물리:구면_p-스핀_유리_모형 [statphys]

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======구면 $p$-스핀 유리 모형======
이 모형의 해밀토니안은 [[물리:p-스핀_유리_모형|$p$-스핀 유리 모형]]과 같다. 단 한 가지 차이는, 이 모형에서는 스핀 변수가 $-\infty$부터 $\infty$까지 실수의 값을 가질 수 있다는 것이다.

복제 방법을 통한 정적 분석, 동역학적 분석, 그리고 [[물리:tap_방정식|TAP 방정식]]이라는 세 가지의 다른 방법을 사용해서 모형을 분석해보자.

======정적 분석======
=====복제 방법=====

$p=3$에서 하나의 분배함수를 무질서에 대해 평균한다면 다음처럼 계산된다:
\begin{eqnarray*}
\overline{Z} &=& \int D\sigma \prod_{i<j<k} \int dJ_{ijk} \exp \left[ -J_{ijk}^2 \frac{N^p}{p!} + \beta J_{ijk} \sigma_i \sigma_j \sigma_k \right]\\
&\approx& \int D\sigma \exp\left[ \frac{\beta^2}{4N^{p-1}} \left( \sum_i \sigma_i^2 \right)^p \right]\\
&\sim& \exp \left[ N\frac{\beta^2}{4} \right] \Omega.
\end{eqnarray*}
여기에서 $\Omega$는 구면 조건 $\sum_i \sigma_i^2 = N$에 의해 생기는 초구의 면적이다.
둘째 줄로 넘어올 때에
$$p! \sum_{i<j<k}^N \approx \sum_{ijk}^N$$
의 근사를 사용했고, 적분의 결과로 나오는 계수는 생략했다. $\ln \overline{Z}$로 자유 에너지를 구하면, 이는 상호작용의 무질서가 열풀림(annealing) 과정 안에 있어 스핀과 같은 시간 척도에서 변화한다고 가정한 것에 대응된다.

담금질된(quenched) 무질서를 다루기 위해서는 $\overline{\ln Z}$이 필요하다. $n$개의 복제본에 대해 마찬가지의 계산을 수행하면 다음과 같다:
\begin{eqnarray*}
\overline{Z^n} &=& \int D\sigma_i^n \prod_{i<j<k} \int dJ_{ijk} \exp \left[ -J_{ijk}^2 \frac{N^p}{p!} + \beta J_{ijk} \sum_{a=1}^n \sigma_i^a \sigma_j^a \sigma_k^a \right]\\
&\sim& \int D\sigma_i^a \prod_{i<j<k} \exp\left[ \frac{\beta^2 p!}{4N^{p-1}} \sum_{ab}^n \sigma_i^a \sigma_i^b \sigma_j^a \sigma_j^b \sigma_k^a \sigma_k^b \right]\\
&\approx& \int D\sigma_i^a \exp\left[ \frac{\beta^2}{4N^{p-1}} \sum_{ab}^n \left( \sum_{i=1}^{N} \sigma_i^a \sigma_i^b \right)^p \right]\\
&\sim& \int DQ^{ab} D\lambda^{ab} \exp [-N G(Q,\lambda)].
\end{eqnarray*}
여기에서 $Q$는 $Q^{ab}$를 원소로 가지는 $n\times n$ 행렬이며, 마찬가지로 $\lambda$는 $\lambda^{ab}$를 원소로 가지는 $n\times n$ 행렬이다.
[[물리:p-스핀_유리_모형|$p$-스핀 유리 모형]]에서 했던 것처럼 이를 형태로 정리해서 적어보면
$$\overline{Z^n} \sim \int DQ^{ab} D\lambda^{ab} D\sigma_i^a \exp\left[ \frac{\beta^2 N}{4} \sum_{ab} \left(Q^{ab}\right)^p + N\sum_{ab} \lambda^{ab} Q^{ab} - \sum_i \sum_{ab} \lambda^{ab} \sigma_i^a \sigma_i^b \right].$$
모든 복제본의 스핀 변수 $\{ \sigma_i^a \}$들에 대해 적분을 수행하면 (대각합의 역할) 다음의 결과를 얻는데
\begin{eqnarray*}
\int D\sigma_i^a \exp \left( -\sum_i \sum_{ab} \sigma_i^a \lambda^{ab} \sigma_i^b \right) &=& \left[ \int D\sigma^a \exp \left( -\sum_{ab} \sigma^a \lambda^{ab} \sigma^b \right) \right]^N\\
&=& \left\{ (2\pi)^{n/2} \left[\det(2\lambda) \right]^{-1/2} \right\}^N,
\end{eqnarray*}
왜냐하면 [[수학:윅의_정리|가우스 적분]]의 성질에 따라 다음 식이 성립하기 때문이다:
$$\int D\sigma^a \exp \left( - \frac{1}{2} \sum_{ab} \sigma^a \lambda^{ab} \sigma^b \right) = \frac{(2\pi)^{n/2}}{\sqrt{\det \lambda}}.$$
따라서
$$G(Q, \lambda) \approx -\frac{\beta^2}{4} \sum_{ab} \left(Q^{ab}\right)^p - \sum_{ab} \lambda^{ab} Q^{ab} + \frac{1}{2} \ln \det(2\lambda).$$
[[수학:안장점_근사|안장점 근사]]를 사용하면 $\partial G/\partial Q^{ab} = 0$과 $\partial G/\partial \lambda^{ab} = 0$으로부터 각각 다음을 얻는다:
\begin{eqnarray*}
\lambda^{ab} &=& \frac{1}{2} \beta^2 p \left( Q^{ab} \right)^{p-1}\\
Q^{ab} &=& \left[(2\lambda)^{-1}\right]^{ab} = \frac{1}{2} \left(\lambda^{-1}\right)^{ab}.
\end{eqnarray*}
단, $Q^{aa}$는 구면 조건에 의해 값이 $1$로 묶여 있다. 두 방정식을 $Q^{ab}$에 대해 정리하면 다음과 같다.
$$\frac{1}{2}\beta^2 p \left(Q^{ab}\right)^{p-1} + \left( Q^{-1} \right)^{ab} = 0.$$

/*
=====$n$개의 복제본에 대한 분배함수=====
[[물리:p-스핀_유리_모형|$p$-스핀 유리 모형]]을 참고하면 $n$개의 복제본에 대한 분배함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$\overline{Z^n}=\text{Tr}_{\sigma}\exp\left[\frac{(\beta J)^2}{4}N\sum_{\alpha\beta}\frac{p!}{N^p}\sum_{i_1<\cdots<i_p}\sigma_{i_1}^\alpha\sigma_{i_1}^\beta\cdots\sigma_{i_p}^\alpha\sigma_{i_p}^\beta+\beta h\sum_{i,a}\sigma_i^a\right]$$
$i_1,\cdots,i_p$에 대한 합을 다음과 같이 나누어 쓰자.
$$p!\sum_{i_1<\cdots<i_p} = \sum_{i_1,\cdots,i_p}-\frac{p(p-1)}2\sum_{i_1,i_1\neq i_3,\cdots}$$
이렇게 두고 분배함수를 다시 쓰면
$$\overline{Z^n}=\text{Tr}_{\sigma}\exp\left[\frac{(\beta J)^2}{4}N\sum_{\alpha\beta}\left\{\frac1{N^p}\left(\sum_i\sigma_i^\alpha\sigma_i^\beta\right)^p-\frac{p(p-1)}2\frac1{N^{p-2}}\left(\sum_i\sigma_i^\alpha\sigma_i^\beta\right)^{p-2}\left(\sum_i(\sigma_i^\alpha\sigma_i^\beta)^2\right)\right\}+\beta h\sum_{i,a}\sigma_i^a\right]$$
가 된다. $q_{\alpha\beta}=N^{-1}\sum_i\sigma_i^\alpha\sigma_i^\beta$로 정의하고, 이를 만족하기 위한 구속조건
\begin{align*}
1=&\int\prod_{\alpha<\beta}dq_{\alpha\beta}\delta\left(Nq_{\alpha\beta}-\sum_{i=1}^N\sigma_i^\alpha\sigma_i^\beta\right)\\
=&\int\prod_{\alpha<\beta}dq_{\alpha\beta}\int_{-i\infty}^{+i\infty}\prod_{\alpha<\beta}\frac N{2\pi i}d\lambda_{\alpha\beta}\exp\left[-\frac12\sum_{\alpha\neq\beta}\lambda_{\alpha\beta}\left(Nq_{\alpha\beta}-\sum_{i=1}^N\sigma_i^\alpha\sigma_i^\beta\right)\right]
\end{align*}
과 스핀에 대한 대각합
\begin{align*}
\text{Tr}_\sigma =& \int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{i,\alpha}d\sigma_i^\alpha\prod_\alpha\delta\left(N-\sum_{i=1}^N(\sigma_i^\alpha)^2\right)\\
=&\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{i,\alpha}d\sigma_i^\alpha\int_{-i\infty}^{+i\infty}\prod_\alpha\frac{d\lambda_{\alpha\alpha}}{4\pi i}\exp\left[-\frac12\sum_\alpha\lambda_{\alpha\alpha}\left(Nq_{\alpha\alpha}-\sum_{i=1}^N(\sigma_i^\alpha)^2\right)\right]
\end{align*}
을 넣어서 쓰면 분배함수를
\begin{align*}
\overline{Z^n}=&\int\prod_{\alpha<\beta}dq_{\alpha\beta}\int_{-i\infty}^{+i\infty}\prod_{\alpha<\beta}\frac N{2\pi i}d\lambda_{\alpha\beta}\int_{-i\infty}^{+i\infty}\prod_\alpha\frac{d\lambda_{\alpha\alpha}}{4\pi i}\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{i,\alpha}d\sigma_i^\alpha\\
&\quad\times\exp\left[-\frac N2\sum_{\alpha\beta}\lambda_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}+\frac{(\beta J)^2}4N\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^p-\frac{(\beta J)^2}{8N}p(p-1)\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^{p-2}\left(\sum_i(\sigma_i^\alpha\sigma_i^\beta)^2\right)+\frac12\sum_{\alpha\beta}\lambda_{\alpha\beta}\sum_i\sigma_i^\alpha\sigma_i^\beta+\beta h\sum_{i,\alpha}\sigma_i^\alpha\right]
\end{align*}
와 같이 쓸 수 있다.
=====스핀에 대한 대각합=====
분배함수 중 스핀 변수와 관련된 부분을 모으면
\begin{align*}
&\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{i,\alpha}d\sigma_i^\alpha
\exp\left[-\frac{(\beta J)^2}{8N}p(p-1)\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^{p-2}\left(\sum_i(\sigma_i^\alpha\sigma_i^\beta)^2\right)+\frac12\sum_{\alpha\beta}\lambda_{\alpha\beta}\sum_i\sigma_i^\alpha\sigma_i^\beta+\beta h\sum_{i,\alpha}\sigma_i^\alpha\right]\\
=&\left[\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{\alpha}d\sigma^\alpha
\exp\left[-\frac{(\beta J)^2}{8N}p(p-1)\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^{p-2}(\sigma^\alpha\sigma^\beta)^2+\frac12\sum_{\alpha\beta}\lambda_{\alpha\beta}\sigma^\alpha\sigma^\beta+\beta h\sum_{\alpha}\sigma^\alpha\right]\right]^N
\end{align*}
로 쓸 수 있고, $\beta H_{\text{eff}} = \frac12\sum_{\alpha\beta}\lambda_{\alpha\beta}\sigma^\alpha\sigma^\beta+\beta h\sum_{\alpha}\sigma^\alpha$로 두고 위 식을 전개하면
\begin{align*}
&\left[\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{\alpha}d\sigma^\alpha
e^{\beta H_{\text{eff}}}\exp\left(-\frac{(\beta J)^2}{8N}p(p-1)\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^{p-2}(\sigma^\alpha\sigma^\beta)^2\right)\right]^N\\
\approx&\left[\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{\alpha}d\sigma^\alpha
e^{\beta H_{\text{eff}}}\left(1-\frac{(\beta J)^2}{8N}p(p-1)\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^{p-2}(\sigma^\alpha\sigma^\beta)^2+\mathcal O(N^{-2})\right)\right]^N\\
=&\exp\left[N\log\left\{\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{\alpha}d\sigma^\alpha
e^{\beta H_{\text{eff}}}-\frac{(\beta J)^2}{8N}p(p-1)\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^{p-2}\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{\alpha}d\sigma^\alpha
e^{\beta H_{\text{eff}}}(\sigma^\alpha\sigma^\beta)^2\right\}\right]\\
=&\exp\left[N\log\left(\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{\alpha}d\sigma^\alpha
e^{\beta H_{\text{eff}}}\right)+N\log\left\{1-\frac{(\beta J)^2}{8N}p(p-1)\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^{p-2}\left\langle(\sigma^\alpha\sigma^\beta)^2\right\rangle\right\}\right]\\
\approx&\exp\left[N\log\left(\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{\alpha}d\sigma^\alpha
e^{\beta H_{\text{eff}}}\right)-N\frac{(\beta J)^2}{8N}p(p-1)\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^{p-2}\left\langle(\sigma^\alpha\sigma^\beta)^2\right\rangle\right]
\end{align*}
이고, 지수 위의 첫 번째 항은 가우스 적분
$$\int\prod_\alpha d\sigma_\alpha\exp\left[-\frac12\vec\sigma\cdot\mathbf A\cdot\vec\sigma+\mathbf J\cdot\vec\sigma\right] = \sqrt{\frac{(2\pi)^n}{\det\Lambda}}\exp\left[-\frac12\mathbf J\cdot \mathbf A^{-1}\cdot\mathbf J\right]$$
를 이용해  $J_i = \beta h$, $\mathbf A = -\tilde\Lambda$로 두고 다음과 같이 계산할 수 있다.
\begin{align*}
&\log\left(\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{\alpha}d\sigma^\alpha
e^{\beta H_{\text{eff}}}\right)=\log\left(\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{\alpha}d\sigma^\alpha
\exp\left[\frac12\sum_{\alpha\beta}\lambda_{\alpha\beta}\sigma^\alpha\sigma^\beta+\beta h\sum_{\alpha}\sigma^\alpha\right]\right)\\
=&\frac n2\log(2\pi)-\frac12\log\det(-\tilde\Lambda)+\frac{(\beta h)^2}2\sum_{\alpha\beta}(\tilde\Lambda^{-1})_{\alpha\beta}
\end{align*}
여기서 $(\tilde\Lambda)_{\alpha\beta}=\lambda_{\alpha\beta}$이다. 따라서 분배함수는
$$
\overline{Z^n}=\int\prod_{\alpha<\beta}dq_{\alpha\beta}\int_{-i\infty}^{+i\infty}\prod_{\alpha<\beta}\frac N{2\pi i}d\lambda_{\alpha\beta}\int_{-i\infty}^{+i\infty}\prod_\alpha\frac{d\lambda_{\alpha\alpha}}{4\pi i}
e^{-NG[\mathbf q,\lambda]}
$$
가 된다. 여기서
$$G[\mathbf q,\lambda] = \frac 12\sum_{\alpha\beta}\lambda_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}-\frac{(\beta J)^2}2\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^p-\frac n2\log(2\pi)+\frac{(\beta J)^2}{8N}p(p-1)\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^{p-2}\left\langle(\sigma^\alpha\sigma^\beta)^2\right\rangle+\frac12\log\det(-\tilde\Lambda)+\frac{(\beta h)^2}2\sum_{\alpha\beta}(\tilde\Lambda^{-1})_{\alpha\beta}$$
이다.


