물리:구면_p-스핀_유리_모형 [statphys]

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======구면 $p$-스핀 유리 모형======
이 모형의 해밀토니안은 [[물리:p-스핀_유리_모형|$p$-스핀 유리 모형]]과 같다. 단 한 가지 차이는, 이 모형에서는 스핀 변수가 $-\infty$부터 $\infty$까지 실수의 값을 가질 수 있다는 것이다.

복제 방법을 통한 정적 분석, 동역학적 분석, 그리고 [[물리:tap_방정식|TAP 방정식]]이라는 세 가지의 다른 방법을 사용해서 모형을 분석해보자.

======정적 분석======
=====복제 방법=====

$p=3$에서 하나의 분배함수를 무질서에 대해 평균한다면 다음처럼 계산된다:
\begin{eqnarray*}
\overline{Z} &=& \int D\sigma \prod_{i<j<k} \int dJ_{ijk} \exp \left[ -J_{ijk}^2 \frac{N^p}{p!} + \beta J_{ijk} \sigma_i \sigma_j \sigma_k \right]\\
&\approx& \int D\sigma \exp\left[ \frac{\beta^2}{4N^{p-1}} \left( \sum_i \sigma_i^2 \right)^p \right]\\
&\sim& \exp \left[ N\frac{\beta^2}{4} \right] \Omega.
\end{eqnarray*}
여기에서 $\Omega$는 구면 조건 $\sum_i \sigma_i^2 = N$에 의해 생기는 초구의 면적이다.
둘째 줄로 넘어올 때에
$$p! \sum_{i<j<k}^N \approx \sum_{ijk}^N$$
의 근사를 사용했고, 적분의 결과로 나오는 계수는 생략했다. $\ln \overline{Z}$로 자유 에너지를 구하면, 이는 상호작용의 무질서가 열풀림(annealing) 과정 안에 있어 스핀과 같은 시간 척도에서 변화한다고 가정한 것에 대응된다.

담금질된(quenched) 무질서를 다루기 위해서는 $\overline{\ln Z}$이 필요하다. $n$개의 복제본에 대해 마찬가지의 계산을 수행하면 다음과 같다:
\begin{eqnarray*}
\overline{Z^n} &=& \int D\sigma_i^n \prod_{i<j<k} \int dJ_{ijk} \exp \left[ -J_{ijk}^2 \frac{N^p}{p!} + \beta J_{ijk} \sum_{a=1}^n \sigma_i^a \sigma_j^a \sigma_k^a \right]\\
&\sim& \int D\sigma_i^a \prod_{i<j<k} \exp\left[ \frac{\beta^2 p!}{4N^{p-1}} \sum_{ab}^n \sigma_i^a \sigma_i^b \sigma_j^a \sigma_j^b \sigma_k^a \sigma_k^b \right]\\
&\approx& \int D\sigma_i^a \exp\left[ \frac{\beta^2}{4N^{p-1}} \sum_{ab}^n \left( \sum_{i=1}^{N} \sigma_i^a \sigma_i^b \right)^p \right]\\
&\sim& \int DQ^{ab} D\lambda^{ab} \exp [-N G(Q,\lambda)].
\end{eqnarray*}
여기에서 $Q$는 $Q^{ab}$를 원소로 가지는 $n\times n$ 행렬이며, 마찬가지로 $\lambda$는 $\lambda^{ab}$를 원소로 가지는 $n\times n$ 행렬이다.
[[물리:p-스핀_유리_모형|$p$-스핀 유리 모형]]에서 했던 것처럼 이를 형태로 정리해서 적어보면
$$\overline{Z^n} \sim \int DQ^{ab} D\lambda^{ab} D\sigma_i^a \exp\left[ \frac{\beta^2 N}{4} \sum_{ab} \left(Q^{ab}\right)^p + N\sum_{ab} \lambda^{ab} Q^{ab} - \sum_i \sum_{ab} \lambda^{ab} \sigma_i^a \sigma_i^b \right].$$
모든 복제본의 스핀 변수 $\{ \sigma_i^a \}$들에 대해 적분을 수행하면 (대각합의 역할) 다음의 결과를 얻는데
\begin{eqnarray*}
\int D\sigma_i^a \exp \left( -\sum_i \sum_{ab} \sigma_i^a \lambda^{ab} \sigma_i^b \right) &=& \left[ \int D\sigma^a \exp \left( -\sum_{ab} \sigma^a \lambda^{ab} \sigma^b \right) \right]^N\\
&=& \left\{ (2\pi)^{n/2} \left[\det(2\lambda) \right]^{-1/2} \right\}^N,
\end{eqnarray*}
왜냐하면 [[수학:윅의_정리|가우스 적분]]의 성질에 따라 다음 식이 성립하기 때문이다:
$$\int D\sigma^a \exp \left( - \frac{1}{2} \sum_{ab} \sigma^a \lambda^{ab} \sigma^b \right) = \frac{(2\pi)^{n/2}}{\sqrt{\det \lambda}}.$$
따라서
$$G(Q, \lambda) \approx -\frac{\beta^2}{4} \sum_{ab} \left(Q^{ab}\right)^p - \sum_{ab} \lambda^{ab} Q^{ab} + \frac{1}{2} \ln \det(2\lambda).$$
[[수학:안장점_근사|안장점 근사]]를 사용하면 $\partial G/\partial Q^{ab} = 0$과 $\partial G/\partial \lambda^{ab} = 0$으로부터 각각 다음을 얻는다:
\begin{eqnarray*}
\lambda^{ab} &=& \frac{1}{2} \beta^2 p \left( Q^{ab} \right)^{p-1}\\
Q^{ab} &=& \left[(2\lambda)^{-1}\right]^{ab} = \frac{1}{2} \left(\lambda^{-1}\right)^{ab}.
\end{eqnarray*}
단, $Q^{aa}$는 구면 조건에 의해 값이 $1$로 묶여 있다. 두 방정식을 $Q^{ab}$에 대해 정리하면 다음과 같다.
$$\frac{1}{2}\beta^2 p \left(Q^{ab}\right)^{p-1} + \left( Q^{-1} \right)^{ab} = 0.$$

