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 Title: 정보 엔트로피
-====== 정의 ======
+===== 불확정성 원리의 엔트로피 표현 =====
-섀넌은 정보량을 표현하기 위해 다음으로 정보 엔트로피를 정의하였다. 임의의 확률 분포 $X=(p_1, ..., p_n)$에서 계산되는 정보량은
+하이젠베르크의 불확정성 원리와 이를 따르는 엔트로피의 관계식이 있다. 두 허미션 연산자 $\hat{A}\,, \hat{B}$, 양자 상태 $| \psi \rangle$이 있다고 하자.
+그리고 $\langle \psi | \hat{A}\hat{B} | \psi \rangle = x+iy$를 가정하자. 이 경우 두 연산자의 교환자와 반교환자의 관계식
-\begin{equation}
-H(X) \equiv H(p_1, ..., p_n) = -\sum_x p_x \log p_x
-\end{equation}
-여기서 $\log$는 밑이 2인 로그를 의미한다. $H(X)$가 가질수 있는 양의 범위는 $p_x=[0,1]\,, H(X)=[0,1]$이며, $p_x=0.5$에서 최댓값을 가지는, 대칭인 함수이다.
+\begin{align*}
-이 때 $p_x=0$인 경우에서 로그의 정의로 인해 $\log0$에 대해 해석하지 못하는 문제가 있는 데, 이 경우 선형함수가 더 빠르게 값이 줄어들어, $p_x=0$ 이면 $H(X)=0\log0\simeq0$으로 간주한다.
+\langle \psi | [\hat{A}, \hat{B}] | \psi \rangle = 2iy \qquad
+\langle \psi | \{\hat{A}, \hat{B}\} | \psi \rangle = 2x
+\end{align*}
-섀넌의 식은 두 가지로 해석할 수 있다.
+이고 이들의 절댓값 제곱의 합은 아래의 식을 만족한다.
-  - 측정을 한 후 측면에서, "얼마나 많은 정보량을 얻는 가?"
-  - 측정을 하기 전 측면에서, "불확정성의 양을 측정"
-측정을 하고 나면 결과만을 보고, $H(X)$의 관점에서 생각하면 정보량을 이만큼 얻을 수 있겠다고 생각할 수 있다. 반대로 정보량이 크다는 것은, 어떤 사건이 발생하는 불확실성이 크다는 이야기가 된다.
-===== 예제: 동전 던지기 =====
+\begin{equation*}
-앞면과 뒷면을 던지는 상황을 생각해보자. 특별히 앞면(head)이 발생할 확률은 $P(H)=1/4$, 뒷면(tail)이 발생할 확률은 $P(T)=3/4$ 이라고 하자.
+| \langle \psi | [\hat{A}, \hat{B}] | \psi \rangle |^2
++ | \langle \psi | \{\hat{A}, \hat{B}\} | \psi \rangle |^2 = 4| \langle \psi | \hat{A}\hat{B} | \psi \rangle |^2
+\end{equation*}
+여기서 코시-슈바르츠 부등식
+\begin{equation*}
+\langle \psi | \hat{A}\hat{B} | \psi \rangle \leq \langle \psi | \hat{A}\cdot\hat{A} | \psi \rangle \langle \psi | \hat{B}\cdot\hat{B} | \psi \rangle
+\end{equation*}
+이므로
+\begin{equation*}
+\langle \psi | [\hat{A}, \hat{B}] | \psi \rangle \leq 4\langle \psi | \hat{A^2} | \psi \rangle \langle \psi | \hat{B^2} | \psi \rangle
+\end{equation*}
+다음으로 관측가능값(observables) $\hat{C}, \hat{D}$를 앞의 허미션 연산자 $\hat{A} = \hat{C} - \langle \hat{C} \rangle$, $\hat{B} = \hat{D} - \langle \hat{D} \rangle$ 의 관계로 두어 계산하면,
+\begin{align*}
+\Delta C \cdot \Delta D \geq \frac{\langle \psi | [\hat{C}, \hat{D}] | \psi \rangle}{2}
+\end{align*}