=====$\lambda$ 적분(작성중)=====
$b = \beta h$, $\mu=b^2p/2$.

$(\tilde b^2)_{\alpha\beta} = b^2$: $n\times n$ 행렬
\begin{align*}
\log\det(-\tilde\Lambda-\tilde b^2)=&\log\det\left[-\tilde\Lambda(I+\tilde b^2\cdot\tilde \Lambda^{-1})\right]\\
=&\log\det(-\tilde \Lambda)+\log\det(I+\tilde b^2\cdot\tilde\Lambda^{-1})\\
=&\log\det(-\tilde \Lambda)+\text{Tr}\log(I+\tilde b^2\cdot\tilde\Lambda^{-1})\\
\approx&\log\det(-\tilde\Lambda)+\text{Tr }\left(\tilde b^2\cdot\tilde\Lambda^{-1}-\frac{(\tilde b^2\cdot\tilde\Lambda^{-1})^2}2+\mathcal O(n^3)\right)
\end{align*}

극값 조건
$$\langle\sigma^\alpha\sigma^\beta\rangle = q_{\alpha\beta}$$
$$\lambda_{\alpha\beta}+b^2+(\mathbf q^{-1})_{\alpha\beta} = \mathcal O(n)$$

분배함수
$$\overline{Z^n} = e^{nS(\infty)}\int\prod_{\alpha<\beta}\sqrt{\frac N{2\pi}}dq_{\alpha\beta}\exp\left[-NG_0[\mathbf q]-G_1[\mathbf q]+\mathcal O(N^{-1})\right]$$

$$G_0[\mathbf q] = -\frac\mu{2p}\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^p-\frac{b^2}2\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}-\frac12\log\det\mathbf q+\frac{b^4}4\left(\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}\right)^2$$
$$G_1[\mathbf q] = \frac\mu4(p-1)\sum_{\alpha\beta}\left\langle(\sigma^\alpha\sigma^\beta)^2\right\rangle q_{\alpha\beta}^{p-2}+\log\det\mathbf q$$
=====$q$ 적분(작성중)=====

극값 조건
$$\mu q_{\alpha\beta}^{p-1}+b^2+(\mathbf q^{-1})_{\alpha\beta} = 0\qquad\alpha\neq\beta$$

2차항까지 전개
$$\delta^2G_0 = -\frac{\mu(p-1)}2\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^{p-2}(\delta q_{\alpha\beta})^2+\text{Tr}(\mathbf q^{-1}\delta\mathbf q)^2+b^4\left(\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}\right)^2$$

\begin{align*}
\text{Tr}(\mathbf q^{-1}\delta\mathbf q)^2=&\text{Tr}(\mathbf q^{-1}\delta\mathbf q\mathbf q^{-1}\delta\mathbf q)\\
=&\sum_\alpha(\mathbf q^{-1}\delta\mathbf q\mathbf q^{-1}\delta\mathbf q)_{\alpha\alpha}\\
=&\sum_{\alpha\beta\gamma\epsilon}(A\delta_{\alpha\beta}+B)\delta q_{\beta\gamma}(A\delta_{\gamma\epsilon}+B)\delta q_{\epsilon\alpha}\\
=&\sum_{\alpha\beta\gamma\epsilon}\left[A^2\delta_{\alpha\beta}\delta_{\gamma\epsilon}+AB(\delta_{\alpha\beta}+\delta_{\gamma\epsilon})+B^2\right]\delta q_{\beta\gamma}\delta q_{\epsilon\alpha}\\
=&A^2\sum_{\alpha\beta}\delta q_{\alpha\beta}^2 +2AB\sum_{\alpha\beta\gamma}\delta_{\alpha\gamma}\delta_{\gamma\beta}+B^2\left(\sum_{\alpha\beta}\delta q_{\alpha\beta}\right)^2
\end{align*}
$$\delta^2G_0 = -\frac{\mu(p-1)}2\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^{p-2}(\delta q_{\alpha\beta})^2+A^2\sum_{\alpha\beta}\delta q_{\alpha\beta}^2 +2AB\sum_{\alpha\beta\gamma}\delta_{\alpha\gamma}\delta_{\gamma\beta}+\left(B^2+b^4\right)\left(\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}\right)^2$$
*/
=====복제 대칭 해=====
$Q$가 다음과 같은 구조를 가지고 있다고 하자:
$$Q^{ab} = \left\{
\begin{array}{ll}
1 & \text{if }a=b\\
q_0 & \text{otherwise.}
\end{array}
\right.$$
그 역행렬은 다음처럼 주어진다:
$$\left(Q^{-1}\right)^{ab} = \frac{1}{1-q_0} \delta_{ab} - \frac{q_0}{(1-q_0) \left[ 1+(n-1)q_0 \right]}.$$
그러므로 $n\to 0$에서 $Q^{ab}$가 만족해야 할 식은 이렇다:
$$\frac{1}{2} \beta^2 p q_0^{p-1} - \frac{q_0}{(1-q_0)^2} = 0.$$
이 방정식에서 $q_0=0$는 언제나 해가 되며, 이는 앞에서 보았던 열풀림(annealed) 무질서의 경우와 같은 자유 에너지
$$F = - \lim_{n\to0} \frac{1}{2\beta n} \left[ \frac{\beta^2}{2} \sum_{ab} \left(Q^{ab} \right)^p+ \ln \det Q \right] = -\beta / 4$$
를 준다. 즉 이는 고온의 상자성(paramagnetic) 상에 대응된다.

$\beta$가 충분히 커지면 $q_0 \neq 0$인 해가 나타난다. 그러나 그 점에서 헤세 행렬(hessian)을 구해보면 고윳값 중 음수가 존재하므로 이 답은 불안정한 것으로 판명된다.


=====복제 대칭성 깨짐 해=====
복제 대칭성을 한번 깨뜨려서 행렬 $Q$가 예를 들어 각 그룹 안의 복제본 수가 $m=3$일 때 다음과 같은 구조를 가지고 있다고 하자:
$$Q = \begin{pmatrix}
1 & q_1 & q_1 &  &  &  &  \\
q_1 & 1 & q_1 & & q_0 & & \cdots\\
q_1 & q_1 & 1 &  &  &  &  \\
 & & & 1 & q_1 & q_1 &  \\
 & q_0 & & q_1 & 1 & q_1 &  \\
 & & & q_1 & q_1 & 1 &  \\
 & \vdots & & & & & \ddots \\
\end{pmatrix}.$$
이때 $0\le q_0 \le q_1 \le 1$이고, $n\to0$인 극한에서 $0\le m \le 1$로서, $m$의 값은 최적화를 통해 찾아야 한다. 이제 $F$의 첫 번째 항을 계산해보면
$$\frac{1}{n} \sum_{ab} \left( Q^{ab} \right)^p = \frac{1}{n} \left[ n^2 q_0^p + (q_1^p-q_0^p) m^2 \left( \frac{n}{m} \right) + (1- q_1^p) n\right] \xrightarrow[n\to0]{}1+(m-1) q_1^p - mq_0^p.$$
그리고 두 번째 항의 경우 행렬 $Q$의 고윳값 구조를 알아야 하는데, 고윳값들과 그것들의 겹침수가 다음과 같다:
$$\begin{array}{ll}
\mu_1 = 1-q_1 & \text{degeneracy } d_1 = n-n/m\\
\mu_2 = m(q_1-q_0) + (1-q_1) & \text{degeneracy } d_2 = n/m-1\\
\mu_3 = nq_0 + m (q_1-q_0) + (1-q_1) & \text{degeneracy } d_3 = 1
\end{array}$$
따라서
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{n} \ln \det Q &=& \frac{1}{n} \left( d_1 \ln \mu_1 + d_2 \ln \mu_2 + d_3 \ln \mu_3 \right)\\
&=& \left(1-\frac{1}{m}\right) \ln \left(1-q_1\right) + \left( \frac{1}{m}-\frac{1}{n} \right) \ln\left[ m(q_1-q_0)+(1-q_1)\right] + \frac{1}{n} \ln\left[ nq_0 + m(q_1-q_0) + (1-q_1) \right]\\
&=& \left(1-\frac{1}{m}\right) \ln \left(1-q_1\right) + \frac{1}{m} \ln\left[ m(q_1-q_0)+(1-q_1)\right] + \frac{1}{n} \left\{ \ln\left[ nq_0 + m(q_1-q_0) + (1-q_1) \right] - \ln\left[ m(q_1-q_0)+(1-q_1)\right] \right\}\\
&\xrightarrow[n\to0]{}& \left(1-\frac{1}{m}\right) \ln \left(1-q_1\right) + \frac{1}{m} \ln\left[ m(q_1-q_0)+(1-q_1)\right] + \frac{q_0}{m(q_1-q_0)+(1-q_1)}.
\end{eqnarray*}
따라서
\begin{eqnarray*}
-2\beta F_\text{1RSB} &=& \frac{\beta^2}{2} \left[ 1+(m-1)q_1^p - mq_0^p \right] + \left(1-\frac{1}{m}\right) \ln \left(1-q_1\right) + \frac{1}{m} \ln\left[ m(q_1-q_0)+(1-q_1)\right] + \frac{q_0}{m(q_1-q_0)+(1-q_1)}
\end{eqnarray*}
로서, 이 식은 $q_1\to q_0$ 또는 $m\to 1$인 극한에서 복제 대칭의 경우로 돌아간다.

