물리:무작위_송이_모형 [statphys]

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======개요======
이징 모형, 팟츠 모형, 스미기 등 다양한 통계물리 모형들을 무작위로 자라난 송이(cluster)들의 조합으로 이해하는 표현법. 포르퇸-카스텔라인 표현(Fortuin-Kasteleyn representation)으로도 알려져 있다.

======이징 모형======
이징 모형의 분배함수는 다음처럼 정의된다:
$$Z \equiv \sum_{\{\sigma_i\}} \exp\left(\beta \sum_{\langle ij \rangle} \sigma_i \sigma_j \right).$$
이것을 $p=1-e^{-2\beta}$를 도입해 아래처럼 고쳐 적어보자:
$$Z = \sum_{\{\sigma_i\}} \prod_{\langle ij \rangle} e^\beta \left[ (1-p) + p \delta_{\sigma_i \sigma_j} \right].$$
이 표현에 따르면 서로 다른 스핀 배열(spin configuration)을 표현하는 각각의 항에서 $\sigma_i = \sigma_j$일 때에 $e^\beta$가, $\sigma_i \neq \sigma_j$일 때에 $e^{-\beta}$가 곱해지므로 분배함수의 정의와 일치한다.

이제 $i$와 $j$의 사이에 위치하며 0 또는 1의 값을 가질 수 있는 변수 $n_{ij}$를 생각하자.
\begin{equation*}
\sum_{n_{ij}=0}^1 e^\beta \left[ (1-p) \delta_{n_{ij},0} + p \delta_{\sigma_i \sigma_j} \delta_{n_{ij},1} \right] = e^\beta \left[ (1-p) + p \delta_{\sigma_i \sigma_j} \right]
\end{equation*}
이므로
$$Z = \sum_{\{\sigma_i\}} \prod_{\langle ij \rangle} \sum_{n_{ij}=0}^1 e^\beta \left[ (1-p) \delta_{n_{ij},0} + p \delta_{\sigma_i \sigma_j} \delta_{n_{ij},1} \right]$$
이다. 합의 곱을 곱의 합으로 바꾸는 기술을 사용해보자. 즉
$$(a_1 + a_2 + \ldots) (b_1 + b_2 + \ldots) = a_1 b_1 + a_1 b_2 + \ldots$$
이므로
$$\left(\sum_\mu a_\mu \right) \left( \sum_\nu b_\nu \right) = \sum_{\{\mu, \nu\}} a_\mu b_\nu$$
이고 여기에서 $\{\mu, \nu\}$란 $\mu$와 $\nu$의 모든 가능한 조합을 의미한다. 곱이 여러 개가 되더라도 쉽게 일반화할 수 있다:
\begin{eqnarray*}
\left(\sum_\lambda a_\lambda \right) \left( \sum_\mu b_\mu \right) \left( \sum_\nu c_\nu \right) = (a_1 + a_2 + \ldots) (b_1 + b_2 + \ldots) (c_1 + c_2 + \ldots) = a_1 b_1 c_1 + a_1 b_2 c_1 + \ldots = \sum_{\{\lambda, \mu, \nu\}} a_\lambda b_\mu c_\nu.
\end{eqnarray*}

그러면 분배함수를 아래처럼 쓸 수 있다.
$$Z = \sum_{\{\sigma_i\}} \sum_{\{n_{ij}\}} \prod_{\langle ij \rangle} e^\beta \left[ (1-p) \delta_{n_{ij},0} + p \delta_{\sigma_i \sigma_j} \delta_{n_{ij},1} \right].$$
이 표현에 따르면 $\sigma_i \neq \sigma_j$일 때에 $n_{ij}=0$인 항들만 살아남고, $\sigma_i = \sigma_j$일 때에는 $n_{ij}=1$인 항들이 확률 $p$의 가중치, $n_{ij}=0$인 항들이 확률 $1-p$의 가중치와 함께 살아남는다.

$n_{ij}=1$을 $i$와 $j$ 사이 연결이 이어진 것으로, $n_{ij}=0$을 연결이 끊어진 것으로 해석하자. 그러면 저 위쪽 처음의 분배함수 표현식 안에서 서로 다른 스핀 배열에 대응되던 각각의 항들은, $\sum_{\{n_{ij}\}}$가 표현하듯이 여기저기 이어지거나 끊긴 다양한 송이(cluster) 구조를 나타내는 항들로 다시 분해될 수 있다.
======참고문헌======
  *https://en.wikipedia.org/wiki/Random_cluster_model
  *https://online.kitp.ucsb.edu/online/sle06/janke/pdf/Janke_SLE_KITP.pdf
  *[[전산물리학:울프_군집_셈법_wolff_cluster_algorithm]]