/*
=====$n$개의 복제본에 대한 분배함수=====
[[물리:p-스핀_유리_모형|$p$-스핀 유리 모형]]을 참고하면 $n$개의 복제본에 대한 분배함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$\overline{Z^n}=\text{Tr}_{\sigma}\exp\left[\frac{(\beta J)^2}{4}N\sum_{\alpha\beta}\frac{p!}{N^p}\sum_{i_1<\cdots<i_p}\sigma_{i_1}^\alpha\sigma_{i_1}^\beta\cdots\sigma_{i_p}^\alpha\sigma_{i_p}^\beta+\beta h\sum_{i,a}\sigma_i^a\right]$$
$i_1,\cdots,i_p$에 대한 합을 다음과 같이 나누어 쓰자.
$$p!\sum_{i_1<\cdots<i_p} = \sum_{i_1,\cdots,i_p}-\frac{p(p-1)}2\sum_{i_1,i_1\neq i_3,\cdots}$$
이렇게 두고 분배함수를 다시 쓰면
$$\overline{Z^n}=\text{Tr}_{\sigma}\exp\left[\frac{(\beta J)^2}{4}N\sum_{\alpha\beta}\left\{\frac1{N^p}\left(\sum_i\sigma_i^\alpha\sigma_i^\beta\right)^p-\frac{p(p-1)}2\frac1{N^{p-2}}\left(\sum_i\sigma_i^\alpha\sigma_i^\beta\right)^{p-2}\left(\sum_i(\sigma_i^\alpha\sigma_i^\beta)^2\right)\right\}+\beta h\sum_{i,a}\sigma_i^a\right]$$
가 된다. $q_{\alpha\beta}=N^{-1}\sum_i\sigma_i^\alpha\sigma_i^\beta$로 정의하고, 이를 만족하기 위한 구속조건
\begin{align*}
1=&\int\prod_{\alpha<\beta}dq_{\alpha\beta}\delta\left(Nq_{\alpha\beta}-\sum_{i=1}^N\sigma_i^\alpha\sigma_i^\beta\right)\\
=&\int\prod_{\alpha<\beta}dq_{\alpha\beta}\int_{-i\infty}^{+i\infty}\prod_{\alpha<\beta}\frac N{2\pi i}d\lambda_{\alpha\beta}\exp\left[-\frac12\sum_{\alpha\neq\beta}\lambda_{\alpha\beta}\left(Nq_{\alpha\beta}-\sum_{i=1}^N\sigma_i^\alpha\sigma_i^\beta\right)\right]
\end{align*}
과 스핀에 대한 대각합
\begin{align*}
\text{Tr}_\sigma =& \int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{i,\alpha}d\sigma_i^\alpha\prod_\alpha\delta\left(N-\sum_{i=1}^N(\sigma_i^\alpha)^2\right)\\
=&\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{i,\alpha}d\sigma_i^\alpha\int_{-i\infty}^{+i\infty}\prod_\alpha\frac{d\lambda_{\alpha\alpha}}{4\pi i}\exp\left[-\frac12\sum_\alpha\lambda_{\alpha\alpha}\left(Nq_{\alpha\alpha}-\sum_{i=1}^N(\sigma_i^\alpha)^2\right)\right]
\end{align*}
을 넣어서 쓰면 분배함수를
\begin{align*}
\overline{Z^n}=&\int\prod_{\alpha<\beta}dq_{\alpha\beta}\int_{-i\infty}^{+i\infty}\prod_{\alpha<\beta}\frac N{2\pi i}d\lambda_{\alpha\beta}\int_{-i\infty}^{+i\infty}\prod_\alpha\frac{d\lambda_{\alpha\alpha}}{4\pi i}\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{i,\alpha}d\sigma_i^\alpha\\
&\quad\times\exp\left[-\frac N2\sum_{\alpha\beta}\lambda_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}+\frac{(\beta J)^2}4N\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^p-\frac{(\beta J)^2}{8N}p(p-1)\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^{p-2}\left(\sum_i(\sigma_i^\alpha\sigma_i^\beta)^2\right)+\frac12\sum_{\alpha\beta}\lambda_{\alpha\beta}\sum_i\sigma_i^\alpha\sigma_i^\beta+\beta h\sum_{i,\alpha}\sigma_i^\alpha\right]
\end{align*}
와 같이 쓸 수 있다.
=====스핀에 대한 대각합=====
분배함수 중 스핀 변수와 관련된 부분을 모으면
\begin{align*}
&\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{i,\alpha}d\sigma_i^\alpha
\exp\left[-\frac{(\beta J)^2}{8N}p(p-1)\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^{p-2}\left(\sum_i(\sigma_i^\alpha\sigma_i^\beta)^2\right)+\frac12\sum_{\alpha\beta}\lambda_{\alpha\beta}\sum_i\sigma_i^\alpha\sigma_i^\beta+\beta h\sum_{i,\alpha}\sigma_i^\alpha\right]\\
=&\left[\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{\alpha}d\sigma^\alpha
\exp\left[-\frac{(\beta J)^2}{8N}p(p-1)\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^{p-2}(\sigma^\alpha\sigma^\beta)^2+\frac12\sum_{\alpha\beta}\lambda_{\alpha\beta}\sigma^\alpha\sigma^\beta+\beta h\sum_{\alpha}\sigma^\alpha\right]\right]^N
\end{align*}
로 쓸 수 있고, $\beta H_{\text{eff}} = \frac12\sum_{\alpha\beta}\lambda_{\alpha\beta}\sigma^\alpha\sigma^\beta+\beta h\sum_{\alpha}\sigma^\alpha$로 두고 위 식을 전개하면
\begin{align*}
&\left[\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{\alpha}d\sigma^\alpha
e^{\beta H_{\text{eff}}}\exp\left(-\frac{(\beta J)^2}{8N}p(p-1)\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^{p-2}(\sigma^\alpha\sigma^\beta)^2\right)\right]^N\\
\approx&\left[\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{\alpha}d\sigma^\alpha
e^{\beta H_{\text{eff}}}\left(1-\frac{(\beta J)^2}{8N}p(p-1)\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^{p-2}(\sigma^\alpha\sigma^\beta)^2+\mathcal O(N^{-2})\right)\right]^N\\
=&\exp\left[N\log\left\{\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{\alpha}d\sigma^\alpha
e^{\beta H_{\text{eff}}}-\frac{(\beta J)^2}{8N}p(p-1)\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^{p-2}\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{\alpha}d\sigma^\alpha
e^{\beta H_{\text{eff}}}(\sigma^\alpha\sigma^\beta)^2\right\}\right]\\
=&\exp\left[N\log\left(\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{\alpha}d\sigma^\alpha
e^{\beta H_{\text{eff}}}\right)+N\log\left\{1-\frac{(\beta J)^2}{8N}p(p-1)\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^{p-2}\left\langle(\sigma^\alpha\sigma^\beta)^2\right\rangle\right\}\right]\\
\approx&\exp\left[N\log\left(\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{\alpha}d\sigma^\alpha
e^{\beta H_{\text{eff}}}\right)-N\frac{(\beta J)^2}{8N}p(p-1)\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^{p-2}\left\langle(\sigma^\alpha\sigma^\beta)^2\right\rangle\right]
\end{align*}
이고, 지수 위의 첫 번째 항은 가우스 적분
$$\int\prod_\alpha d\sigma_\alpha\exp\left[-\frac12\vec\sigma\cdot\mathbf A\cdot\vec\sigma+\mathbf J\cdot\vec\sigma\right] = \sqrt{\frac{(2\pi)^n}{\det\Lambda}}\exp\left[-\frac12\mathbf J\cdot \mathbf A^{-1}\cdot\mathbf J\right]$$
를 이용해  $J_i = \beta h$, $\mathbf A = -\tilde\Lambda$로 두고 다음과 같이 계산할 수 있다.
\begin{align*}
&\log\left(\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{\alpha}d\sigma^\alpha
e^{\beta H_{\text{eff}}}\right)=\log\left(\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{\alpha}d\sigma^\alpha
\exp\left[\frac12\sum_{\alpha\beta}\lambda_{\alpha\beta}\sigma^\alpha\sigma^\beta+\beta h\sum_{\alpha}\sigma^\alpha\right]\right)\\
=&\frac n2\log(2\pi)-\frac12\log\det(-\tilde\Lambda)+\frac{(\beta h)^2}2\sum_{\alpha\beta}(\tilde\Lambda^{-1})_{\alpha\beta}
\end{align*}
여기서 $(\tilde\Lambda)_{\alpha\beta}=\lambda_{\alpha\beta}$이다. 따라서 분배함수는
$$
\overline{Z^n}=\int\prod_{\alpha<\beta}dq_{\alpha\beta}\int_{-i\infty}^{+i\infty}\prod_{\alpha<\beta}\frac N{2\pi i}d\lambda_{\alpha\beta}\int_{-i\infty}^{+i\infty}\prod_\alpha\frac{d\lambda_{\alpha\alpha}}{4\pi i}
e^{-NG[\mathbf q,\lambda]}
$$
가 된다. 여기서
$$G[\mathbf q,\lambda] = \frac 12\sum_{\alpha\beta}\lambda_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}-\frac{(\beta J)^2}2\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^p-\frac n2\log(2\pi)+\frac{(\beta J)^2}{8N}p(p-1)\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^{p-2}\left\langle(\sigma^\alpha\sigma^\beta)^2\right\rangle+\frac12\log\det(-\tilde\Lambda)+\frac{(\beta h)^2}2\sum_{\alpha\beta}(\tilde\Lambda^{-1})_{\alpha\beta}$$
이다.