$\partial F/\partial q_1 = 0$과 $\partial F/\partial m=0$으로부터 다음의 두 식을 얻는다:
$$(1-m) \left\{ \frac{\beta^2}{2} p q_1^{p-1} - \frac{q_1}{(1-q_1)[(m-1)q_1+1]} \right\} = 0$$
$$\frac{\beta^2}{2} q_1^p + \frac{1}{m^2} \ln \left[ \frac{1-q_1}{1-(1-m)q_1} \right] + \frac{q_1}{m[1-(1-m)q_1]} = 0.$$

고온에서는 $q_1=0$만이 유일한 해가 되며($m$은 미정), 이는 상자성 상에 해당한다. 그러나 온도를 낮추어가면 어떤 온도 $T_s$에서 $q_1=q_s \neq 0$인 해가 등장한다 ($m=1$). 온도 $T_s$ 아래에서는 $q_1>q_s$이고 $m<1$이다.

만일 두 번 이상 복제 대칭성을 깨뜨려도 지금의 결과로 돌아오므로, 복제 방법 안에서 더 이상의 복제 대칭성 깨짐은 불필요함을 알 수 있다.


======동역학적 분석======

=====유효 랑주뱅 방정식=====
[[물리:포커-플랑크_방정식|마틴-시지아-로즈 형식론]]으로부터 다음의 식을 얻었다:
\begin{eqnarray*}
\rho(x,t=n\Delta t) &=& 
\mathcal{N} \int \left(\prod_{i=0}^{n-1} dx_i \right) \left(\prod_{i=0}^{n-1} dk_i \right) \delta(x-x_n) \exp\left(\sum_{i=0}^{n-1} \left\{ -Ik_i \left[ x_{i+1}-x_i-a(x_i) \Delta t \right] - \frac{1}{2} \Delta t k_{i+1}^2 \right\} \right) \rho(x_0,0).
\end{eqnarray*}
이때 $\mathcal{N}$은 계수들을 모아서 쓴 것이다. 온도 $T$는 명시적으로 적지 않고 최종 결과에만 적을 것이다.
계의 상태 $x$가 여러 스핀 변수의 묶음으로 $\left\{\sigma_{j,i} \right\}$처럼 표현된다고 해보자. 앞의 인덱스 $j$는 스핀을 가리키고 뒤의 인덱스 $i$는 시간을 나타낸다(혼동을 피하기 위해 허수 $\sqrt{-1}$은 대문자 $I$로 적는다). 이에 대응되어 $k$에 해당하는 변수들은 $\left\{ \hat{\sigma}_{j,i} \right\}$로 표현한다. 계는 해밀토니안 동역학을 따라서, 스핀 $j$가 시간 $t_i = i\Delta t$에 받는 구동력이 다음처럼 주어진다:
$$a_{j,i} = -\frac{\partial \mathcal{H} \left( \left\{\sigma_{j,i} \right\} \right)}{\partial \sigma_{j,i}} -\mu_i \sigma_{j,i} \approx \frac{p}{p!} \left( \sum_{k=1}^N \sum_{l=1}^N J_{jkl} \sigma_{k,i} \sigma_{l,i} \right)  -\mu_i \sigma_{j,i}.$$
이때 $\mu_i$는 구면 조건을 만족하기 위해 도입한 [[수학:라그랑주 곱수]]이다. 밀도함수의 정규화 조건은 다음과 같다:
\begin{eqnarray*}
1 = Z &=& \int \left( \prod_j d\sigma_{j} \right) \rho\left(\left\{\sigma_{j,i} \right\}\right)\\
&=& \mathcal{N} \int \left(\prod d\sigma_{j,i} \right) \left(\prod d\hat{\sigma}_{j,i} \right) \exp\left(\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=1}^N \left\{ -I\hat{\sigma}_{j,i} \left[ \sigma_{j,i+1}-\sigma_{j,i}-a_{j,i} \Delta t \right] - \frac{1}{2} \Delta t \hat{\sigma}_{j,i+1}^2 \right\} \right) \rho_0\\
&=& \mathcal{N} \int \left(\prod d\sigma_{j,i} \right) \left(\prod d\hat{\sigma}_{j,i} \right) \exp\left(\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=1}^N \left\{ -I\hat{\sigma}_{j,i} \left[ \sigma_{j,i+1}-\sigma_{j,i} + \mu_i \sigma_{j,i} \Delta t \right] - \frac{1}{2} \Delta t \hat{\sigma}_{j,i+1}^2 \right\} \right) \exp \left( -\Delta t\frac{Ip}{p!} \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=1}^N \sum_{k=1}^N \sum_{l=1}^N J_{jkl} \hat{\sigma}_{j,i} \sigma_{k,i} \sigma_{l,i} \right) \rho_0.
\end{eqnarray*}
무질서에 대한 평균은 마지막의 지수함수에만 적용된다. $\hat{\sigma}\sigma^{p-1}$을 대칭화해서 $p$개의 항으로 풀어서 적는 것이 편리하다.
\begin{eqnarray*}
e^{S} = \overline{\exp \left( -\Delta t\frac{Ip}{p!} \sum_i \sum_{jkl} J_{jkl} \hat{\sigma}_{j,i} \sigma_{k,i} \sigma_{l,i} \right)} &=& \prod_{j>k>l} \int dJ_{jkl} \exp\left\{ -\frac{1}{2p!} J_{jkl}^2 2N^{p-1} - J_{jkl} \Delta t \sum_i \left[ I\hat{\sigma}_{j,i}\sigma_{k,i}\sigma_{l,i} + \sigma_{j,i}I\hat{\sigma}_{k,i}\sigma_{l,i} + \sigma_{j,i}\sigma_{k,i}I\hat{\sigma}_{l,i} \right] \right\}\\
&=& \prod_{j>k>l} \sqrt{\frac{\pi N p!}{N^p}} \exp\left\{ \frac{p! \Delta t^2}{4N^{p-1}} \sum_{i,i'} \left[ I\hat{\sigma}_{j,i}\sigma_{k,i}\sigma_{l,i} + \sigma_{j,i}I\hat{\sigma}_{k,i}\sigma_{l,i} + \sigma_{j,i}\sigma_{k,i}I\hat{\sigma}_{l,i} \right] \left[ I\hat{\sigma}_{j,i'}\sigma_{k,i'}\sigma_{l,i'} + \sigma_{j,i'}I\hat{\sigma}_{k,i'}\sigma_{l,i'} + \sigma_{j,i'}\sigma_{k,i'}I\hat{\sigma}_{l,i'} \right] \right\}\\
&=& \mathcal{N} \prod_{jkl} \exp\left\{ \frac{\Delta t^2}{4N^{p-1}} \sum_{i,i'} \left[ I\hat{\sigma}_{j,i}\sigma_{k,i}\sigma_{l,i} + \sigma_{j,i}I\hat{\sigma}_{k,i}\sigma_{l,i} + \sigma_{j,i}\sigma_{k,i}I\hat{\sigma}_{l,i} \right] \left[ I\hat{\sigma}_{j,i'}\sigma_{k,i'}\sigma_{l,i'} + \sigma_{j,i'}I\hat{\sigma}_{k,i'}\sigma_{l,i'} + \sigma_{j,i'}\sigma_{k,i'}I\hat{\sigma}_{l,i'} \right] \right\}\\
&=&\mathcal{N} \exp \left\{ \frac{\Delta t^2}{4N^{p-1}} \sum_{i,i'} \left[ 3\left( \sum_j I\hat{\sigma}_{j,i} I\hat{\sigma}_{j,i'} \right) \left( \sum_k \sigma_{k,i} \sigma_{k,i'} \right) \left( \sum_l \sigma_{l,i} \sigma_{l,i'} \right) + 6\left( \sum_j I\hat{\sigma}_{j,i} \sigma_{j,i'} \right) \left( \sum_k \sigma_{k,i} I\hat{\sigma}_{k,i'} \right) \left( \sum_l \sigma_{l,i} \sigma_{l,i'} \right) \right] \right\}\\
&=&\mathcal{N} \exp \left\{ \frac{\Delta t^2}{4N^{p-1}} \sum_{i,i'} \left[ p\left( \sum_j I\hat{\sigma}_{j,i} I\hat{\sigma}_{j,i'} \right) \left( \sum_k \sigma_{k,i} \sigma_{k,i'} \right)^{p-1} + p(p-1) \left( \sum_j I\hat{\sigma}_{j,i} \sigma_{j,i'} \right) \left( \sum_k \sigma_{k,i} I\hat{\sigma}_{k,i'} \right) \left( \sum_l \sigma_{l,i} \sigma_{l,i'} \right)^{p-2} \right] \right\}.
\end{eqnarray*}
여기서도 $\mathcal{N}$은 그때 그때 계수들을 합쳐서 적어놓은 것이다. 복제본 계산에서는 복제본 사이의 중첩(overlap)이 나타났다면 동역학적 분석에서는 다른 시간  $i$와 $i'$ 사이의 중첩이 나타남에 유의.

상관함수를 아래처럼 적도록 하자. (상관함수가 존재한다는 것은, 이 우변에 무질서 평균과 열적 평균을 취한 기댓값이 잘 정의되어 우변을 계산한 결과가 그 기댓값으로 잘 표현될 것이라는 뜻이다. 그래서 우변에 대응하는 보조장을 먼저 도입한 다음 그 보조장의 기댓값을 구하는 순서를 선호하는 저자들도 있다.)
$$C(i,i') = \frac{1}{N} \sum_k \sigma_{k,i} \sigma_{k,i'}.$$
그리고 [[물리:포커-플랑크_방정식|마틴-시지아-로즈 형식론]]에 따라, 아래의 양이 마찬가지 의미에서 반응함수에 해당함을 알 수 있다:
$$R(i,i') = \frac{1}{N} \sum_k \sigma_{k,i} I\hat{\sigma}_{k,i'}.$$
이 반응함수는 인과성(causality) 때문에 $i>i'$에서만 유의미한 값을 주는데, 위의 유도과정에서는 $i$와 $i'$이 대칭적으로 다루어지고 있으므로, 이 반응함수를 써서 다시 적는다면 $i>i'$에서 $R(i,i')$으로 한번, $i<i'$에 $R(i',i)$로 한번, 이렇게 총 두 번이 계산되고 있는 셈이다.
\begin{eqnarray*}
e^{S} &=&\mathcal{N} \exp \left\{ \frac{\Delta t^2}{4} \sum_{i,i'} \left[ p\left( \sum_j I\hat{\sigma}_{j,i} I\hat{\sigma}_{j,i'} \right) C^{p-1}(i,i') + 2p(p-1) \left( \sum_j I\hat{\sigma}_{j,i} \sigma_{j,i'} \right) R(i,i') C^{p-2}(i,i') \right] \right\}\\
&=&\mathcal{N} \exp \left\{ \frac{\Delta t^2 p}{4} \sum_j \sum_{i,i'} \left[ \left( I\hat{\sigma}_{j,i} I\hat{\sigma}_{j,i'} \right) C^{p-1}(i,i') + 2(p-1) \left( I\hat{\sigma}_{j,i} \sigma_{j,i'} \right) R(i,i') C^{p-2}(i,i') \right] \right\}
\end{eqnarray*}

