots (eqn.3) $$
-식 2에서 시간에 대한 화학물질 변화를 0으로 두고 증발률이 매우 적다고 두면 식 2를 아래와 같이 고칠수 있다.
-$$ 0 = \nu_0 \nabla^{2}c(x) + f_0 \rho $$
-이렇게 고친 식은 푸아송 방정식의 해를 취할 수 있는데 이 때 2차원에서 화학물질 농도 $c(x,t)$의 해를 뉴턴 퍼텐셜 해를 가지는 것으로 쓸 수 있다.
-$$c[\rho(x)] = -\frac{1}{2\pi} \int_{R^{2}}\ln|x - y|)\rho(y)dy\quad \cdots (eqn.4)$$
-만약 유기체가 많이 모인 덩어리가 하나 생긴다면 그 덩어리는 주변에 $M/r$에 비례하는 퍼텐셜 힘을 작용하면서 주변에 있는 유기체를 끌어들이는 모양이 된다.
-이때 어떤 임계 질량이란 것이 있어서 다음과 같은 세가지 상황이 생기게 된다.
-. 만약 $M < M_c = 8\pi \frac{\mu_0 \nu_0}{f_0 \chi_0}$ 이면 시간에 관계없이 유기체가 공간상에 고르게 분포한다.
-. 만약 $M = M_c$ 이면 유기체가 공간상에 고르게 분포하지만 무한한 시간이 지나면 한 점으로 모이게 된다.
-. 만약 $M > M_c$ 이면 1. 같은 해의 형태는 존재하지 않는다.
-수치해석적 방법은 많은 연구자(Jan Haskovec, Christian Schmeiser 등)에 의해 연구되어 왔으나 Ibrahin Fatjulin의 입자 -장 방법으로부터 시작했다. (추가예정)
-===선행연구: Ibrahin Fatkulin의 입자 - 장 방법===
-Ibrahin의 방법에서 특기할만 한 점은 다른 수치해석적 방법과는 다르게 뭉쳐있는 입자 사이의 퍼텐셜 함수를 명시적으로 주지 않은것이다.
-또한 유기체가 간신히 뭉친 상태를 유지할 수 있는 임계질량 $M_c$를 이론에서 예측한 값에 꽤 근접하게 얻어낼 수 있다는 점이다.
-이 글에서 사용한 식은 위의 식과는 형태가 조금 다르다. 그 식의 형태는 아래와 같다.
-$$ \partial_t \rho = \nabla ( \chi rho \nabla c  - \mu \nabla \rho ) \cdots (eqn.4) $$
-$$ \alpha \partial_t c = \rho + \nabla^2 c - k^2 c \cdots (eqn.5) $$
-이 떄 $\alpha$의 값에 따라 식의 형태가 0일때의 타원적 모형과 0이 아닐때의 포물선적 모형으로 나뉜다.
-먼저 유기체(입자)의 시간 간격 $\Delta t$당의 이동 규칙은 아래와 같다.
-$$ X^{(N)}(t+ \Delta t) = X^{(N)}(t) - \nabla (c(X^{N}(t),t) \Delta t + \sqrt{2 \mu \Delta t}\mathcal{N}(0,1) $$
-위 식의 형태를 보면 우항의 첫 번째 부분은 시간간격 $\Delta t$동안 화학물질 농도마당의 기울기가 -인 방향(농도가 더 높은 방향)으로 움직이는 편향성을 나타낸다. 두 번째 부분은 $\mu \Delta t$에 해당하는 확산계수를 가지고
-막걷기 운동을 하는 것이다. 여기서 $\mathcal(N)$은 평균이 0이고 분산이 1인 정규분포에서 얻는 무작위수다.
-입자 방법은 입자가 있는 사각형 격자의 가장 가까운 격자점 4개에 선형 보간 규칙을 이용하여 유기체 위치에 따른 덩어리 값(wieght)를 주는것이다.
-이렇게 덩어리 값을 얹고 한 개당 질량 $M_{tot}/N$을 곱하고 격자의 면적으로 나누어서 밀도를 구한다.
-밀도에 어떤 비례상수를 곱해서 화학물질 밀도를 구하는데 이때에는 확산방정식을 backward Euler method를 써서 격자점마다 화학물질 밀도를 할당한다.
-유기체가 느끼는 그래디언트 값은 1차 중심미분으로 격자점마다의 미분값을 구하고 유기체 입자의 위치에 대해 선형보간을 적용하여 할당한다.
-이때 실험한 공간의 조건은 타원적 모형인 $\alpha = 0$에 대해 풀었으며 전체 시스템 크기$L = 3.2$이고 단위 격자의 길이 $\Delta x = 0.05$, 화학물질 감수율$\chi = 0.1$ 유기체의 자유확산계수 $\mu = 0.05$다.
-화학물질은 1의 비율로 내려놓아 유기체 밀도가 곧 화학물질 장의 원천이 된다. 증발률에 해당하는 $k^2$은 임계질량 실험에서 0.01로 두었다. (추가예정)
-===현재 진행하는 방향: 입자-입자 방법===
-만일 유기체가 내놓는 화학물질량이 많이 축적된다면  덩어리 값을 주는 방법으로 꽤 매끄러운 화학물질 농도의 모양을 얻을 수 있을것이다.
-이 아이디어에서 출발해서 화학물질 농도를 주는 규칙을 화학물질 총량에서부터 시작하자. 화학물질은 제한없이 확산계수 $\nu$에 따라 자유확산을 한다.
-화학물질 농도를 추산하는 방법은 Ibrahin이 쓴 덩어리 값을 격자점에 주는 방법을 쓴다.
-임계질량을 측정하기 위해서 질량을 바꿔주면서 충분한 시간에 밀도의 제곱을 전체 공간에 대해 적분한다. (추가예정)
-===측정하는 물리량===
-먼저 어떤 시간 T의 밀도의 제곱을 전체 공간에 대해 적분한 값을 측정해 볼 수 있을것이다.
-왜냐하면 충분한 시간 T가 지나면($M>M_c$인 경우 유한한 시간 안에) 한 점으로 모이기 때문에 임계 질량 근처에서 측정값이 뛰는 현상을 나타낼 것이다.
-$$\int_{R^2} \rho (x)^{2} dx $$
-또 시간에 대한 2차 모멘트의 값($I_2$라 하겠다)을 그리거나 시간에 대한 2차 모멘트의 미분을 그려볼수도 있다. 관계식
-$$\frac{d}{dt}\int_{R^2} |x|^{2}\rho(x) dx = frac{M}{8\pi}(8\pi-M)$$
-에서 질량이 임계질량에 해당하는 $8\pi$보다 클때 시간에 대한 $I_2$의 변화는 $0$보다 작다. 임계질량보다 작은 경우에는 반대가 된다.
-이는 $\rho$가 어떤 확률함수일때 그것에 대한 $|x|^2$의 평균을 구한것의 시간 변화를 의미하는데 $|x|^2$을 면적에 비례하는 값이라고 생각한다면
-질량이 임계질량보다 큰 경우 에는 면적이 줄어든다는 결과를 준다. 한 점으로 모이는 것은 면적이 줄어드는 것이므로 꽤 타당하다.
-===함께보기===
-===참고문헌===
-======배규호 아이디어노트======
-.  기차같은게 어떤 지점 a 에서 b 까지 갈 때 브레이크를 사용하지 않고 마찰력만으로 매끄럽게 b에 도착하는 경우를 열역학적 상태와 연결할수 있을까?
-.  정체 현상은 절~~~ 대로 해소할수 없는것에 대한 증명: 이상유체에 대해 공부해보자....
-. .....