+$\Delta C\,,\Delta D$는 C와 D의 표준편차이다. 이제 이 결과를 엔트로피에 적용해보자. 우리가 얻고싶은 식은
+\begin{equation*}
+H(\hat{C}) + H(\hat{D}) \geq 2\log\left(\frac{1}{f(\hat{C},\hat{D})}\right)
+\end{equation*}
+하지만 이것을 얻는 방법이 약간 복잡해서, 조금 약한 결과
+\begin{equation*}
+H(\hat{C}) + H(\hat{D}) \geq -2\log\left(\frac{1+f(\hat{C},\hat{D})}{2}\right)
+\end{equation*}
+를 얻어보도록 하자. 관측값 $\hat{C}\,, \hat{D}$에 대한 스펙트럴 분해(고유값 분해)
+\begin{equation*}
+\hat{C} = \sum_c \lambda_c | c \rangle \langle c | \qquad \hat{D} = \sum_d \lambda_d | d \rangle \langle d |
+\end{equation*}
+그리고 얻고자 하는 식의 함수 f는
+\begin{equation*}
+f(\hat{C},\hat{D}) \equiv \max_{C,D} | \langle c | d \rangle |
+\end{equation*}
+으로, 이를테면 C와 D가 각각 파울리 행렬 X와 Z인경우, X와 Z의 고유벡터 중 최댓값은 $f(\hat{X},\hat{Z})=1/\sqrt{2}$이다. 마지막으로 각 관측값의 측정으로 얻는 확률을 $p(c)\,, q(d)$라고 하자.
+먼저 각 엔트로피의 합은
+\begin{equation*}
+H(\hat{C}) + H(\hat{D}) = -\sum_{c,d}p(c)q(d)\log p(c)q(d)
+\end{equation*}
+$p(c)\,, q(d)$는 양자상태 $| \psi \rangle$의 투영측정으로 얻을 수 있다.
+\begin{equation*}
+p(c) = | \langle c | \psi \rangle |^2 \qquad q(d) = | \langle d | \psi \rangle |^2 \qquad p(c)q(d) = | \langle c | \psi \rangle \langle d | \psi \rangle |^2 = | \langle c | \psi \rangle \langle \psi | d \rangle |^2
+\end{equation*}
+한편, $| \psi \rangle$이 $| c \rangle\,, | d \rangle$으로 생성된(spanned) 공간으로 임의의 상태 $| \tilde\psi \rangle$로 투영측정된다고 하면, $p(c)q(d)$의 확률은
+\begin{equation*}
+p(c)q(d) = | \langle c | \psi \rangle \langle \psi | d \rangle |^2 = \lambda^2\cos^2(\theta-\phi)\cos^2(\phi)
+\end{equation*}
+따라서 $\lambda=1\,, \phi=\theta/2$에서 확률의 최댓값을 만족하게 된다. 그러므로,
+\begin{equation*}
+p(c)q(d) = \cos^4(\theta/2) = \left(\frac{1+\cos\theta}{2}\right)^2 = \left(\frac{1+|\langle c | d \rangle |}{2}\right)^2 = \left(\frac{1+f(\hat{C},\hat{D})}{2}\right)^2
+\end{equation*}
+이며 이경우에는 엔트로피 최솟값이 되므로, $H(\hat{C}) + H(\hat{D})$의 부등식이 성립하게 된다.
+====== 참고문헌 ======
+  * M.A. Nielsen and I.L. Chuang, //Quantum Computation and Quantum Information: 10th Anniversary Edition//, Cambridge University Press (2010), Chapter 11
+  * D. Deutsch, //Uncertainty in Quantum Measurements//, PhysRevLett.50.631 (1983), 631--633, [[https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.50.631]]