정리하면
\begin{eqnarray*}
\overline{Z} &=& \mathcal{N} \int \left(\prod_{i=0}^{n-1} dx_i \right) \left(\prod_{i=0}^{n-1} dk_i \right) \exp\left(\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=1}^N \left\{ -I\hat{\sigma}_{j,i} \left[ \sigma_{j,i+1}-\sigma_{j,i} + \mu_i \sigma_{j,i} \Delta t \right] - \frac{1}{2} \Delta t \hat{\sigma}_{j,i+1}^2 + \sum_{i'=0}^{n-1} \Delta t^2 \left[ \frac{p}{4} C^{p-1} I\hat{\sigma}_{j,i} I\hat{\sigma}_{j,i'} + \frac{p}{2} (p-1) R C^{p-2} I\hat{\sigma}_{j,i} \sigma_{j,i'} \right] \right\}
\right) 
\rho_0\\
&=& \mathcal{N} \int \left(\prod_{i=0}^{n-1} dx_i \right) \left(\prod_{i=0}^{n-1} dk_i \right) \exp\left(\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=1}^N \left\{ -I\hat{\sigma}_{j,i} \left[ \sigma_{j,i+1}-\sigma_{j,i} + \left( \mu_i \sigma_{j,i} - \sum_{i'=0}^{n-1} \Delta t \frac{p}{2} (p-1) R C^{p-2} \sigma_{j,i'} \right)  \Delta t \right] - \Delta t \left[ \frac{1}{2} \hat{\sigma}_{j,i+1}^2 + \sum_{i'=0}^{n-1} \Delta t \frac{p}{4} C^{p-1} \hat{\sigma}_{j,i} \hat{\sigma}_{j,i'}  \right] \right\}
\right) 
\rho_0.
\end{eqnarray*}
이에 해당하는 유효(effective) [[물리:랑주뱅_방정식|랑주뱅 방정식]]은 다음과 같은 꼴이 된다:
\begin{eqnarray*}
\partial_t \sigma(t) &=& -\mu(t) \sigma(t) + \frac{1}{2} p(p-1) \int^t dt' R(t,t') C^{p-2}(t,t') \sigma(t') + \xi(t) + \eta(t)\\
\langle \eta(t) \eta(t') \rangle &=& 2T \delta(t-t') + \frac{p}{2} C^{p-1} (t,t') \equiv D(t, t').
\end{eqnarray*}
여기에서 $\xi$는 외부로부터 오는 섭동을 손으로 써 넣은 것이고 $\eta$는 재규격화된 잡음이다.
이러한 풀이는 각각의 스핀들을 독립적으로 다루기 때문에 인덱스 $j$ 없이 일체(one-body) 문제로 다룰 수 있지만, 대신에 기억 효과(memory effect)와 잡음간의 상관관계를 도입한다.
또 이 식은 과냉각 액체의 모드 결합 이론(mode-coupling theory)에서 얻어내는 방정식과 같기 때문에 스핀 유리와 구조적 유리(structural glass) 사이에 깊은 연관 관계가 있음을 함축한다.
=====평균의 시간 변화=====
/*
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial R(t_1, t_2)}{\partial t_1} &=& \frac{\partial}{\partial t_1} \Bigl< \frac{\delta \sigma(t_1)}{\delta \xi(t_2)} \Bigr> = \Bigl< \frac{\delta \dot{\sigma}(t_1)}{\delta \xi(t_2)} \Bigr>\\
&=& -\mu(t_1) R(t_1, t_2) + \frac{1}{2} p(p-1) \int_{t_2}^{t_1} dt' R(t_1, t') C^{p-2}(t_1, t') R(t', t_2) + \Bigl< \frac{\partial \xi(t_1)}{\partial \xi(t_2)} \Bigr>\\
\end{eqnarray*}
*/
평균하여 $\langle \sigma(t) \rangle = M(t)$의 시간 변화를 적어보자:
\begin{eqnarray*}
\partial_t M(t) = -\mu(t) M(t) + \frac{1}{2} p(p-1) \int_{-\infty}^t dt' R(t,t') C^{p-2}(t,t') M(t') + \xi(t).
\end{eqnarray*}
스핀을 한번 곱한 다음 평균하여 상관함수의 시간 변화를 적어보면 아래와 같고
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial C(t_1, t_2)}{\partial t_1} &=& \frac{\partial}{\partial t_1} \Bigl< \sigma(t_1) \sigma(t_2) \Bigr> = \Bigl< \dot{\sigma}(t_1) \sigma(t_2) \Bigr>
= -\mu(t_1) C(t_1, t_2) + \frac{1}{2} p(p-1) \int_{-\infty}^{t_1} dt' R(t_1, t') C^{p-2}(t_1, t') C(t_2, t') + \xi(t_1) \Bigl< \sigma(t_2) \Bigr> + \Bigl< \eta(t_1) \sigma(t_2) \Bigr>
\end{eqnarray*}
여기에서 $\langle \ldots \rangle$은 잡음 $\eta$에 대한 평균이다. 우변의 마지막 항은 아래처럼 표현된다:
\begin{eqnarray*}
\Bigl< \eta(t_1) \sigma(t_2) \Bigr> &=& \int_{-\infty}^{t_2} dt' R(t_2,t') D(t_1,t')\\
&=& \int_{-\infty}^{t_2} dt' R(t_2,t') \left[ 2T\delta(t_1-t') + \frac{p}{2} C^{p-1} (t_1,t') \right]\\
&=& 2TR(t_2,t_1) + \frac{p}{2} \int_{-\infty}^{t_2} dt' R(t_2,t') C^{p-1} (t_1,t').
\end{eqnarray*}

그 이유는 다음처럼 설명할 수 있다. $t_2 = n\Delta t$라고 할 때, $\sigma(t_2) \equiv \sigma_n$는 그 앞에 발생했던 잡음 $\eta_i$들에 의존할 것이다 ($i<n$). [[수학:편미분|편미분]]의 성질에 따라
\begin{eqnarray*}
\sigma_n &\approx& \left. \sigma_n \right|_{\forall \eta_i=0} + \sum_{i<n} \eta_i \left.\frac{\partial \sigma_n}{\partial \eta_i} \right|_{\forall \eta_i=0}.
\end{eqnarray*}
양변에 $t_1 = m\Delta t$에서의 잡음 $\eta_m$을 곱하면 ($m<n$),
\begin{eqnarray*}
\eta_m \sigma_n &\approx& \left. \eta_m \sigma_n \right|_{\forall \eta_i=0} + \sum_{i<n} \eta_m \eta_i \left.\frac{\partial \sigma_n}{\partial \eta_i} \right|_{\forall \eta_i=0}.
\end{eqnarray*}
여기에 잡음에 대한 평균을 취하면 $\langle \eta_i \rangle = 0$이므로 살아남는 항은
\begin{eqnarray*}
\langle \eta_m \sigma_n \rangle &\approx& \sum_{i<n} \langle \eta_m \eta_i \rangle \Bigl< \left.\frac{\partial \sigma_n}{\partial \eta_i} \right|_{\forall \eta_i=0} \Bigr>.
\end{eqnarray*}
$t' \equiv i\Delta t$라 하고 연속 국한을 취하면
\begin{eqnarray*}
\Bigl< \eta(t_1) \sigma(t_2) \Bigr> &\approx& \int_{-\infty}^{t_2} dt' D(t_1,t') R(t_2,t').
\end{eqnarray*}
본래 반응 함수는 $\xi_i$ 부분에 섭동을 가한 결과로 정의되었다. $\xi_i$를 건드릴 때와 $\eta_i$를 건드릴 때의 차이라면, 후자의 경우 경로가 생성될 확률까지 영향을 받는다는 점일 텐데, $\eta_i\to 0$에서 계산할 때에 그 차이는 무시할 수 있다.

====평형====
$\xi(t) = \xi$로 일정하게 두어 평형에 도달한 상태에서 $\mu(t) = \mu$과 $\langle \sigma(t) \rangle = M$으로서 각각이 시간에 의존하지 않는 상수라고 하자.
시간 병진 불변성(time translation invariance)이 있어서 $R(t_1,t_2) = R(t_1-t_2)$, 그리고 $C(t_1,t_2) = C(t_1-t_2) = C(t_2 - t_1)$이라고 하자.
일반성을 잃지 않고 $t_1\equiv t>0$와 $t_2\equiv 0$으로 놓자. 모든 시간에서 평형이기 때문에 $M$은 시간에 무관하지만 상관함수 $C(t)$와 반응함수 $R(t)$는 기준점 $t_2=0$로부터의 시간 차이 $t$에 의존한다.
당연히 $C(0)=1$이고 $\lim_{t\to\infty} C(t) =q$로 수렴한다고 가정할 것이다.
덧붙여 평형 상태에서는 [[물리:랑주뱅_방정식|요동-흩어지기 정리]]의 결과로서 다음 관계가 성립한다(Sethna):
$$\partial_t C(t) = -\beta^{-1} R(t).$$

평형상태에서 먼저 $M$에 대한 식은 아래와 같이 정리된다.
\begin{eqnarray*}
0 &=& -\mu M + \frac{1}{2}p(p-1) M\int_{-\infty}^t dt' R(t-t') C^{p-2}(t-t') + \xi\\
&=& -\mu M + \frac{1}{2}p(p-1)M\int_{-t}^{\infty} dt' R(t+t') C^{p-2}(t+t') + \xi\\
&=& -\mu M - \frac{p \beta}{2} M\int_{-t}^{\infty} dt' \partial_{t'} C^{p-1}(t+t') + \xi\\
&=& -\mu M + \frac{p \beta}{2} M \left[ C^{p-1}(0) - C^{p-1}(\infty) \right] + \xi\\
&=& -\mu M + \frac{p \beta}{2} M \left(1-q^{p-1}\right) + \xi\\
\end{eqnarray*}
$C(t)$에 대한 식은 아래와 같다:
\begin{eqnarray*}
\partial_t C(t) &=& -\mu C(t) + \frac{p}{2} (p-1) \int_{-\infty}^{t_1} dt' R(t- t') C^{p-2}(t- t') C(- t') + \frac{p}{2} \int_{-\infty}^{0} dt' R(-t') C^{p-1} (t-t') + \xi M + 2TR(-t).
\end{eqnarray*}
인과성에 의해 우변 마지막 항의 $R(-t)=0$이다.
$\int_{-\infty}^t$를 $\int_{-\infty}^0 + \int_0^t$로 쪼개어 표현하기 위해 아래의 식을 정의하자:
\begin{eqnarray*}
I(t) &\equiv& \int_{-\infty}^0 dt' \left[ (p-1) R(t-t') C^{p-2}(t-t') C(-t') + R(-t') C^{p-1}(t-t') \right]\\
&=& \int_0^{\infty} dt' \left[ (p-1) R(t+t') C^{p-2}(t+t') C(t') + R(t') C^{p-1}(t+t') \right]\\
&=& \int_0^{\infty} dt' \left[ -\beta \partial_{t'} C^{p-1}(t+t') \right] C(t') + \int_0^{\infty}dt' R(t') C^{p-1}(t+t')\\
&=& \beta \left[ -q^p + C^{p-1}(t) \right] + \int_0^{\infty} dt' \beta C^{p-1}(t+t') \partial_{t'} C(t') + \int_0^{\infty}dt' \left[ -\beta \partial_{t'} C(t') \right] C^{p-1}(t+t')\\
&=& \beta \left[C^{p-1}(t) - q^p \right].
\end{eqnarray*}
$\int_0^t$를 위해 아래 두 개의 항등식을 유도해놓자:
\begin{eqnarray*}
\beta^{-1} \int_0^t dt' (p-1) R(t-t') C^{p-2}(t-t') C(-t') &=& \int_0^t \left[ \frac{\partial}{\partial t'} C^{p-1} (t-t') \right] C(t')\\
&=& C^{p-1}(0) C(t) - C^{p-1}(t)C(0) - \int_0^t dt' C^{p-1}(t-t') \partial_{t'} C(t')\\
&=& C(t) - C^{p-1}(t) - \int_0^t dt' C^{p-1}(t-t') \partial_{t'} C(t')\\
\int_0^t dt' C^{p-1}(t) \partial_{t'} C(t') &=& C^{p-1}(t) \int_0^t dt' \partial_{t'} C(t') = C^{p-1}(t) \left[ C(t) - C(0) \right] = C^p(t) - C^{p-1}(t).
\end{eqnarray*}
이제 모아서 적어보면,
\begin{eqnarray*}
\partial_t C(t) + \mu C(t) &=& \frac{p \beta}{2} \left[ \beta^{-1} I(t) + C(t) - C^{p-1}(t) - \int_0^t dt' C^{p-1}(t-t') \partial_{t'} C(t') \right] + \xi M + 2TR(-t)\\
&=& \frac{p\beta}{2} \left\{ \beta^{-1} I(t) + C(t) - C^{p-1}(t) - \int_0^t dt' C^{p-1}(t-t') \partial_{t'} C(t') + \int_0^t dt' C^{p-1}(t) \partial_{t'} C(t') - \left[ C^p(t) - C^{p-1}(t) \right] \right\} + \xi M\\
&=& \frac{p\beta}{2} \left\{ \beta^{-1} I(t) + C(t) - C^p(t) - \int_0^t dt' \left[ C^{p-1}(t-t') - C^{p-1}(t) \right] \partial_{t'} C(t') \right\} + \xi M.
\end{eqnarray*}
===$t=0$에서 상관함수의 거동===
$t=0$에서 $C(t)$의 시간 변화를 고려하자.
$\left.\partial_t C(t) \right|_{t=0} = -\beta^{-1}$와 $I(t) - I(0) = \beta \left[ C^{p-1}(t) - C(0) \right]$를 활용하면,
$$-\beta^{-1}+\mu = \frac{p}{2} I(0) + \xi M = \frac{p\beta}{2} \left[ \beta^{-1} I(t) + 1 - C^{p-1}(t) \right] + \xi M.$$
$t=0$을 대입해 유도했을 뿐, 이 관계식 자체는 모든 $t$에서 성립하는 정확한 식이라는 데 유의한다.
이를 $\xi M$에 대해 정리한 다음 $C(t)$의 식에 대입하면
\begin{eqnarray*}
\partial_t C(t) + \mu C(t) &=& \frac{p\beta}{2} \left\{ \beta^{-1} I(t) + C(t) - C^p(t) - \int_0^t dt' \left[ C^{p-1}(t-t') - C^{p-1}(t) \right] \partial_{t'} C(t') \right\} -\beta^{-1} + \mu - \frac{p\beta}{2} \left[ \beta^{-1} I(t) + 1 - C^{p-1}(t) \right]\\
-\partial_t C(t) + \mu \left[ 1-C(t) \right] - \frac{p\beta}{2} \left[ 1-C(t) \right] \left[ 1 - C^{p-1}(t) \right]&=& \frac{p\beta}{2} \left\{ \int_0^t dt' \left[ C^{p-1}(t-t') - C^{p-1}(t) \right] \partial_{t'} C(t') \right\} +\beta^{-1}.
\end{eqnarray*}