=====$\lambda$ 적분(작성중)=====
$b = \beta h$, $\mu=b^2p/2$.

$(\tilde b^2)_{\alpha\beta} = b^2$: $n\times n$ 행렬
\begin{align*}
\log\det(-\tilde\Lambda-\tilde b^2)=&\log\det\left[-\tilde\Lambda(I+\tilde b^2\cdot\tilde \Lambda^{-1})\right]\\
=&\log\det(-\tilde \Lambda)+\log\det(I+\tilde b^2\cdot\tilde\Lambda^{-1})\\
=&\log\det(-\tilde \Lambda)+\text{Tr}\log(I+\tilde b^2\cdot\tilde\Lambda^{-1})\\
\approx&\log\det(-\tilde\Lambda)+\text{Tr }\left(\tilde b^2\cdot\tilde\Lambda^{-1}-\frac{(\tilde b^2\cdot\tilde\Lambda^{-1})^2}2+\mathcal O(n^3)\right)
\end{align*}

극값 조건
$$\langle\sigma^\alpha\sigma^\beta\rangle = q_{\alpha\beta}$$
$$\lambda_{\alpha\beta}+b^2+(\mathbf q^{-1})_{\alpha\beta} = \mathcal O(n)$$

분배함수
$$\overline{Z^n} = e^{nS(\infty)}\int\prod_{\alpha<\beta}\sqrt{\frac N{2\pi}}dq_{\alpha\beta}\exp\left[-NG_0[\mathbf q]-G_1[\mathbf q]+\mathcal O(N^{-1})\right]$$

$$G_0[\mathbf q] = -\frac\mu{2p}\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^p-\frac{b^2}2\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}-\frac12\log\det\mathbf q+\frac{b^4}4\left(\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}\right)^2$$
$$G_1[\mathbf q] = \frac\mu4(p-1)\sum_{\alpha\beta}\left\langle(\sigma^\alpha\sigma^\beta)^2\right\rangle q_{\alpha\beta}^{p-2}+\log\det\mathbf q$$
=====$q$ 적분(작성중)=====

극값 조건
$$\mu q_{\alpha\beta}^{p-1}+b^2+(\mathbf q^{-1})_{\alpha\beta} = 0\qquad\alpha\neq\beta$$

2차항까지 전개
$$\delta^2G_0 = -\frac{\mu(p-1)}2\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^{p-2}(\delta q_{\alpha\beta})^2+\text{Tr}(\mathbf q^{-1}\delta\mathbf q)^2+b^4\left(\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}\right)^2$$

\begin{align*}
\text{Tr}(\mathbf q^{-1}\delta\mathbf q)^2=&\text{Tr}(\mathbf q^{-1}\delta\mathbf q\mathbf q^{-1}\delta\mathbf q)\\
=&\sum_\alpha(\mathbf q^{-1}\delta\mathbf q\mathbf q^{-1}\delta\mathbf q)_{\alpha\alpha}\\
=&\sum_{\alpha\beta\gamma\epsilon}(A\delta_{\alpha\beta}+B)\delta q_{\beta\gamma}(A\delta_{\gamma\epsilon}+B)\delta q_{\epsilon\alpha}\\
=&\sum_{\alpha\beta\gamma\epsilon}\left[A^2\delta_{\alpha\beta}\delta_{\gamma\epsilon}+AB(\delta_{\alpha\beta}+\delta_{\gamma\epsilon})+B^2\right]\delta q_{\beta\gamma}\delta q_{\epsilon\alpha}\\
=&A^2\sum_{\alpha\beta}\delta q_{\alpha\beta}^2 +2AB\sum_{\alpha\beta\gamma}\delta_{\alpha\gamma}\delta_{\gamma\beta}+B^2\left(\sum_{\alpha\beta}\delta q_{\alpha\beta}\right)^2
\end{align*}
$$\delta^2G_0 = -\frac{\mu(p-1)}2\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^{p-2}(\delta q_{\alpha\beta})^2+A^2\sum_{\alpha\beta}\delta q_{\alpha\beta}^2 +2AB\sum_{\alpha\beta\gamma}\delta_{\alpha\gamma}\delta_{\gamma\beta}+\left(B^2+b^4\right)\left(\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}\right)^2$$
*/
=====복제 대칭 해=====
$Q$가 다음과 같은 구조를 가지고 있다고 하자:
$$Q^{ab} = \left\{
\begin{array}{ll}
1 & \text{if }a=b\\
q_0 & \text{otherwise.}
\end{array}
\right.$$
그 역행렬은 다음처럼 주어진다:
$$\left(Q^{-1}\right)^{ab} = \frac{1}{1-q_0} \delta_{ab} - \frac{q_0}{(1-q_0) \left[ 1+(n-1)q_0 \right]}.$$
그러므로 $n\to 0$에서 $Q^{ab}$가 만족해야 할 식은 이렇다:
$$\frac{1}{2} \beta^2 p q_0^{p-1} - \frac{q_0}{(1-q_0)^2} = 0.$$
이 방정식에서 $q_0=0$는 언제나 해가 되며, 이는 앞에서 보았던 열풀림(annealed) 무질서의 경우와 같은 자유 에너지
$$F = - \lim_{n\to0} \frac{1}{2\beta n} \left[ \frac{\beta^2}{2} \sum_{ab} \left(Q^{ab} \right)^p+ \ln \det Q \right] = -\beta / 4$$
를 준다. 즉 이는 고온의 상자성(paramagnetic) 상에 대응된다.

