물리:비관성계 [statphys]

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======개요======
회전 좌표계와 같은 비관성계에서 운동의 기술.

======회전 행렬======
$\vec{x}(t)$가 시간 $t$에서 강체 위 어느 점의 위치 벡터라고 하자. 시간에 의존하는 회전 행렬 $R(t)$를 통해 초기조건을 이 $\vec{x}(t)$에 연결지을 수 있다:
$$\vec{x}(t) = R(t) \vec{x}(0).$$
그 시간 변화를 보면
$$\dot{\vec{x}}(t) = \dot{R}(t) \vec{x}(0) = \dot{R}(t) R^\intercal(t) \vec{x}(t)$$
이며, 회전 행렬의 특성상
$$R(t) R^\intercal(t)=E$$
임을 이용했다. $E$는 단위행렬이다. 방금 쓴 식의 양변을 미분해보자:
$$\dot{R}(t) R^\intercal(t) + R(t) \dot{R}^\intercal(t) = 0.$$
따라서
$$\dot{\vec{x}}(t) = \dot{R}(t) R^\intercal(t) \vec{x}(t) = - R(t) \dot{R}^\intercal(t) \vec{x}(t) = -\left[\dot{R}(t) R^\intercal(t) \right]^\intercal \vec{x}(t)$$
이므로 이는 $\Omega(t) \equiv \dot{R}(t) R^\intercal(t)$가 반대칭(antisymmetric) 행렬임을 의미한다. 이 행렬을 성분으로 적어보자:
$$\Omega = \begin{pmatrix}
0 & -\omega_z & \omega_y\\
\omega_z & 0 & -\omega_x\\
-\omega_y & \omega_x & 0
\end{pmatrix}.$$
만일 $\vec{\omega} \equiv (\omega_x, \omega_y, \omega_z)^\intercal$로 정의한다면 $\dot{\vec{x}}(t) = \Omega(t) \vec{x}(t) = \vec{\omega}(t) \times \vec{x}(t)$임을 확인할 수 있으며, 여기에서 $\vec{\omega}(t)$가 사실 각속도 벡터에 대응된다는 사실도 알 수 있다.

======오일러 운동방정식======

=====좌표 변환=====

강체에 붙어있는 비관성 좌표계 $B$에서 표현한 벡터 $\vec{v}_B$를 관성계 $N$에서의 표현 $\vec{v}$으로 바꿔주는 회전 행렬 $R$를 생각하자:
$$\vec{v} = R \vec{v}_B.$$
양변을 미분하면 다음의 식을 얻는다.
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt} \vec{v} &=& R \frac{d}{dt} \vec{v}_B + \dot{R} \vec{v}_B\\
 &=& R \frac{d}{dt} \vec{v}_B + \dot{R} R^\intercal R \vec{v}_B\\
 &=& \left(\frac{d}{dt} \vec{v}_B \right)_N + \Omega \vec{v}\\
 &=& \left(\frac{d}{dt} \vec{v}_B \right)_N + \vec{\omega} \times \vec{v}.
\end{eqnarray*}