===$t\to\infty$에서 상관함수의 거동===
이제 위의 식에서 $t\to\infty$일 때를 고려하는데, 가정상 $C(t) \to q$로 수렴하기 때문에 $\partial_t C(t) = 0$이다. 우변의 적분은 무시할 수 있는데,
$t'$이 작을 때에는 $C^{p-1}(t-t') \approx C^{p-1}(t)$이고 $t'$이 클 때에는 $\partial_{t'} C(t') \approx 0$일 것이기 때문이다. 따라서
\begin{eqnarray*}
&&\mu(1-q) - \frac{p\beta}{2} (1-q)\left(1-q^{p-1}\right) = \beta^{-1}\\
&&\mu = \frac{p\beta}{2} \left(1-q^{p-1}\right) + \frac{\beta^{-1}}{1-q}\\
\end{eqnarray*}
이 식을 사용하면 $\mu$를 소거할 수 있게 된다. 예를 들어 앞에서 $M$에 대한 식으로부터 얻었던 관계는 다음처럼 간단해진다:
\begin{eqnarray*}
\frac{\xi}{M} &=& \mu - \frac{p\beta}{2} \left( 1-q^{p-1} \right) = \frac{\beta^{-1}}{1-q}\\
M &=& \beta\xi (1-q).
\end{eqnarray*}

===종합===
마지막으로, 앞에서 구했던 $I(t) = \beta \left[C^{p-1}(t) - q^p \right]$를 "정확한" 관계식에 대입하면
\begin{eqnarray*}
-\beta^{-1} + \mu &=& \frac{p\beta}{2} \left(1-q^p \right) + \xi M\\
\xi M &=& -\beta^{-1} + \mu - \frac{p\beta}{2} \left(1-q^p \right)\\
\beta \xi^2 (1-q) &=& -\beta^{-1} + \left[ \frac{p\beta}{2} \left(1-q^{p-1}\right) + \frac{\beta^{-1}}{1-q} \right] - \frac{p\beta}{2} + \frac{p\beta}{2} q^p\\
&=& -\beta^{-1} + \frac{\beta^{-1}}{1-q} - \frac{p\beta}{2} q^{p-1} + \frac{p\beta}{2} q^p\\
&=& \beta^{-1}\frac{q}{1-q} - \frac{p\beta}{2} q^{p-1} (1-q)\\
\beta^2 \xi^2 &=& \frac{q}{(1-q)^2} - \frac{p\beta^2}{2} q^{p-1}.
\end{eqnarray*}
$\xi\to0$에서 이 식은 복제 대칭해에서 구한 결과와 일치한다.
=====동적 상전이=====
$\xi=M=0$에서 $q=0$이 해가 되므로 이 값들을 대입하고 정리하면
$$\partial_t C(t) = -\beta^{-1} C(t) - \frac{p\beta}{2} \int_0^t dt' C^{p-1}(t-t') \partial_{t'} C(t').$$
$0 < C(t) < 1$이고 $\partial_{t'} C(t') \le 0$이라고 가정하자. $0<t'<t$일 때에 $C(t) \le C(t-t')$이므로
\begin{eqnarray*}
0 \ge \partial_t C(t) &\ge& -\beta^{-1} C(t) - \frac{p\beta}{2} \int_0^t dt' C^{p-1}(t) \partial_{t'} C(t')\\
&=& -\beta^{-1} C(t) - \frac{p\beta}{2} C^{p-1}(t) \int_0^t dt' \partial_{t'} C(t')\\
&=& -\beta^{-1} C(t) - \frac{p\beta}{2} C^{p-1}(t) \left[ C(t) - 1 \right].
\end{eqnarray*}
따라서 다음과 같은 부등식을 얻는다:
$$g[C(t)] \equiv C^{p-2}(t) \left[ 1-C(t) \right] \le \frac{2}{p\beta^2}.$$
함수 $g(C)$는 $0<C<1$에서 최댓값을 가지는데, 그 위치는 아래와 같다:
$$C = q_d \equiv \frac{p-2}{p-1}.$$
$\beta$가 작을 때에는 $\beta^{-2}$이 충분히 크기 때문에 이 부등식을 만족하는 데 문제가 없지만, $\beta$가 커지면 부등식이 깨지게 된다.
구체적으로 $g(q_d) = 2/(p\beta_d^2)$일 때에, 즉
$$\beta_d = \sqrt{\frac{2(p-1)^{p-1}}{p(p-2)^{p-2}}}$$
일 때에 $0 \ge \partial_t C(t) \ge 0$로 $\partial_t C(t) = 0$이어야 한다는 결론을 얻기 때문에 상관함수는 시간이 지나도 줄어들지 않은 채 $0$이 아닌 값 $q_d$로 고정되며, 이는 계의 에르고드 성질(ergodicity)이 깨짐을 의미한다.
이러한 동적 상전이의 온도 $T_d \equiv 1/ \beta_d$는 앞의 정적 분석에서 얻었던 $T_s$보다 일반적으로 크다. 이는 동역학적 분석이 준안정(metastable) 상태들의 존재에도 영향을 받기 때문이다.
======TAP 방정식======

=====TAP 자유 에너지=====
[[물리:tap_방정식|TAP 방정식]]을 통해 아래의 TAP 자유 에너지 밀도를 얻을 수 있다:
$$f_\text{TAP} = -\frac{1}{N} \sum_{i_1<\ldots<i_p} J_{i_1 \ldots i_p} m_{i_1} \cdots m_{i_p} - \frac{1}{2\beta} \ln(1-q) - \frac{\beta}{4} \left[ (p-1) q^p - pq^{p-1} +1 \right].$$
이때 $m_i\equiv \langle \sigma_i \rangle$이고 $q\equiv N^{-1} \sum_i m_i^2$이다. 우변 첫 번째 항은 에너지, 두 번째 항은 엔트로피에 온도를 곱한 양, 세 번째 항은 소위 온사거 반응 항이다.

이제 $m_i \equiv \sqrt{q} s_i$로 고쳐 적으면 $\sum_i s_i^2 = N$을 만족한다. 이 $s_i$는 각변수(angular variable)로 불리며, 원래의 스핀 변수 $\sigma_i$와 다르지만 비슷한 역할을 하고 동일한 구면 조건을 만족한다. 이 새로운 변수로 적은 자유 에너지 밀도는 아래와 같다:
$$f_\text{TAP} = \frac{1}{N} q^{p/2} H \left(s_1, \ldots, s_N\right) + R(q,\beta).$$
$H$는 원래의 해밀토니안이고 $R$은 식 중에서 $q$에 의존하는 항들이다. 이 자유 에너지 밀도를 $s_i$와 $q$에 대해 최소화해보면 다음의 두 방정식을 얻는다:
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial f_\text{TAP}}{\partial s_i} &=& \frac{\partial}{\partial s_i} H(s_1, \ldots, s_N)= 0\\
\frac{\partial f_\text{TAP}}{\partial q} &=& \frac{1}{N} \frac{p}{2} q^{p/2-1} H(s_1, \ldots, s_N) + \frac{\partial R}{\partial q} = 0.
\end{eqnarray*}
앞의 방정식은 온도에 의존하지 않으며, $H$ 자체의 최소화와 일치한다. 이 $N$개의 방정식을 모두 풀어 $(s_1^\alpha, \ldots, s_N^\alpha)$를 구하면 바닥 상태의 에너지 $E_\alpha = H\left(s_1^\alpha, \ldots, s_N^\alpha \right)$를 알 수 있다. 이를 $q$에 대한 두 번째 방정식에 대입하면 바닥 상태 에너지 $E_\alpha$와 온도 $\beta$의 함수로서 $q$를 얻는다. 일반적으로 자유 에너지의 최소는 해밀토니안의 최소와 일치하지 않지만, 이 모형은 예외적으로 둘이 동등하다.

이제 $E = H(s_1, \ldots, s_N)$에 대해 TAP 자유 에너지 밀도를 아래처럼 적고,
$$f_\text{TAP} = q^{p/2} E - \frac{T}{2} \ln (1-q) - \frac{1}{4T} \left[(p-1) q^p - pq^{p-1} + 1 \right]$$
\begin{eqnarray*}
0 = \frac{\partial f_\text{TAP}}{\partial q} &=& \frac{\partial}{\partial q} \left\{ q^{p/2} E - \frac{T}{2} \ln (1-q) - \frac{1}{4T} \left[(p-1) q^p - pq^{p-1} + 1 \right] \right\}\\
&=& \frac{p}{2} q^{p/2-1} E + \frac{T/2}{1-q} - \frac{1}{4T} \left[ p(p-1) q^{p-1} - p(p-1) q^{p-2} \right]\\
\end{eqnarray*}
$z \equiv (1/T) (1-q) q^{p/2-1}$을 정의한 다음 위 식을 정리해서 적어보면 $z$에 대한 이차방정식이다:
$$0 = pzE + 1 + \frac12 z^2 p(p-1).$$
이를 풀고 $f_\text{TAP}$을 최소화하는 해를 고르면
$$z = \frac{-E - \sqrt{E^2 - E_c^2}}{p-1}$$
으로서 $E_c \equiv -\sqrt{2(p-1)/p}$이다.

$E=E_c$일 때 $z^2 = E_c^2/(p-1)^2$이고, 이를 $z^2 = (1/T^2) (1-q)^2 q^{p-2}$와 같게 놓으면 다음의 식을 얻는다:
$$q_c^{p-2} (1-q_c)^2 = T^2 \frac{2}{p(p-1)}.$$
앞의 동역학적 분석에 따르면 동적 상전이가 일어나는 온도 $T_d = 1/\beta_d$는 다음의 식을 만족한다:
$$T_d^2 = \frac{p(p-2)^{p-2}}{2(p-1)^{p-1}}.$$
따라서 온도 $T=T_d$에서 $E=E_c$로 놓으면 다음처럼 $q_c = q(E_c,T_d)$에 대한 방정식을 얻는데
$$q_c^{p-2} (1-q_c)^2 = \frac{(p-2)^{p-2}}{(p-1)^p}$$
이 방정식의 해가 앞에서 얻었던 상관함수의 수렴 값인 $q_d$로서, 즉 $q_c(T_d) = q_d \equiv (p-2)/(p-1)$이다.
따라서 온도 $T_d$에서 동적 상전이가 일어날 때 상관함수의 거동을 보면, $E=E_c$인 문턱 상태에서의 자기 중첩(self-overlap)인 $q_c$와 같은 값으로 수렴함을 보게 된다. 이 상태들이 동역학을 가둠으로써 평형으로의 완화 과정을 가로막는다.