$\beta$가 충분히 커지면 $q_0 \neq 0$인 해가 나타난다. 그러나 그 점에서 헤세 행렬(hessian)을 구해보면 고윳값 중 음수가 존재하므로 이 답은 불안정한 것으로 판명된다.


=====복제 대칭성 깨짐 해=====
복제 대칭성을 한번 깨뜨려서 행렬 $Q$가 예를 들어 각 그룹 안의 복제본 수가 $m=3$일 때 다음과 같은 구조를 가지고 있다고 하자:
$$Q = \begin{pmatrix}
1 & q_1 & q_1 &  &  &  &  \\
q_1 & 1 & q_1 & & q_0 & & \cdots\\
q_1 & q_1 & 1 &  &  &  &  \\
 & & & 1 & q_1 & q_1 &  \\
 & q_0 & & q_1 & 1 & q_1 &  \\
 & & & q_1 & q_1 & 1 &  \\
 & \vdots & & & & & \ddots \\
\end{pmatrix}.$$
이때 $0\le q_0 \le q_1 \le 1$이고, $n\to0$인 극한에서 $0\le m \le 1$로서, $m$의 값은 최적화를 통해 찾아야 한다. 이제 $F$의 첫 번째 항을 계산해보면
$$\frac{1}{n} \sum_{ab} \left( Q^{ab} \right)^p = \frac{1}{n} \left[ n^2 q_0^p + (q_1^p-q_0^p) m^2 \left( \frac{n}{m} \right) + (1- q_1^p) n\right] \xrightarrow[n\to0]{}1+(m-1) q_1^p - mq_0^p.$$
그리고 두 번째 항의 경우 행렬 $Q$의 고윳값 구조를 알아야 하는데, 고윳값들과 그것들의 겹침수가 다음과 같다:
$$\begin{array}{ll}
\mu_1 = 1-q_1 & \text{degeneracy } d_1 = n-n/m\\
\mu_2 = m(q_1-q_0) + (1-q_1) & \text{degeneracy } d_2 = n/m-1\\
\mu_3 = nq_0 + m (q_1-q_0) + (1-q_1) & \text{degeneracy } d_3 = 1
\end{array}$$
따라서
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{n} \ln \det Q &=& \frac{1}{n} \left( d_1 \ln \mu_1 + d_2 \ln \mu_2 + d_3 \ln \mu_3 \right)\\
&=& \left(1-\frac{1}{m}\right) \ln \left(1-q_1\right) + \left( \frac{1}{m}-\frac{1}{n} \right) \ln\left[ m(q_1-q_0)+(1-q_1)\right] + \frac{1}{n} \ln\left[ nq_0 + m(q_1-q_0) + (1-q_1) \right]\\
&=& \left(1-\frac{1}{m}\right) \ln \left(1-q_1\right) + \frac{1}{m} \ln\left[ m(q_1-q_0)+(1-q_1)\right] + \frac{1}{n} \left\{ \ln\left[ nq_0 + m(q_1-q_0) + (1-q_1) \right] - \ln\left[ m(q_1-q_0)+(1-q_1)\right] \right\}\\
&\xrightarrow[n\to0]{}& \left(1-\frac{1}{m}\right) \ln \left(1-q_1\right) + \frac{1}{m} \ln\left[ m(q_1-q_0)+(1-q_1)\right] + \frac{q_0}{m(q_1-q_0)+(1-q_1)}.
\end{eqnarray*}
따라서
\begin{eqnarray*}
-2\beta F_\text{1RSB} &=& \frac{\beta^2}{2} \left[ 1+(m-1)q_1^p - mq_0^p \right] + \left(1-\frac{1}{m}\right) \ln \left(1-q_1\right) + \frac{1}{m} \ln\left[ m(q_1-q_0)+(1-q_1)\right] + \frac{q_0}{m(q_1-q_0)+(1-q_1)}
\end{eqnarray*}
로서, 이 식은 $q_1\to q_0$ 또는 $m\to 1$인 극한에서 복제 대칭의 경우로 돌아간다.

$\partial F/\partial q_1 = 0$과 $\partial F/\partial m=0$으로부터 다음의 두 식을 얻는다:
$$(1-m) \left\{ \frac{\beta^2}{2} p q_1^{p-1} - \frac{q_1}{(1-q_1)[(m-1)q_1+1]} \right\} = 0$$
$$\frac{\beta^2}{2} q_1^p + \frac{1}{m^2} \ln \left[ \frac{1-q_1}{1-(1-m)q_1} \right] + \frac{q_1}{m[1-(1-m)q_1]} = 0.$$

고온에서는 $q_1=0$만이 유일한 해가 되며($m$은 미정), 이는 상자성 상에 해당한다. 그러나 온도를 낮추어가면 어떤 온도 $T_s$에서 $q_1=q_s \neq 0$인 해가 등장한다 ($m=1$). 온도 $T_s$ 아래에서는 $q_1>q_s$이고 $m<1$이다.

만일 두 번 이상 복제 대칭성을 깨뜨려도 지금의 결과로 돌아오므로, 복제 방법 안에서 더 이상의 복제 대칭성 깨짐은 불필요함을 알 수 있다.