=====첫 번째 예=====
각속도 $\vec{\omega} = \omega \hat{k}$로 LP 디스크가 회전하고 있다고 하자.
그 위에서 벌레 한 마리가 음반 홈을 따라 음반이 회전하는 것과 같은 방향으로 움직이고 있는데, 회전축으로부터 거리 $\rho$만큼 떨어져 있으며, 음반에 대하여 일정 속력 $v_b$를 가지고 있다.
디스크를 따라 회전하는 비관성 좌표계에서 생각해보자.
벌레의 위치는
$$\vec{r}_B = \begin{pmatrix}
\rho \cos \left( v_b t / \rho \right)\\
\rho \sin \left( v_b t / \rho \right)\\
0
\end{pmatrix}$$
이고, 회전 행렬은 다음처럼 표현할 수 있다:
$$R = \begin{pmatrix}
\cos\omega t & -\sin \omega t & 0\\
\sin\omega t & \cos\omega t & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}.$$
관성 좌표계에서의 관찰자는 벌레의 위치를 아래처럼 관찰하고
$$\vec{r} = R \vec{r}_B = \begin{pmatrix}
\rho \cos \left( v_b t / \rho + \omega t\right)\\
\rho \sin \left( v_b t / \rho + \omega t\right)\\
0
\end{pmatrix}$$
이를 시간에 대해 미분하면
$$\frac{d\vec{r}}{dt} =
v_b \begin{pmatrix}
-\sin(v_b t/\rho + \omega t)\\
\cos(v_b t/\rho + \omega t)\\
0
\end{pmatrix}
+ \rho\omega
\begin{pmatrix}
-\sin(v_b t/\rho + \omega t)\\
\cos(v_b t/\rho + \omega t)\\
0
\end{pmatrix}
$$
로서, 우변의 첫 번째 항은 $R (d\vec{r}_B / dt) = \left( d\vec{r}_B / dt \right)_N$에, 두 번째 항은 $\vec{\omega}\times \vec{r}$에 해당한다.
첫 번째 항을 관성 좌표계 $N$으로 옮겨오기 전에는
$$\frac{d}{dt}\vec{r}_B =
v_b \begin{pmatrix}
-\sin(v_b t/\rho)\\
\cos(v_b t/\rho)\\
0
\end{pmatrix}$$
임에 유의하라.

=====비관성 좌표계로의 변환=====

$\vec{v}$의 자리에 각운동량 벡터 $\vec{L}$을 집어넣고, 앞의 식에서 양변에 $R^\intercal$를 곱하여 비관성 좌표계에서의 기술로 바꾸자.
\begin{eqnarray*}
R^\intercal \frac{d}{dt} \vec{L} = R^\intercal \vec{\tau} = \left( \vec{\tau} \right)_B &=& \frac{d}{dt} \vec{L}_B + R^\intercal \dot{R} \vec{L}_B\\
 &=& \frac{d}{dt} \vec{L}_B + R^\intercal \dot{R} R^\intercal R \vec{L}_B\\
 &=& \frac{d}{dt} \vec{L}_B + R^\intercal \Omega R \vec{L}_B\\
 &=& \frac{d}{dt} \vec{L}_B + \Omega_B \vec{L}_B\\
 &=& \frac{d}{dt} \vec{L}_B + \vec{\omega}_B \times \vec{L}_B.
\end{eqnarray*}
여기에서 행렬의 좌표 변환 $\Omega_B = R^\intercal \Omega R$을 사용했다. $\Omega_B$ 역시 반대칭 행렬임은 쉽게 보일 수 있다: $\Omega_B^\intercal = (R^\intercal \Omega R)^\intercal = R^\intercal \Omega^\intercal R = - R^\intercal \Omega R = -\Omega_B$. 따라서 적절한 벡터 $\vec{\omega}_B$를 도입하여 $\Omega_B \vec{L}_B = \vec{\omega}_B \times \vec{L}_B$로 고쳐 적었다. $\Omega = R \Omega_B R^\intercal$이므로 $\vec{\omega} = R \vec{\omega}_B$이어야 한다. 이는 오일러 각을 사용해 임의의 3차원 회전 행렬 $R$을 적은 다음 $R \Omega_B R^\intercal$의 성분과 $R \vec{\omega}_B$의 성분을 비교함으로써 바로 보일 수 있다. $\vec{\omega}_B = R^\intercal \vec{\omega}$가 __영벡터가 아님__에 유의하라. 강체와 함께 회전하고 있으면 강체가 정지한 듯이 보일 테니까 언제나 $\vec{\omega}_B=0$일 것이라고 생각하기 쉬운데, $\vec{\omega}_B$의 의미는 그것이 아니라 $\vec{\omega}$를 $R^\intercal$로 좌표 변환한 것에 불과하다.