=====복잡도=====
====의미====
$H$의 극소점들의 수 $\mathcal{N}$이 계의 크기 $N$에 대해 다음처럼 거동한다고 하자:
$$\mathcal{N} \sim e^{N\Sigma}.$$
이 $\Sigma$를 복잡도(complexity)라고 부른다. $m \equiv (m_1,\ldots, m_N)$에 대해 $\nabla_m f_\text{TAP} = 0$를 풀었을 때의 해를 $m^\alpha = \left( m_1^\alpha, \ldots, m_N^\alpha \right)$라고 부르자. 여기에는 극소점뿐 아니라 안장점 같은 것들도 잡히고 있으므로 전체 $\mathcal{N}'$개의 해가 존재한다고 하자. $N$차원의  [[수학:디락_델타_함수|디락 델타 함수]]를 통해 아래처럼 적을 수 있는데
$$\mathcal{N}' = \int Dm \sum_{\alpha=1}^{\mathcal{N}'} \delta(m - m^\alpha)$$
[[물리:tap_방정식|TAP 방정식]] $\mathcal{T}_i \equiv N\partial f_\text{TAP}/\partial m_i = 0$을 $m = m^\alpha$ 근처에서 일차항까지 전개한다고 하면 다음처럼 쓸 수 있고
$$0 = N\frac{\partial f_\text{TAP}}{\partial m_i} \approx N\sum_{j=1}^N\left.\frac{\partial}{\partial m_j}\frac{\partial f_\text{TAP}}{\partial m_i}\right|_{m=m^\alpha} \left(m_j - m_j^\alpha \right),$$
$f_\text{TAP}$의 헤세 행렬(Hessian)을 $\mathcal{A} = \left\{ \mathcal{A}_{ij} \equiv N\partial^2 f_\text{TAP}/(\partial m_i \partial m_j) \right\}$로 표기하면, 이는 다음과 같은 선형 방정식으로 표현된다:
$$\left. \mathcal{A}^\intercal \right|_{m=m^\alpha} \left(m - m^\alpha \right) = 0.$$
따라서 [[수학:디락_델타_함수|디락 델타 함수]]의 성질상 다음을 얻는다:
$$\delta \left( N\nabla_{m} f_\text{TAP} \right) = \sum_\alpha \frac{\delta(m - m^\alpha)}{\left| \det \mathcal{A}(m^\alpha) \right|}.$$
이제 $\mathcal{N}'$의 식을 다시 적으면
$$\mathcal{N}' = \int Dm ~\delta\left(N\nabla_{m} f_\text{TAP} \right) \left| \det \mathcal{A}(m) \right|$$
로서, $\delta\left(N\nabla_{m} f_\text{TAP} \right)$ 덕분에 $\lvert \det \mathcal{A}(m) \rvert$가 $m^\alpha$의 위치들에서만 계산될 것이다. 절댓값 기호는 다루기가 불편하므로, 우리는 자유 에너지 밀도 $f$에 제한을 걸어 다음처럼 정의된 양을 다룬다:
$$\mathcal{N}'(f) = \int Dm ~\delta\left(\nabla_{m} f_\text{TAP} \right) \det \mathcal{A}(m) ~\delta\left(Nf_\text{TAP}-Nf\right).$$
$f$의 값이 충분히 낮다면 에너지 경관(energy landscape)은 수많은 극소점들을 가질 것이고 따라서 헤세 행렬의 [[수학:행렬식|행렬식(determinant)]] 값은 대개 양수일 것이며 $\mathcal{N}' \approx \mathcal{N}$일 것이다. 반면 $\varepsilon$를 높게 설정한다면 안장점들이 주로 존재하는 경관을 보게 될 것이며, [[수학:행렬식|행렬식]] 값의 부호가 자주 음수가 될 수 있으므로 위와 같은 계산에 뭔가 불안정성이 나타날 것이라 기대할 수 있다.

[[수학:디락_델타_함수|디락 델타 함수]]의 적분 표현을 도입하고
$$\prod_i \delta(X_i) = \int \frac{D\lambda}{(2\pi)^N} \exp\left( -i \sum_{i=1}^N \lambda_i X_i \right)$$
$$\delta\left( Nf_\text{TAP} - Nf \right) = \int \frac{d\omega}{2\pi} \exp\left[ -i \omega N(f_\text{TAP} - f) \right]$$
[[수학:행렬식|행렬식]]의 계산은 $\{\bar{\psi}_i, \psi_i\} = 0$을 만족하는 [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]]의 [[수학:허바드-스트라토노비치_변환|적분 표현]]으로 나타낸다:
$$\det A = \int D\bar{\psi} D\psi \exp\left( -\sum_{ik}^N \bar{\psi}_i A_{ik} \psi_k \right).$$
이때 $D\bar{\psi}D\psi \equiv d\bar{\psi}_1 d\psi_1 \ldots d\bar{\psi}_N d\psi_N$이다.
그러면
\begin{eqnarray*}
\mathcal{N} (f) &\approx& \int Dm \frac{D\mathbf{\lambda}}{(2\pi)^N} D\bar{\psi} D\psi \frac{d\omega}{2\pi} \exp\left[-\mathcal{S}_J\left(m,\lambda,\bar{\psi},\psi, \omega\right) \right]
\end{eqnarray*}
로서 작용 $\mathcal{S}_J$는 다음처럼 정의된다:
$$\mathcal{S}_J (m,\lambda,\bar{\psi},\psi, \omega) \equiv \sum_{k=1}^N i \lambda_k \mathcal{T}_k + \sum_{j,k=1}^N \bar{\psi}_j \mathcal{A}_{jk} \psi_k + i\omega N\left( f_\text{TAP} - f \right).$$

우리는 $\mathcal{N}$ 자체가 아니라 $\ln \mathcal{N}$의 무작위 평균을 취해야 하므로 복제 방법을 사용하도록 한다. 복제본의 수는 $n$개이고, 복제본을 가리키기 위한 인덱스는 $a=1,\ldots,n$이다. 복제본까지 포함하여 전체 작용을 적으면
$$\tilde{\mathcal{S}}_J = \sum_{a=1}^n \left\{ \sum_{k=1}^N i \lambda^a_k \mathcal{T}_k \left(m^a\right) + \sum_{j,k=1}^N \bar{\psi}^a_j \mathcal{A}_{jk}\left(m^a\right) \psi^a_k + i\omega^a N\left[ f_\text{TAP} \left(m^a\right) - f \right] \right\}.$$



====BRST 대칭성====
어떤 [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]] $\epsilon$이 있다고 했을 때, 위의 작용 $\mathcal{S}$에 다음과 같은 변환을 취하고
\begin{eqnarray*}
m_i &\to& m_i + \epsilon \psi_i\\
\bar{\psi}_i &\to& \bar{\psi}_i - i\epsilon \lambda_i\\
\lambda_i &\to& \lambda_i - \omega \epsilon \psi_i\\
\psi_i &\to& \psi_i\\
\omega &\to& \omega.
\end{eqnarray*}
이 변환에 따른 $\mathcal{S}$의 변화량을 적어보자:
\begin{eqnarray*}
\delta S &=& \sum_k \left(i \delta \lambda_k \mathcal{T}_k + i\lambda_k \delta \mathcal{T}_k\right) + \sum_{jk} \left( \delta\bar{\psi}_j \mathcal{A}_{jk} \psi_k + \bar{\psi}_j \delta \mathcal{A}_{jk} \psi_k \right) + i\omega N\delta f_\text{TAP}\\
 &=& \sum_k \left(-i\omega \epsilon \psi_k \mathcal{T}_k + i\lambda_k \delta \mathcal{T}_k\right) + \sum_{jk} \left( -i\epsilon \lambda_j \mathcal{A}_{jk} \psi_k + \bar{\psi}_j \delta \mathcal{A}_{jk} \psi_k \right) + i\omega N\delta f_\text{TAP}\\
&=& \sum_k \left(-i\omega \epsilon \psi_k \mathcal{T}_k + i\lambda_k \sum_l \mathcal{A}_{kl} \epsilon \psi_l \right) + \sum_{jk} \left( -i\epsilon \lambda_j \mathcal{A}_{jk} \psi_k + \bar{\psi}_j \delta \mathcal{A}_{jk} \psi_k \right) + i\omega \sum_k \mathcal{T}_k \epsilon \psi_k.
\end{eqnarray*}
이때 $\delta \mathcal{A}_{jk} = \sum_l \left(\partial \mathcal{A}_{jk}/\partial m_l\right) \epsilon \psi_l$
이므로
$$\sum_k \delta \mathcal{A}_{jk} \psi_k = \sum_{kl} \frac{\partial \mathcal{A}_{jk}}{\partial m_l} \epsilon \psi_l \psi_k$$
인데, $\left(\partial \mathcal{A}_{jk}/\partial m_l \right) \psi_l \psi_k = \left(\partial \mathcal{A}_{jl}/\partial m_k \right) \psi_l \psi_k = -\left(\partial \mathcal{A}_{jl}/\partial m_k \right) \psi_k \psi_l$이므로 $\sum_{jk} \bar{\psi}_j \delta \mathcal{A}_{jk} \psi_k = 0$이다. 나머지 항들은 서로 상쇄되므로 $\delta \mathcal{S} = 0$으로서, 결론적으로 작용 $\mathcal{S}$는 위 변환에 대해 불변량이다. 복제본들을 포함한 $\tilde{\mathcal{S}}$을 생각하면, 각 복제본마다 위 변환을 취했을 때에 마찬가지로 불변량이다. 이는 베키-루에-스토라-튜틴(Becchi-Rouet-Stora-Tyutin, BRST) 대칭성의 한 예이다.

이제 연산자 $O \equiv m^b \bar{\psi}^a = \sum_k m^b_k \bar{\psi}^a_k$를 생각하고 위 변환을 취해보면, 작용이 불변하므로 대칭성이 자발적으로 깨지지 않는 한 연산자의 기댓값 역시 변하지 않을 것이다:
$0 = \langle \delta O \rangle = \langle \epsilon \psi^b \bar{\psi}^a \rangle + \langle m^b (-i\epsilon \lambda^a) \rangle$.
따라서
$$\langle \psi^b \bar{\psi}^a \rangle = - \langle \bar{\psi}^a \psi^b \rangle = i\langle m^b \lambda^a \rangle.$$
이번에는 $O \equiv \lambda^b \bar{\psi}^a$로 놓으면, $0 = \langle \delta O \rangle = \langle (-\omega^b \epsilon \psi^b) \bar{\psi}^a \rangle + \langle \lambda^b (-i\epsilon \lambda^a) \rangle$로부터
$$\langle \omega^b \bar{\psi}^a \psi^b \rangle = i\langle \lambda^a \lambda^b \rangle.$$
앞으로 복제본에 상관없이 $\omega^b = \omega$라고 놓도록 하자.




