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 f(\hat{C},\hat{D}) \equiv \max_{C,D} | \langle c | d \rangle |
 \end{equation*}
+으로, 이를테면 C와 D가 각각 파울리 행렬 X와 Z인경우, X와 Z의 고유벡터 중 최댓값은  $f(\hat{X},\hat{Z})=1/\sqrt{2}$ 이다. 마지막으로 각 관측값의 측정으로 얻는 확률을  $p(c)\,, q(d)$ 라고 하자.
+먼저 각 엔트로피의 합은
+\begin{equation*}
+H(\hat{C}) + H(\hat{D}) = -\sum_{c,d}p(c)q(d)\log p(c)q(d)
+\end{equation*}
+ $p(c)\,, q(d)$ 는 양자상태  $| \psi \rangle$ 의 투영측정으로 얻을 수 있다.
+\begin{equation*}
+p(c) = | \langle c | \psi \rangle |^2 \qquad q(d) = | \langle d | \psi \rangle |^2 \qquad p(c)q(d) = | \langle c | \psi \rangle \langle d | \psi \rangle |^2 = | \langle c | \psi \rangle \langle \psi | d \rangle |^2
+\end{equation*}
+한편,  $| \psi \rangle$ 이  $| c \rangle\,, | d \rangle$ 으로 생성된(spanned) 공간으로 임의의 상태  $| \tilde\psi \rangle$ 로 투영측정된다고 하면,  $p(c)q(d)$ 의 확률은
+\begin{equation*}
+p(c)q(d) = | \langle c | \psi \rangle \langle \psi | d \rangle |^2 = \lambda^2\cos^2(\theta-\phi)\cos^2(\phi)
+\end{equation*}
+따라서  $\lambda=1\,, \phi=\theta/2$ 에서 확률의 최댓값을 만족하게 된다. 그러므로,
+\begin{equation*}
+p(c)q(d) = \cos^4(\theta/2) = \left(\frac{1+\cos\theta}{2}\right)^2 = \left(\frac{1+|\langle c | d \rangle |}{2}\right)^2 = \left(\frac{1+f(\hat{C},\hat{D})}{2}\right)^2
+\end{equation*}
+이며 이경우에는 엔트로피 최솟값이 되므로,  $H(\hat{C}) + H(\hat{D})$ 의 부등식이 성립하게 된다.
 ====== 참고문헌 ======
   * M.A. Nielsen and I.L. Chuang, //Quantum Computation and Quantum Information: 10th Anniversary Edition//, Cambridge University Press (2010), Chapter 11
+  * D. Deutsch, //Uncertainty in Quantum Measurements//, PhysRevLett.50.631 (1983), 631--633, [[https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.50.631]]