비관성 좌표계 $B$가 물체의 주축 방향으로 정렬되어 있다면
$$I_B = R^\intercal I R = \begin{pmatrix}
I_{B1} & 0 & 0 \\
0 & I_{B2} & 0\\
0 & 0 & I_{B3}
\end{pmatrix}$$
로 대각화되며 시간에 대해 일정하다.
또 $\vec{v} = \vec{\omega}$를 대입하면 다음을 얻는다:
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt} \vec{\omega} &=& R \frac{d}{dt} \vec{\omega}_B + \vec{\omega} \times \vec{\omega} = R \frac{d}{dt} \vec{\omega}_B\\
\frac{d}{dt} \vec{\omega}_B &=& R^\intercal \frac{d}{dt} \vec{\omega}.
\end{eqnarray*}
이 양 역시 일반적으로 영이 아니다.  따라서 $\vec{L}_B = I_B \vec{\omega}_B = (I_{B1} \omega_{B1}, I_{B2} \omega_{B2}, I_{B3} \omega_{B3})^\intercal$이고 그 시간 변화는 다음처럼 쓸 수 있다:
$$\frac{d}{dt} \vec{L}_B = I_B \frac{d}{dt} \vec{\omega}_B.$$

정리해서 적어보면 이렇다:
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}
\left(R^\intercal \vec{\tau}\right)_1\\
\left(R^\intercal \vec{\tau}\right)_2\\
\left(R^\intercal \vec{\tau}\right)_3
\end{pmatrix}
&=& \begin{pmatrix}
I_{B1} & 0 & 0 \\
0 & I_{B2} & 0\\
0 & 0 & I_{B3}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{d}{dt} \omega_{B1} \\
\frac{d}{dt} \omega_{B2} \\
\frac{d}{dt} \omega_{B3}
\end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
\omega_{B1} \\
\omega_{B2} \\
\omega_{B3}
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
I_{B1} \omega_{B1} \\
I_{B2} \omega_{B2} \\
I_{B3} \omega_{B3}
\end{pmatrix}\\
&=& \begin{pmatrix}
I_{B1} \frac{d}{dt} \omega_{B1} - (I_{B2} - I_{B3}) \omega_{B2} \omega_{B3}\\
I_{B2} \frac{d}{dt} \omega_{B2} - (I_{B3} - I_{B1}) \omega_{B3} \omega_{B1}\\
I_{B3} \frac{d}{dt} \omega_{B3} - (I_{B1} - I_{B2}) \omega_{B1} \omega_{B2}
\end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}
이것이 오일러 운동방정식이다.

=====두 번째 예=====
{{ :물리:dumbbell.png?300 |}}

그림처럼 길이 $a$인 가벼운 막대기 2개에 의해 질량 $m$인 물체가 연결된 형태의 아령을 생각하자. 이 아령이 $z$축 방향으로 고정된 축을 중심으로 회전하고 있어서, 각속도 벡터는 $\vec{\omega} = \omega \hat{k}$로 주어진다. 아령은 축으로부터 각도 $\theta$만큼 기울어진 상태이며, $t=0$인 현재 $yz$ 평면 안에 위치한다.

이 순간의 관성 모멘트 텐서를 구해보면 $m_1=m_2=m$이고 $\vec{r}_1(t=0) = (x_{11}, x_{12}, x_{13}) = (0, a \sin\theta, -a\cos\theta)$, 그리고 $\vec{r}_2(t=0) = (x_{21}, x_{22}, x_{23}) = (0, -a\sin\theta, a\cos\theta)$이므로 아래와 같다:
\begin{eqnarray*}
I(t=0) &=& \begin{pmatrix}
\sum_\alpha m_\alpha (x_{\alpha 2}^2 + x_{\alpha 3}^2) & -\sum_\alpha m_\alpha x_{\alpha 1} x_{\alpha 2} & -\sum_\alpha m_\alpha x_{\alpha 1} x_{\alpha 3} \\
-\sum_\alpha m_\alpha x_{\alpha 1} x_{\alpha 2} & \sum_\alpha m_\alpha (x_{\alpha 3}^2 + x_{\alpha 1}^2) & -\sum_\alpha m_\alpha x_{\alpha 2} x_{\alpha 3} \\
-\sum_\alpha m_\alpha x_{\alpha 1} x_{\alpha 3} & -\sum_\alpha m_\alpha x_{\alpha 2} x_{\alpha 3} & \sum_\alpha m_\alpha (x_{\alpha 1}^2 + x_{\alpha 2}^2) 
\end{pmatrix}\\
&=& \begin{pmatrix}
m(x_{12}^2 + x_{13}^2) + m(x_{22}^2 + x_{23}^2) & -mx_{11} x_{12}-mx_{21} x_{22} & -mx_{11} x_{13} - mx_{21}x_{23}\\
-mx_{11} x_{12} - mx_{21}x_{22} & m(x_{13}^2+x_{11}^2) + m(x_{23}^2+x_{21}^2) & -mx_{12}x_{13} - mx_{22}x_{23}\\
-mx_{11} x_{13} - mx_{21}x_{23} & -mx_{12}x_{13} - mx_{22}x_{23} & m(x_{11}^2+x_{12}^2) + m(x_{21}^2+x_{22}^2)
\end{pmatrix}\\
&=& \begin{pmatrix}
2ma^2 & 0 & 0\\
0 & 2ma^2\cos^2\theta & 2ma^2 \sin\theta \cos\theta\\
0 & 2ma^2\sin\theta\cos\theta & 2ma^2\sin^2\theta
\end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}