====무작위 평균====
===리거(1992), 그리고 크리산티와 좀머스(1995)의 계산(작성 중)===
여기에서는 $q$를 $m_i$들과 독립적인 변수로 취급하고 나중에 [[수학:디락_델타_함수|디락 델타 함수]]로써 $q = N^{-1}\sum_i m_i^2$의 제약을 둔다.
$\zeta \equiv 1/(1-q) + \beta^2 p (p-1)(1-q) q^{p-2}/2$로 정의할 때 [[물리:tap_방정식|TAP 방정식]]을 다음처럼 적게 되고
$$\mathcal{T}_i = \zeta m_i - \frac{\beta}{(p-1)!} \sum_{k_2, \ldots, k_p} J_{i k_2 \ldots k_p} m_{k_2} \cdots m_{k_p} = 0$$
헤세 행렬의 원소는 이렇게 주어진다:
$$\mathcal{H}_{ij} = \frac{\partial \mathcal{T}_i}{\partial m_j} = \zeta \delta_{ij} - \frac{\beta}{(p-2)!} \sum_{k_3, \ldots, k_p} J_{ijk_3 \ldots k_p} m_{k_3} \cdots m_{k_p}.$$
위에서 논의한 것처럼 행렬식 $\det \mathcal{H}$의 부호가 언제나 양수일 거라고 가정하면 해의 개수는 ($I^2=-1$)
\begin{eqnarray*}
\mathcal{N} &\approx& N\int_0^1 dq \int \prod_i dm_i \delta\left(Nq - \sum_i m_i^2 \right) \prod_i \delta\left(\mathcal{T}_i\right) \det \mathcal{H}\\
&=& N\int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \prod_i \left(\frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\hat{q} \left(Nq - \sum_i m_i^2 \right) \right] \exp \left[ I\zeta \sum_i \hat{m}_i m_i - \frac{I\beta}{(p-1)!} \sum_{i,k_2, \ldots, k_p} J_{i k_2 \ldots k_p} \hat{m}_i m_{k_2} \cdots m_{k_p}\right] \det \mathcal{H}\\
\end{eqnarray*}
$\mathcal{N}$에 대해 곧바로 무작위 평균을 취하도록 하자. 지수 함수뿐만 아니라 $\det \mathcal{H}$에도 $J_{ijk_3\ldots k_p}$가 포함되어 있지만, 평균을 취하는 과정에서 생겨나는 교차항을 무시할 수 있다고 하면 아래처럼 따로 평균을 취한 후 곱할 수 있다:
\begin{eqnarray*}
\langle \mathcal{N} \rangle &\approx& 
&=& N\int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \prod_i \left(\frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\zeta \sum_i \hat{m}_i m_i + I\hat{q} \left(Nq - \sum_i m_i^2 \right) \right] \Biggl< \exp \left[- \frac{I\beta}{(p-1)!} \sum_{i,k_2, \ldots, k_p} J_{i k_2 \ldots k_p} \hat{m}_i m_{k_2} \cdots m_{k_p}\right] \Biggr> 
\langle \det \mathcal{H} \rangle.\\
\end{eqnarray*}
이 중에서 앞의 평균은 다음처럼 계산되고
\begin{eqnarray*}
\prod_{k_1, \ldots, k_p} \Biggl< \exp \left[- \frac{I p \beta}{p!} J_{k_1 k_2 \ldots k_p} \hat{m}_{k_1} m_{k_2} \cdots m_{k_p}\right] \Biggr>
&=& \prod_{k_1< \ldots<k_p} \exp \left\{ -\frac{\beta^2 p!}{4N^{p-1}} \left[ \frac{1}{(p-1)!} \sum_{\pi} \hat{m}_{\pi(k_1)} m_{\pi(k_2)} \cdots m_{\pi(k_p)} \right]^2 \right\}\\
\end{eqnarray*}

===카바냐 등(1999)의 계산(작성 중)===
++++보기|
먼저 $q \equiv N^{-1} \sum_i m_i^2$이고 온사거 반응 항을 $g(q) \equiv -(\beta/4) \left[ (p-1)q^p - pq^{p-1} +1\right]$라고 했을 때 다음과 같은 표현식들을 적어보자:
\begin{eqnarray*}
f_\text{TAP}(m^a) &=& -\frac{1}{N} \sum_{i_1<\ldots<i_p} J_{i_1 \ldots i_p} m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a - \frac{1}{2\beta} \ln(1-q^a) + g(q^a)\\
&\approx& -\frac{1}{Np!} \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1 \ldots i_p} m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a - \frac{1}{2\beta} \ln(1-q^a) + g(q^a).
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\mathcal{T}_k (m^a) = N\frac{\partial f_\text{TAP}}{\partial m_k^a} &=& -\sum_{i_2<\ldots<i_p} J_{ki_2\ldots i_p} m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a + 2m_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right]\\
&=& -\frac{1}{(p-1)!} \sum_{i_2,\ldots,i_p} J_{ki_2\ldots i_p} m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a + 2m_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right]\\
\sum_k \lambda_k \mathcal{T}_k &=& -\frac{p}{p!} \sum_{k,i_2,\ldots,i_p} J_{ki_2\ldots i_p} \lambda_k^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a + \sum_k 2 \lambda_k^a m_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right].
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\mathcal{A}_{kl} (m^a) &=& N\frac{\partial^2 f_\text{TAP}}{\partial m_k^a \partial m_l^a} = \frac{\partial}{\partial m_k^a} \mathcal{T}_l (m^a) = -\sum_{i_3<\ldots<i_p} J_{kli_3\ldots i_p} m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + 2\delta_{kl} \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right] + \frac{4 m_k^a m_l^a}{N} \frac{\partial}{\partial q^a} \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right]\\
&=& -\frac{1}{(p-2)!} \sum_{i_3,\ldots,i_p} J_{kli_3\ldots i_p} m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + 2\delta_{kl} \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right] + \frac{4 m_k^a m_l^a}{N} \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)^2} + g''(q^a) \right]\\
\end{eqnarray*}
여기에서 $1/N$을 포함하는 마지막 항은 $N\to\infty$에서 무시하는 것이 일반적이나 여기에는 대가가 따르니 주의한다(Aspelmeier et al. (2004)과 Parisi (2006)).
\begin{eqnarray*}
\sum_{kl} \bar{\psi}_k^a \mathcal{A}_{kl} \psi_l^a &\approx& -\frac{p(p-1)}{p!} \sum_{k,l,i_3,\ldots,i_p} J_{kli_3\ldots i_p} \bar{\psi}_k^a \psi_l^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + 2 \sum_k \bar{\psi}_k^a \psi_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right].
\end{eqnarray*}

결합상수의 무작위성에 대해 평균을 취하여 복잡도를 계산해보자:
$$\Sigma(f) = \lim_{n\to0} \frac{1}{nN} \ln \int Dm D\lambda D\bar{\psi} D\psi ~d\omega ~\overline{\exp\left[-\tilde{\mathcal{S}}_J (m, \lambda, \bar{\psi}, \psi, \omega) \right]}.$$
먼저 작용을 결합상수를 포함하지 않는 부분 $\tilde{\mathcal{S}}_J^{(0)}$과 포함하는 부분 $\tilde{\mathcal{S}}_J^{(1)}$로 나누고
\begin{eqnarray*}
\tilde{\mathcal{S}}_J &=& \sum_{a=1}^n \left\{ \sum_{k=1}^N i \lambda^a_k \mathcal{T}_k \left(m^a\right) + \sum_{k,l=1}^N \bar{\psi}^a_k \mathcal{A}_{kl}\left(m^a\right) \psi^a_l + i\omega N \left[ f_\text{TAP} \left(m^a\right) - f \right] \right\} = \tilde{\mathcal{S}}_J^{(0)} + \tilde{\mathcal{S}}_J^{(1)}
\end{eqnarray*}
결합상수를 포함하지 않는 부분을 적어보자:
\begin{eqnarray*}
\exp\left[ -\tilde{\mathcal{S}}_J^{(0)} \right] &=& \exp \left\{ -2i\sum_{a=1}^n \sum_{k=1}^N \lambda_k^a m_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right]  - 2 \sum_{a=1}^n \sum_{k=1}^N \bar{\psi}_k^a \psi_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right] - i \omega N \sum_{a=1}^n \left[ -\frac{1}{2\beta} \ln(1-q^a) + g(q^a) -f\right] \right\}.
\end{eqnarray*}
이 중 앞의 두 항은 BRST 대칭성에 의해 상쇄될 것으로 생각할 수 있다.
/*
\begin{eqnarray*}
\overline{\exp\left[ -\tilde{\mathcal{S}}_J \right]} &=& \overline{ \exp \left[-\sum_{a=1}^n \left\{ \sum_{k=1}^N i \lambda^a_k \mathcal{T}_k \left(m^a\right) + \sum_{k,l=1}^N \bar{\psi}^a_k \mathcal{A}_{kl}\left(m^a\right) \psi^a_l + i\omega N \left[ f_\text{TAP} \left(m^a\right) - f \right] \right\} \right]}\\
&=& \exp \left\{ -i\sum_{a=1}^n \sum_{k=1}^N 2 \lambda_k^a m_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right] - \sum_{a=1}^n \sum_{k,l=1}^N \frac{4 m_k^a m_l^a \bar{\psi}_k^a \psi_l^a}{N} \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)^2} + g''(q^a) \right] - 2 \sum_{a=1}^n \sum_{k=1}^N \bar{\psi}_k^a \psi_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right] - i \omega N \sum_{a=1}^n \left[ -\frac{1}{2\beta} \ln(1-q^a) + g(q^a) -f\right] \right\} \\
&&\times \overline{\exp \left[ \sum_{k,i_2,\ldots,i_p} J_{ki_2\ldots i_p} \left( \frac{ip}{p!}\sum_{a=1}^n \lambda_k^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a \right) + \sum_{k,l,i_3,\ldots,i_p} J_{kli_3\ldots i_p} \left( \frac{p(p-1)}{p!} \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_k^a \psi_l^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a \right) + \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1 \ldots i_p} \left( \frac{i\omega}{p!} \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right) \right]}\\
\end{eqnarray*}
*/
다음으로 결합상수를 포함한 부분을 적고 평균을 취하자:
\begin{eqnarray*}
&&\overline{\exp \left[ \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1\ldots i_p} \left( \frac{ip}{p!}\sum_{a=1}^n \lambda_{i_1}^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a \right) + \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1\ldots i_p} \left( \frac{p(p-1)}{p!} \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_{i_1}^a \psi_{i_2}^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a \right) + \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1 \ldots i_p} \left( \frac{i\omega}{p!} \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right) \right]}\\
&=& \overline{\prod_{i_1,\ldots,i_p} \exp \left[ J_{i_1\ldots i_p} \left( \frac{ip}{p!}\sum_{a=1}^n \lambda_{i_1}^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a + \frac{p(p-1)}{p!} \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_{i_1}^a \psi_{i_2}^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + \frac{i\omega}{p!} \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right) \right]}\\
&=& \prod_{i_1,\ldots,i_p} \int dJ_{i_1\ldots i_p} \exp\left( -J_{i_1\ldots i_p}^2 \frac{N^p}{p!} \right) \exp \left[ J_{i_1\ldots i_p} \left( \frac{ip}{p!}\sum_{a=1}^n \lambda_{i_1}^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a + \frac{p(p-1)}{p!} \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_{i_1}^a \psi_{i_2}^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + \frac{i\omega}{p!} \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right) \right]\\
&\propto& \prod_{i_1,\ldots,i_p} \exp \left[ \frac{p!}{4N^p} \left( \frac{ip}{p!}\sum_{a=1}^n \lambda_{i_1}^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a + \frac{p(p-1)}{p!} \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_{i_1}^a \psi_{i_2}^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + \frac{i\omega}{p!} \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right)^2 \right]\\
&=& \prod_{i_1,\ldots,i_p} \exp \left[ \frac{1}{4N^p p!} \left( ip\sum_{a=1}^n \lambda_{i_1}^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a + p(p-1) \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_{i_1}^a \psi_{i_2}^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + i\omega \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right)^2 \right]\\
&\approx& \prod_{i_1<\ldots<i_p} \exp \left[ \frac{1}{4N^p} \left( ip\sum_{a=1}^n \lambda_{i_1}^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a + p(p-1) \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_{i_1}^a \psi_{i_2}^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + i\omega \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right)^2 \right]\\
\end{eqnarray*}
++++

===카스텔라니와 카바냐(2005)의 계산(작성 중)===
++++보기|
$f_\text{TAP}$의 최소화가 $H$의 최소화와 일치한다는 특성을 이용한다.
구면 조건 $g(\sigma) \equiv \sum_i \sigma_i^2 - N = 0$과 함께 $H$의 극소점들을 찾기 위해 [[수학:라그랑주 곱수]] $\Lambda$를 도입하자 (편의를 위해 $p=3$으로 가정하여 식을 적는다).
$$H = - \sum_{i<k<l} J_{ikl} \sigma_i \sigma_k \sigma_l = -\frac{1}{p!} \sum_{ikl} J_{ikl} \sigma_i \sigma_k \sigma_l$$
이므로 다음의 식을 얻는다:
$$\frac{\partial H}{\partial \sigma_i} = -\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l = \frac{\partial g}{\partial \sigma_i} = 2\Lambda \sigma_i.$$
양변에 $\sigma_i$를 곱하고 $i$에 대해 합하면,
$$-\frac{p}{p!} \sum_i \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_i \sigma_k \sigma_l = p H = \sum_i 2\Lambda \sigma_i^2 = 2\Lambda N.$$
따라서 [[수학:라그랑주 곱수]]는 $\Lambda = pH/(2N)$이고 이를 다시 원래의 식에 대입하면, 풀어야 하는 방정식은 다음과 같다:
$$-\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l - p \frac{1}{N} H(\sigma) \sigma_i = 0.$$
에너지 밀도를 $H(\sigma)/N = \varepsilon$으로 고정한다면
$$-\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l - p \varepsilon \sigma_i = 0.$$
마찬가지로 헤세 행렬의 원소를 구면 조건을 포함해 적으면 아래와 같다:
$$\mathcal{H}_{ki} \equiv \frac{\partial^2 H}{\partial \sigma_k \partial \sigma_i} = - \frac{p(p-1)}{p!} \sum_l J_{ikl} \sigma_l - p\varepsilon \delta_{ik}.$$
정리하면, 복잡도를 구하기 위해 먼저 다음의 식을 계산하고:
$$\mathcal{N}(\varepsilon) \approx \int D\sigma \prod_i \delta\left(-\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l - p\varepsilon \sigma_i \right) \det \left( - \frac{p(p-1)}{p!} \sum_l J_{ikl} \sigma_l - p\varepsilon \delta_{ik} \right)$$
이어 다음의 식에 대입한다:
$$\Sigma(\varepsilon) = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \ln \mathcal{N}(\varepsilon).$$