======동역학적 분석======

=====유효 랑주뱅 방정식=====
[[물리:포커-플랑크_방정식|마틴-시지아-로즈 형식론]]으로부터 다음의 식을 얻었다:
\begin{eqnarray*}
\rho(x,t=n\Delta t) &=& 
\mathcal{N} \int \left(\prod_{i=0}^{n-1} dx_i \right) \left(\prod_{i=0}^{n-1} dk_i \right) \delta(x-x_n) \exp\left(\sum_{i=0}^{n-1} \left\{ -Ik_i \left[ x_{i+1}-x_i-a(x_i) \Delta t \right] - \frac{1}{2} \Delta t k_{i+1}^2 \right\} \right) \rho(x_0,0).
\end{eqnarray*}
이때 $\mathcal{N}$은 계수들을 모아서 쓴 것이다. 온도 $T$는 명시적으로 적지 않고 최종 결과에만 적을 것이다.
계의 상태 $x$가 여러 스핀 변수의 묶음으로 $\left\{\sigma_{j,i} \right\}$처럼 표현된다고 해보자. 앞의 인덱스 $j$는 스핀을 가리키고 뒤의 인덱스 $i$는 시간을 나타낸다(혼동을 피하기 위해 허수 $\sqrt{-1}$은 대문자 $I$로 적는다). 이에 대응되어 $k$에 해당하는 변수들은 $\left\{ \hat{\sigma}_{j,i} \right\}$로 표현한다. 계는 해밀토니안 동역학을 따라서, 스핀 $j$가 시간 $t_i = i\Delta t$에 받는 구동력이 다음처럼 주어진다:
$$a_{j,i} = -\frac{\partial \mathcal{H} \left( \left\{\sigma_{j,i} \right\} \right)}{\partial \sigma_{j,i}} -\mu_i \sigma_{j,i} \approx \frac{p}{p!} \left( \sum_{k=1}^N \sum_{l=1}^N J_{jkl} \sigma_{k,i} \sigma_{l,i} \right)  -\mu_i \sigma_{j,i}.$$
이때 $\mu_i$는 구면 조건을 만족하기 위해 도입한 [[수학:라그랑주 곱수]]이다. 밀도함수의 정규화 조건은 다음과 같다:
\begin{eqnarray*}
1 = Z &=& \int \left( \prod_j d\sigma_{j} \right) \rho\left(\left\{\sigma_{j,i} \right\}\right)\\
&=& \mathcal{N} \int \left(\prod d\sigma_{j,i} \right) \left(\prod d\hat{\sigma}_{j,i} \right) \exp\left(\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=1}^N \left\{ -I\hat{\sigma}_{j,i} \left[ \sigma_{j,i+1}-\sigma_{j,i}-a_{j,i} \Delta t \right] - \frac{1}{2} \Delta t \hat{\sigma}_{j,i+1}^2 \right\} \right) \rho_0\\
&=& \mathcal{N} \int \left(\prod d\sigma_{j,i} \right) \left(\prod d\hat{\sigma}_{j,i} \right) \exp\left(\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=1}^N \left\{ -I\hat{\sigma}_{j,i} \left[ \sigma_{j,i+1}-\sigma_{j,i} + \mu_i \sigma_{j,i} \Delta t \right] - \frac{1}{2} \Delta t \hat{\sigma}_{j,i+1}^2 \right\} \right) \exp \left( -\Delta t\frac{Ip}{p!} \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=1}^N \sum_{k=1}^N \sum_{l=1}^N J_{jkl} \hat{\sigma}_{j,i} \sigma_{k,i} \sigma_{l,i} \right) \rho_0.
\end{eqnarray*}
무질서에 대한 평균은 마지막의 지수함수에만 적용된다. $\hat{\sigma}\sigma^{p-1}$을 대칭화해서 $p$개의 항으로 풀어서 적는 것이 편리하다.
\begin{eqnarray*}
e^{S} = \overline{\exp \left( -\Delta t\frac{Ip}{p!} \sum_i \sum_{jkl} J_{jkl} \hat{\sigma}_{j,i} \sigma_{k,i} \sigma_{l,i} \right)} &=& \prod_{j>k>l} \int dJ_{jkl} \exp\left\{ -\frac{1}{2p!} J_{jkl}^2 2N^{p-1} - J_{jkl} \Delta t \sum_i \left[ I\hat{\sigma}_{j,i}\sigma_{k,i}\sigma_{l,i} + \sigma_{j,i}I\hat{\sigma}_{k,i}\sigma_{l,i} + \sigma_{j,i}\sigma_{k,i}I\hat{\sigma}_{l,i} \right] \right\}\\
&=& \prod_{j>k>l} \sqrt{\frac{\pi N p!}{N^p}} \exp\left\{ \frac{p! \Delta t^2}{4N^{p-1}} \sum_{i,i'} \left[ I\hat{\sigma}_{j,i}\sigma_{k,i}\sigma_{l,i} + \sigma_{j,i}I\hat{\sigma}_{k,i}\sigma_{l,i} + \sigma_{j,i}\sigma_{k,i}I\hat{\sigma}_{l,i} \right] \left[ I\hat{\sigma}_{j,i'}\sigma_{k,i'}\sigma_{l,i'} + \sigma_{j,i'}I\hat{\sigma}_{k,i'}\sigma_{l,i'} + \sigma_{j,i'}\sigma_{k,i'}I\hat{\sigma}_{l,i'} \right] \right\}\\
&=& \mathcal{N} \prod_{jkl} \exp\left\{ \frac{\Delta t^2}{4N^{p-1}} \sum_{i,i'} \left[ I\hat{\sigma}_{j,i}\sigma_{k,i}\sigma_{l,i} + \sigma_{j,i}I\hat{\sigma}_{k,i}\sigma_{l,i} + \sigma_{j,i}\sigma_{k,i}I\hat{\sigma}_{l,i} \right] \left[ I\hat{\sigma}_{j,i'}\sigma_{k,i'}\sigma_{l,i'} + \sigma_{j,i'}I\hat{\sigma}_{k,i'}\sigma_{l,i'} + \sigma_{j,i'}\sigma_{k,i'}I\hat{\sigma}_{l,i'} \right] \right\}\\
&=&\mathcal{N} \exp \left\{ \frac{\Delta t^2}{4N^{p-1}} \sum_{i,i'} \left[ 3\left( \sum_j I\hat{\sigma}_{j,i} I\hat{\sigma}_{j,i'} \right) \left( \sum_k \sigma_{k,i} \sigma_{k,i'} \right) \left( \sum_l \sigma_{l,i} \sigma_{l,i'} \right) + 6\left( \sum_j I\hat{\sigma}_{j,i} \sigma_{j,i'} \right) \left( \sum_k \sigma_{k,i} I\hat{\sigma}_{k,i'} \right) \left( \sum_l \sigma_{l,i} \sigma_{l,i'} \right) \right] \right\}\\
&=&\mathcal{N} \exp \left\{ \frac{\Delta t^2}{4N^{p-1}} \sum_{i,i'} \left[ p\left( \sum_j I\hat{\sigma}_{j,i} I\hat{\sigma}_{j,i'} \right) \left( \sum_k \sigma_{k,i} \sigma_{k,i'} \right)^{p-1} + p(p-1) \left( \sum_j I\hat{\sigma}_{j,i} \sigma_{j,i'} \right) \left( \sum_k \sigma_{k,i} I\hat{\sigma}_{k,i'} \right) \left( \sum_l \sigma_{l,i} \sigma_{l,i'} \right)^{p-2} \right] \right\}.
\end{eqnarray*}
여기서도 $\mathcal{N}$은 그때 그때 계수들을 합쳐서 적어놓은 것이다. 복제본 계산에서는 복제본 사이의 중첩(overlap)이 나타났다면 동역학적 분석에서는 다른 시간  $i$와 $i'$ 사이의 중첩이 나타남에 유의.

상관함수를 아래처럼 적도록 하자. (상관함수가 존재한다는 것은, 이 우변에 무질서 평균과 열적 평균을 취한 기댓값이 잘 정의되어 우변을 계산한 결과가 그 기댓값으로 잘 표현될 것이라는 뜻이다. 그래서 우변에 대응하는 보조장을 먼저 도입한 다음 그 보조장의 기댓값을 구하는 순서를 선호하는 저자들도 있다.)
$$C(i,i') = \frac{1}{N} \sum_k \sigma_{k,i} \sigma_{k,i'}.$$
그리고 [[물리:포커-플랑크_방정식|마틴-시지아-로즈 형식론]]에 따라, 아래의 양이 마찬가지 의미에서 반응함수에 해당함을 알 수 있다:
$$R(i,i') = \frac{1}{N} \sum_k \sigma_{k,i} I\hat{\sigma}_{k,i'}.$$
이 반응함수는 인과성(causality) 때문에 $i>i'$에서만 유의미한 값을 주는데, 위의 유도과정에서는 $i$와 $i'$이 대칭적으로 다루어지고 있으므로, 이 반응함수를 써서 다시 적는다면 $i>i'$에서 $R(i,i')$으로 한번, $i<i'$에 $R(i',i)$로 한번, 이렇게 총 두 번이 계산되고 있는 셈이다.
\begin{eqnarray*}
e^{S} &=&\mathcal{N} \exp \left\{ \frac{\Delta t^2}{4} \sum_{i,i'} \left[ p\left( \sum_j I\hat{\sigma}_{j,i} I\hat{\sigma}_{j,i'} \right) C^{p-1}(i,i') + 2p(p-1) \left( \sum_j I\hat{\sigma}_{j,i} \sigma_{j,i'} \right) R(i,i') C^{p-2}(i,i') \right] \right\}\\
&=&\mathcal{N} \exp \left\{ \frac{\Delta t^2 p}{4} \sum_j \sum_{i,i'} \left[ \left( I\hat{\sigma}_{j,i} I\hat{\sigma}_{j,i'} \right) C^{p-1}(i,i') + 2(p-1) \left( I\hat{\sigma}_{j,i} \sigma_{j,i'} \right) R(i,i') C^{p-2}(i,i') \right] \right\}
\end{eqnarray*}

정리하면
\begin{eqnarray*}
\overline{Z} &=& \mathcal{N} \int \left(\prod_{i=0}^{n-1} dx_i \right) \left(\prod_{i=0}^{n-1} dk_i \right) \exp\left(\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=1}^N \left\{ -I\hat{\sigma}_{j,i} \left[ \sigma_{j,i+1}-\sigma_{j,i} + \mu_i \sigma_{j,i} \Delta t \right] - \frac{1}{2} \Delta t \hat{\sigma}_{j,i+1}^2 + \sum_{i'=0}^{n-1} \Delta t^2 \left[ \frac{p}{4} C^{p-1} I\hat{\sigma}_{j,i} I\hat{\sigma}_{j,i'} + \frac{p}{2} (p-1) R C^{p-2} I\hat{\sigma}_{j,i} \sigma_{j,i'} \right] \right\}
\right) 
\rho_0\\
&=& \mathcal{N} \int \left(\prod_{i=0}^{n-1} dx_i \right) \left(\prod_{i=0}^{n-1} dk_i \right) \exp\left(\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=1}^N \left\{ -I\hat{\sigma}_{j,i} \left[ \sigma_{j,i+1}-\sigma_{j,i} + \left( \mu_i \sigma_{j,i} - \sum_{i'=0}^{n-1} \Delta t \frac{p}{2} (p-1) R C^{p-2} \sigma_{j,i'} \right)  \Delta t \right] - \Delta t \left[ \frac{1}{2} \hat{\sigma}_{j,i+1}^2 + \sum_{i'=0}^{n-1} \Delta t \frac{p}{4} C^{p-1} \hat{\sigma}_{j,i} \hat{\sigma}_{j,i'}  \right] \right\}
\right) 
\rho_0.
\end{eqnarray*}
이에 해당하는 유효(effective) [[물리:랑주뱅_방정식|랑주뱅 방정식]]은 다음과 같은 꼴이 된다:
\begin{eqnarray*}
\partial_t \sigma(t) &=& -\mu(t) \sigma(t) + \frac{1}{2} p(p-1) \int^t dt' R(t,t') C^{p-2}(t,t') \sigma(t') + \xi(t) + \eta(t)\\
\langle \eta(t) \eta(t') \rangle &=& 2T \delta(t-t') + \frac{p}{2} C^{p-1} (t,t') \equiv D(t, t').
\end{eqnarray*}
여기에서 $\xi$는 외부로부터 오는 섭동을 손으로 써 넣은 것이고 $\eta$는 재규격화된 잡음이다.
이러한 풀이는 각각의 스핀들을 독립적으로 다루기 때문에 인덱스 $j$ 없이 일체(one-body) 문제로 다룰 수 있지만, 대신에 기억 효과(memory effect)와 잡음간의 상관관계를 도입한다.
또 이 식은 과냉각 액체의 모드 결합 이론(mode-coupling theory)에서 얻어내는 방정식과 같기 때문에 스핀 유리와 구조적 유리(structural glass) 사이에 깊은 연관 관계가 있음을 함축한다.
=====평균의 시간 변화=====
/*
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial R(t_1, t_2)}{\partial t_1} &=& \frac{\partial}{\partial t_1} \Bigl< \frac{\delta \sigma(t_1)}{\delta \xi(t_2)} \Bigr> = \Bigl< \frac{\delta \dot{\sigma}(t_1)}{\delta \xi(t_2)} \Bigr>\\
&=& -\mu(t_1) R(t_1, t_2) + \frac{1}{2} p(p-1) \int_{t_2}^{t_1} dt' R(t_1, t') C^{p-2}(t_1, t') R(t', t_2) + \Bigl< \frac{\partial \xi(t_1)}{\partial \xi(t_2)} \Bigr>\\
\end{eqnarray*}
*/
평균하여 $\langle \sigma(t) \rangle = M(t)$의 시간 변화를 적어보자:
\begin{eqnarray*}
\partial_t M(t) = -\mu(t) M(t) + \frac{1}{2} p(p-1) \int_{-\infty}^t dt' R(t,t') C^{p-2}(t,t') M(t') + \xi(t).
\end{eqnarray*}
스핀을 한번 곱한 다음 평균하여 상관함수의 시간 변화를 적어보면 아래와 같고
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial C(t_1, t_2)}{\partial t_1} &=& \frac{\partial}{\partial t_1} \Bigl< \sigma(t_1) \sigma(t_2) \Bigr> = \Bigl< \dot{\sigma}(t_1) \sigma(t_2) \Bigr>
= -\mu(t_1) C(t_1, t_2) + \frac{1}{2} p(p-1) \int_{-\infty}^{t_1} dt' R(t_1, t') C^{p-2}(t_1, t') C(t_2, t') + \xi(t_1) \Bigl< \sigma(t_2) \Bigr> + \Bigl< \eta(t_1) \sigma(t_2) \Bigr>
\end{eqnarray*}
여기에서 $\langle \ldots \rangle$은 잡음 $\eta$에 대한 평균이다. 우변의 마지막 항은 아래처럼 표현된다:
\begin{eqnarray*}
\Bigl< \eta(t_1) \sigma(t_2) \Bigr> &=& \int_{-\infty}^{t_2} dt' R(t_2,t') D(t_1,t')\\
&=& \int_{-\infty}^{t_2} dt' R(t_2,t') \left[ 2T\delta(t_1-t') + \frac{p}{2} C^{p-1} (t_1,t') \right]\\
&=& 2TR(t_2,t_1) + \frac{p}{2} \int_{-\infty}^{t_2} dt' R(t_2,t') C^{p-1} (t_1,t').
\end{eqnarray*}