일단 $\mathcal{N}(\varepsilon)$에 바로 무작위 평균을 취해보자:
\begin{eqnarray*}
\overline{\exp\left[ -\mathcal{S} \right]} &\propto& \exp\left( - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i -p\varepsilon\sum_i \bar{\psi}_i \psi_i \right) \prod_{i>k>l} \int dJ_{ikl} \exp\left[ -\frac12 J_{ikl}^2 \frac{2N^{p-1}}{p!} - ip J_{ikl} \mu_i \sigma_k \sigma_l - p(p-1) J_{ikl} \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l \right].
\end{eqnarray*}
$J_{ikl}$에 대한 평균은 아래처럼 계산되고 (여러 변수들이 곱해진 항들을 인덱스에 대해 대칭화했다):
\begin{eqnarray*}
&& \int dJ_{ikl} \exp\left[ -\frac12 J_{ikl}^2 \frac{2N^{p-1}}{p!} - ip J_{ikl} \mu_i \sigma_k \sigma_l - p(p-1) J_{ikl} \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l \right]\\
&=& \int dJ_{ikl} \exp\left[ -\frac12 J_{ikl}^2 \frac{2N^{p-1}}{p!} - i J_{ikl} \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right) - J_{ikl} \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_k + \bar{\psi}_k \psi_i \sigma_l + \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_i + \bar{\psi}_l \psi_i \sigma_k + \bar{\psi}_l \psi_k \sigma_i \right) \right]\\
& \propto& \exp\left\{ \frac{p!}{4N^{p-1}} \left[i \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right) + \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_k + \bar{\psi}_k \psi_i \sigma_l + \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_i + \bar{\psi}_l \psi_i \sigma_k + \bar{\psi}_l \psi_k \sigma_i \right) \right]^2 \right\}\\
\end{eqnarray*}
$p!$을 아래처럼 흡수한다:
\begin{eqnarray*}
&&\prod_{i>k>l} \exp\left\{ \frac{p!}{4N^{p-1}} \left[i \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right) + \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_k + \bar{\psi}_k \psi_i \sigma_l + \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_i + \bar{\psi}_l \psi_i \sigma_k + \bar{\psi}_l \psi_k \sigma_i \right) \right]^2 \right\}\\
&\approx&\prod_{ikl} \exp\left\{ \frac{1}{4N^{p-1}} \left[i \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right) + \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_k + \bar{\psi}_k \psi_i \sigma_l + \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_i + \bar{\psi}_l \psi_i \sigma_k + \bar{\psi}_l \psi_k \sigma_i \right) \right]^2 \right\}.
\end{eqnarray*}
그리고 제곱을 통해 등장하는 교차항($\mu$와 [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]]의 곱)은 결과에 기여하지 않는다고 가정하자. 이 가정은 나중에 얻게 되는 답과 부합한다. $\mu$에 의존하는 부분을 먼저 적어보면
\begin{eqnarray*}
A &=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{1}{4N^{p-1}} \sum_{ikl} \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right)^2 - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\
&=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{1}{4N^{p-1}} \sum_{ikl} \left( \mu_i^2 \sigma_k^2 \sigma_l^2 + \sigma_i^2 \mu_k^2 \sigma_l^2 + \sigma_i^2 \sigma_k^2 \mu_l^2 + 2\mu_i \mu_k \sigma_i \sigma_k \sigma_l^2 + 2\mu_i \mu_l \sigma_i \sigma_k^2 \sigma_l + 2\mu_k \mu_l \sigma_i^2 \sigma_k \sigma_l \right) - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\
&=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{1}{4N^{p-1}} \left( p N^{p-1} \sum_i \mu_i^2 + p(p-1) N^{p-2} \sum_{ik} \mu_i \mu_k \sigma_i \sigma_k \right) - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\
&=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{p}{4} \sum_i \mu_i^2 - \frac{p(p-1)}{4N} \sum_{ik} \mu_i \mu_k \sigma_i \sigma_k - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\
&=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{p}{4} \sum_i \mu_i^2 - \frac{p(p-1)}{4N} \left(\sum_i \mu_i \sigma_i \right)^2 - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\
&=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} \int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \int_{-\infty}^{\infty} dz \exp\left[ -\frac{Nz^2}{p(p-1)} \right] \prod_{i=1}^N \exp\left[ -\frac{p}{4} \mu_i^2 + i(z-p\varepsilon) \mu_i \sigma_i \right]\\
&=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} (p\pi)^{-N/2} \int D\sigma \int_{-\infty}^{\infty} dz \exp\left[ -\frac{Nz^2}{p(p-1)} \right] \prod_{i=1}^N \exp\left[ -\frac{1}{p} (z-p\varepsilon)^2 \sigma_i^2 \right]\\
&=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} (p\pi)^{-N/2} \int D\sigma \int_{-\infty}^{\infty} dz \exp\left[ -\frac{Nz^2}{p(p-1)} \right] \exp\left[ -\frac{N}{p} (z-p\varepsilon)^2 \right]\\
&=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} (p\pi)^{-N/2} S_{N-1} \sqrt{N}^{N-1} \int_{-\infty}^{\infty} dz \exp\left[ -\frac{Nz^2}{p(p-1)} -\frac{N}{p} (z-p\varepsilon)^2 \right]\\
&=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} (p\pi)^{-N/2} S_{N-1} \sqrt{N}^{N-1} \exp(-N\varepsilon^2) \left[\frac{\pi(p-1)}{N}\right]^{1/2}\\
&=&p^{-1/2} (p\pi)^{-N/2} S_{N-1} \sqrt{N}^{N-1} \exp(-N\varepsilon^2).
\end{eqnarray*}
이때 적분변수 $z$를 도입한 것은 [[수학:허바드-스트라토노비치_변환|허바드-스트라토노비치 변환]]을 사용하기 위해서였고, $\int D\sigma = S_{N-1} \sqrt{N}^{N-1}$은 $N$차원에 있는 반지름 $\sqrt{N}$인 구의 표면적으로서 $S_{N-1} \equiv 2\pi^{N/2} / \Gamma(N/2)$이다. $N$이 클 때에 아래와 같이 거동하므로
$$\Gamma\left(\frac{N}{2}\right) = \sqrt{\pi}\frac{(N-2)!!}{2^{(N-1)/2}} \sim N^{N/2} 2^{-(N-1)/2}.$$
모두 종합하면 다음의 결과를 얻는다:
$$\lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \ln A = \frac12  - \frac12 \ln \frac{p}{2} - \varepsilon^2.$$

/*
이제 [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]]를 포함하는 부분을 계산한다:
\begin{eqnarray*}
B &=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \prod_{ikl} \exp\left\{ \frac{(p-1)^2}{4N^{p-1}} \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \sigma_k \psi_l + \sigma_i \bar{\psi}_k \psi_l \right)^2 \right\}\\
&=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \prod_{ikl} \exp\left\{ \frac{(p-1)^2}{4N^{p-1}} \left( \bar{\psi}_i \psi_k \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_l \sigma_i + \bar{\psi}_k \psi_l \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_i \sigma_l \right) \right\}\\
&=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \prod_{ikl} \exp\left\{ \frac{(p-1)^2}{4N^{p-1}} \left( -\bar{\psi}_k \psi_k \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_i \sigma_l - \bar{\psi}_k \psi_k \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_i \sigma_l \right) \right\}\\
&=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \prod_{ikl} \exp\left\{ -\frac{(p-1)^2}{2N^{p-1}} \bar{\psi}_k \psi_k \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_i \sigma_l \right\}\\
&=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \exp\left\{ -\frac{(p-1)^2}{2N^{p-1}} \left[\sum_k \bar{\psi}_k \psi_k\right] \left[ \sum_i \bar{\psi}_i \sigma_i \right] \left[ \sum_l \psi_l \sigma_l \right] \right\}\\
\end{eqnarray*}
*/
/*
\begin{eqnarray*}
\delta S &=& ip\varepsilon \sum_i \mu_i \eta \psi_i + i\frac{p}{p!} \sum_{ikl} J_{ikl} \left( \mu_i \sigma_k \eta \psi_l + \mu_i \eta \psi_k \sigma_l + \mu_i \eta \psi_k \eta \psi_l \right) - p\varepsilon \sum_i i\eta \mu_i \psi_i + \frac{p(p-1)}{p!} \sum_{ikl} J_{ikl} \left( -\eta \mu_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_k \eta \psi_l - \eta \mu_i \psi_k \eta \psi_l \right)
\end{eqnarray*}
*/
++++
=====일반화된 자유 에너지=====
평형 분배 함수 $Z$를 다음처럼 적어보자:
$$Z = \int D\sigma \exp\left[ -\beta H(\sigma) \right] \approx \sum_\alpha \int_{\sigma\in \alpha} D\sigma \exp\left[-\beta H(\sigma) \right] = \sum_\alpha Z_\alpha.$$
이때 $Z_\alpha = \exp\left(-\beta N f_\alpha \right)$는 안정 혹은 준안정한 상태 $\alpha$로 제한된 분배 함수이다. 또 상태 $\alpha$의 자유 에너지 밀도 $f_\alpha$는 바닥 상태 에너지 밀도 $\varepsilon_\alpha$와 온도 $T$의 함수로서 $f_\alpha = f(\varepsilon_\alpha, T)$이다. 그러므로
\begin{eqnarray*}
Z &=& \sum_\alpha \int d\varepsilon \delta(\varepsilon - \varepsilon_\alpha) \exp\left[-\beta N f(\varepsilon,T) \right]\\
&=& \int d\varepsilon \mathcal{N}(\varepsilon) \exp\left[-\beta N f(\varepsilon,T) \right]\\
&=& \int d\varepsilon \exp\left\{\beta N \left[f(\varepsilon,T) - T\Sigma(\varepsilon) \right] \right\}\\
&=& \int d\varepsilon \exp\left[\beta N \Phi(\varepsilon,T) \right]
\end{eqnarray*}
로서 $\Phi(\varepsilon,T) \equiv f(\varepsilon,T)-T\Sigma(\varepsilon)$이다.

$N\to\infty$에서 [[수학:안장점_근사|안장점 근사]]를 사용하면 $\Phi$를 최소화하는 $\varepsilon$의 값이 가장 주된 기여를 할 것이므로 평형 자유 에너지 밀도는 다음처럼 주어진다:
$$f_\text{eq}(T) = \frac{1}{\beta N} \ln Z = \lim_\varepsilon \left[ f(\varepsilon,T) - T\Sigma(\varepsilon) \right] = \Phi \left[ \varepsilon_\text{eq}(T),T \right].$$
이때 최소화 조건이 다음과 같다:
$$\left. \frac{\partial \Phi}{\partial \varepsilon} \right|_{\varepsilon_\text{eq}(T)} = 0.$$

따라서 $S$를 [[물리:엔트로피|엔트로피]] 밀도라고 하면 $f = \varepsilon - TS$이므로
$$\Phi = f - T\Sigma = \varepsilon - T(S+\Sigma)$$
이다. 일반화된 자유 에너지인 $\Phi$의 관점에서 볼 때, 지수함수적으로 많은 준안정 상태들의 존재로 인해 복잡도가 [[물리:엔트로피|엔트로피]]에 추가적인 기여를 하는 것처럼 나타난다.

======함께 보기======
  * [[물리:포커-플랑크_방정식|포커-플랑크 방정식]]
  * [[수학:인자_그래프|인자 그래프]]
  * [[물리:tap_방정식|TAP 방정식]]

======참고문헌======
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  * Andrea Cavagna, Irene Giardina, and Giorgio Parisi, //Stationary points of the Thouless-Anderson-Palmer free energy//, [[https://doi.org/10.1103/PhysRevB.57.11251|Phys. Rev. B 57, 11251 (1998)]].
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