====평형====
$\xi(t) = \xi$로 일정하게 두어 평형에 도달한 상태에서 $\mu(t) = \mu$과 $\langle \sigma(t) \rangle = M$으로서 각각이 시간에 의존하지 않는 상수라고 하자.
시간 병진 불변성(time translation invariance)이 있어서 $R(t_1,t_2) = R(t_1-t_2)$, 그리고 $C(t_1,t_2) = C(t_1-t_2) = C(t_2 - t_1)$이라고 하자.
일반성을 잃지 않고 $t_1\equiv t>0$와 $t_2\equiv 0$으로 놓자. 모든 시간에서 평형이기 때문에 $M$은 시간에 무관하지만 상관함수 $C(t)$와 반응함수 $R(t)$는 기준점 $t_2=0$로부터의 시간 차이 $t$에 의존한다.
당연히 $C(0)=1$이고 $\lim_{t\to\infty} C(t) =q$로 수렴한다고 가정할 것이다.
덧붙여 평형 상태에서는 [[물리:랑주뱅_방정식|요동-흩어지기 정리]]의 결과로서 다음 관계가 성립한다(Sethna):
$$\partial_t C(t) = -\beta^{-1} R(t).$$

평형상태에서 먼저 $M$에 대한 식은 아래와 같이 정리된다.
\begin{eqnarray*}
0 &=& -\mu M + \frac{1}{2}p(p-1) M\int_{-\infty}^t dt' R(t-t') C^{p-2}(t-t') + \xi\\
&=& -\mu M + \frac{1}{2}p(p-1)M\int_{-t}^{\infty} dt' R(t+t') C^{p-2}(t+t') + \xi\\
&=& -\mu M - \frac{p \beta}{2} M\int_{-t}^{\infty} dt' \partial_{t'} C^{p-1}(t+t') + \xi\\
&=& -\mu M + \frac{p \beta}{2} M \left[ C^{p-1}(0) - C^{p-1}(\infty) \right] + \xi\\
&=& -\mu M + \frac{p \beta}{2} M \left(1-q^{p-1}\right) + \xi\\
\end{eqnarray*}
$C(t)$에 대한 식은 아래와 같다:
\begin{eqnarray*}
\partial_t C(t) &=& -\mu C(t) + \frac{p}{2} (p-1) \int_{-\infty}^{t_1} dt' R(t- t') C^{p-2}(t- t') C(- t') + \frac{p}{2} \int_{-\infty}^{0} dt' R(-t') C^{p-1} (t-t') + \xi M + 2TR(-t).
\end{eqnarray*}
인과성에 의해 우변 마지막 항의 $R(-t)=0$이다.
$\int_{-\infty}^t$를 $\int_{-\infty}^0 + \int_0^t$로 쪼개어 표현하기 위해 아래의 식을 정의하자:
\begin{eqnarray*}
I(t) &\equiv& \int_{-\infty}^0 dt' \left[ (p-1) R(t-t') C^{p-2}(t-t') C(-t') + R(-t') C^{p-1}(t-t') \right]\\
&=& \int_0^{\infty} dt' \left[ (p-1) R(t+t') C^{p-2}(t+t') C(t') + R(t') C^{p-1}(t+t') \right]\\
&=& \int_0^{\infty} dt' \left[ -\beta \partial_{t'} C^{p-1}(t+t') \right] C(t') + \int_0^{\infty}dt' R(t') C^{p-1}(t+t')\\
&=& \beta \left[ -q^p + C^{p-1}(t) \right] + \int_0^{\infty} dt' \beta C^{p-1}(t+t') \partial_{t'} C(t') + \int_0^{\infty}dt' \left[ -\beta \partial_{t'} C(t') \right] C^{p-1}(t+t')\\
&=& \beta \left[C^{p-1}(t) - q^p \right].
\end{eqnarray*}
$\int_0^t$를 위해 아래 두 개의 항등식을 유도해놓자:
\begin{eqnarray*}
\beta^{-1} \int_0^t dt' (p-1) R(t-t') C^{p-2}(t-t') C(-t') &=& \int_0^t \left[ \frac{\partial}{\partial t'} C^{p-1} (t-t') \right] C(t')\\
&=& C^{p-1}(0) C(t) - C^{p-1}(t)C(0) - \int_0^t dt' C^{p-1}(t-t') \partial_{t'} C(t')\\
&=& C(t) - C^{p-1}(t) - \int_0^t dt' C^{p-1}(t-t') \partial_{t'} C(t')\\
\int_0^t dt' C^{p-1}(t) \partial_{t'} C(t') &=& C^{p-1}(t) \int_0^t dt' \partial_{t'} C(t') = C^{p-1}(t) \left[ C(t) - C(0) \right] = C^p(t) - C^{p-1}(t).
\end{eqnarray*}
이제 모아서 적어보면,
\begin{eqnarray*}
\partial_t C(t) + \mu C(t) &=& \frac{p \beta}{2} \left[ \beta^{-1} I(t) + C(t) - C^{p-1}(t) - \int_0^t dt' C^{p-1}(t-t') \partial_{t'} C(t') \right] + \xi M + 2TR(-t)\\
&=& \frac{p\beta}{2} \left\{ \beta^{-1} I(t) + C(t) - C^{p-1}(t) - \int_0^t dt' C^{p-1}(t-t') \partial_{t'} C(t') + \int_0^t dt' C^{p-1}(t) \partial_{t'} C(t') - \left[ C^p(t) - C^{p-1}(t) \right] \right\} + \xi M\\
&=& \frac{p\beta}{2} \left\{ \beta^{-1} I(t) + C(t) - C^p(t) - \int_0^t dt' \left[ C^{p-1}(t-t') - C^{p-1}(t) \right] \partial_{t'} C(t') \right\} + \xi M.
\end{eqnarray*}
===$t=0$에서 상관함수의 거동===
$t=0$에서 $C(t)$의 시간 변화를 고려하자.
$\left.\partial_t C(t) \right|_{t=0} = -\beta^{-1}$와 $I(t) - I(0) = \beta \left[ C^{p-1}(t) - C(0) \right]$를 활용하면,
$$-\beta^{-1}+\mu = \frac{p}{2} I(0) + \xi M = \frac{p\beta}{2} \left[ \beta^{-1} I(t) + 1 - C^{p-1}(t) \right] + \xi M.$$
$t=0$을 대입해 유도했을 뿐, 이 관계식 자체는 모든 $t$에서 성립하는 정확한 식이라는 데 유의한다.
이를 $\xi M$에 대해 정리한 다음 $C(t)$의 식에 대입하면
\begin{eqnarray*}
\partial_t C(t) + \mu C(t) &=& \frac{p\beta}{2} \left\{ \beta^{-1} I(t) + C(t) - C^p(t) - \int_0^t dt' \left[ C^{p-1}(t-t') - C^{p-1}(t) \right] \partial_{t'} C(t') \right\} -\beta^{-1} + \mu - \frac{p\beta}{2} \left[ \beta^{-1} I(t) + 1 - C^{p-1}(t) \right]\\
-\partial_t C(t) + \mu \left[ 1-C(t) \right] - \frac{p\beta}{2} \left[ 1-C(t) \right] \left[ 1 - C^{p-1}(t) \right]&=& \frac{p\beta}{2} \left\{ \int_0^t dt' \left[ C^{p-1}(t-t') - C^{p-1}(t) \right] \partial_{t'} C(t') \right\} +\beta^{-1}.
\end{eqnarray*}

===$t\to\infty$에서 상관함수의 거동===
이제 위의 식에서 $t\to\infty$일 때를 고려하는데, 가정상 $C(t) \to q$로 수렴하기 때문에 $\partial_t C(t) = 0$이다. 우변의 적분은 무시할 수 있는데,
$t'$이 작을 때에는 $C^{p-1}(t-t') \approx C^{p-1}(t)$이고 $t'$이 클 때에는 $\partial_{t'} C(t') \approx 0$일 것이기 때문이다. 따라서
\begin{eqnarray*}
&&\mu(1-q) - \frac{p\beta}{2} (1-q)\left(1-q^{p-1}\right) = \beta^{-1}\\
&&\mu = \frac{p\beta}{2} \left(1-q^{p-1}\right) + \frac{\beta^{-1}}{1-q}\\
\end{eqnarray*}
이 식을 사용하면 $\mu$를 소거할 수 있게 된다. 예를 들어 앞에서 $M$에 대한 식으로부터 얻었던 관계는 다음처럼 간단해진다:
\begin{eqnarray*}
\frac{\xi}{M} &=& \mu - \frac{p\beta}{2} \left( 1-q^{p-1} \right) = \frac{\beta^{-1}}{1-q}\\
M &=& \beta\xi (1-q).
\end{eqnarray*}

===종합===
마지막으로, 앞에서 구했던 $I(t) = \beta \left[C^{p-1}(t) - q^p \right]$를 "정확한" 관계식에 대입하면
\begin{eqnarray*}
-\beta^{-1} + \mu &=& \frac{p\beta}{2} \left(1-q^p \right) + \xi M\\
\xi M &=& -\beta^{-1} + \mu - \frac{p\beta}{2} \left(1-q^p \right)\\
\beta \xi^2 (1-q) &=& -\beta^{-1} + \left[ \frac{p\beta}{2} \left(1-q^{p-1}\right) + \frac{\beta^{-1}}{1-q} \right] - \frac{p\beta}{2} + \frac{p\beta}{2} q^p\\
&=& -\beta^{-1} + \frac{\beta^{-1}}{1-q} - \frac{p\beta}{2} q^{p-1} + \frac{p\beta}{2} q^p\\
&=& \beta^{-1}\frac{q}{1-q} - \frac{p\beta}{2} q^{p-1} (1-q)\\
\beta^2 \xi^2 &=& \frac{q}{(1-q)^2} - \frac{p\beta^2}{2} q^{p-1}.
\end{eqnarray*}
$\xi\to0$에서 이 식은 복제 대칭해에서 구한 결과와 일치한다.
=====동적 상전이=====
$\xi=M=0$에서 $q=0$이 해가 되므로 이 값들을 대입하고 정리하면
$$\partial_t C(t) = -\beta^{-1} C(t) - \frac{p\beta}{2} \int_0^t dt' C^{p-1}(t-t') \partial_{t'} C(t').$$
$0 < C(t) < 1$이고 $\partial_{t'} C(t') \le 0$이라고 가정하자. $0<t'<t$일 때에 $C(t) \le C(t-t')$이므로
\begin{eqnarray*}
0 \ge \partial_t C(t) &\ge& -\beta^{-1} C(t) - \frac{p\beta}{2} \int_0^t dt' C^{p-1}(t) \partial_{t'} C(t')\\
&=& -\beta^{-1} C(t) - \frac{p\beta}{2} C^{p-1}(t) \int_0^t dt' \partial_{t'} C(t')\\
&=& -\beta^{-1} C(t) - \frac{p\beta}{2} C^{p-1}(t) \left[ C(t) - 1 \right].
\end{eqnarray*}
따라서 다음과 같은 부등식을 얻는다:
$$g[C(t)] \equiv C^{p-2}(t) \left[ 1-C(t) \right] \le \frac{2}{p\beta^2}.$$
함수 $g(C)$는 $0<C<1$에서 최댓값을 가지는데, 그 위치는 아래와 같다:
$$C = q_d \equiv \frac{p-2}{p-1}.$$
$\beta$가 작을 때에는 $\beta^{-2}$이 충분히 크기 때문에 이 부등식을 만족하는 데 문제가 없지만, $\beta$가 커지면 부등식이 깨지게 된다.
구체적으로 $g(q_d) = 2/(p\beta_d^2)$일 때에, 즉
$$\beta_d = \sqrt{\frac{2(p-1)^{p-1}}{p(p-2)^{p-2}}}$$
일 때에 $0 \ge \partial_t C(t) \ge 0$로 $\partial_t C(t) = 0$이어야 한다는 결론을 얻기 때문에 상관함수는 시간이 지나도 줄어들지 않은 채 $0$이 아닌 값 $q_d$로 고정되며, 이는 계의 에르고드 성질(ergodicity)이 깨짐을 의미한다.
이러한 동적 상전이의 온도 $T_d \equiv 1/ \beta_d$는 앞의 정적 분석에서 얻었던 $T_s$보다 일반적으로 크다. 이는 동역학적 분석이 준안정(metastable) 상태들의 존재에도 영향을 받기 때문이다.
======TAP 방정식======

======함께 보기======
  * [[물리:포커-플랑크_방정식|포커-플랑크 방정식]]

======참고문헌======
  * Tommaso Castellani and Andrea Cavagna, //Spin-glass theory for pedestrians//, [[https://doi.org/10.1088/1742-5468/2005/05/P05012|J. Stat. Mech. (2005) P05012]].
  * A. Crisanti & H. -J. Sommers, //The spherical p-spin interaction spin glass model: the statics//, [[https://doi.org/10.1007/BF01309287|Z. Physik B - Condensed Matter 87, 341–354 (1992)]].
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  * James P. Sethna, //Statistical Mechanics: Entropy, Order Parameters, and Complexity//, 2nd ed. (Oxford University Press, Oxford, 2021).