각운동량 벡터를 구해보자. $\vec{\omega} = (0,0,\omega)^\intercal$이므로
$$\vec{L}(t=0) = I(t=0) \vec{\omega} = \begin{pmatrix}
0 \\
2ma^2 \omega \sin\theta \cos\theta\\
2ma^2 \omega \sin\theta
\end{pmatrix}$$
처럼 구하거나, 혹은 두 질량의 현재 운동량이 $\vec{p}_1(t=0) = (-ma\omega \sin\theta, 0, 0)^\intercal$과 $\vec{p}_2(t=0) = (ma\omega \sin\theta, 0, 0)^\intercal$임을 이용해서 다음처럼 구한다:
\begin{eqnarray*}
\vec{L}(t=0) &=& \sum_i \vec{r}_i(t=0) \times \vec{p}_i(t=0) = \vec{r}_1(t=0) \times \vec{p}_1(t=0) + \vec{r}_2(t=0) \times \vec{p}_2(t=0)\\
&=& \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
0 & a\sin \theta & -a\cos\theta \\
-ma\omega \sin\theta & 0 & 0
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
0 & -a\sin \theta & a\cos\theta \\
ma\omega \sin\theta & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \begin{pmatrix}
0 \\
2ma^2\omega \cos\theta \sin\theta\\
2ma^2 \omega\sin^2\theta
\end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}

회전행렬을 적어보면
$$R(t) = \begin{pmatrix}
\cos\omega t & -\sin\omega t & 0\\
\sin \omega t & \cos\omega t & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$$
이므로 임의의 시간 $t$에서는
$$\vec{L}(t) = R(t) \vec{L}(t=0) = \begin{pmatrix}
-2ma^2 \omega \cos\theta \sin\theta \sin\omega t\\
2ma^2 \omega \cos\theta \sin\theta \cos\omega t\\
2ma^2 \omega \sin^2 \theta
\end{pmatrix}$$
일 것이다. 이 운동을 유지하는 데 필요한 돌림힘은 따라서
$$\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt} = \begin{pmatrix}
-2ma^2 \omega^2 \cos\theta \sin\theta \cos\omega t\\
-2ma^2 \omega^2 \cos\theta \sin\theta \sin\omega t\\
0
\end{pmatrix}$$
이며, $\theta=0$이나 $\pi/2$에서는 영벡터가 되는데 이는 직관과 잘 부합한다.

여기에서 $\vec{\omega}$가 일정하게 유지되고 있으므로 $d\vec{\omega}_B / dt = R^\intercal d\vec{\omega} /dt = 0$이다. $I_B = I(t=0)$가 대각행렬은 아니지만 시간변화가 없다는 성질은 유지되므로 $d\vec{L}_B/dt = I_B (d\vec{\omega}_B/dt) = 0$이다. 따라서 저 위에서 일반적인 벡터 $\vec{v}$에 대해 적었던 식을 다음처럼 고쳐 쓸 수 있다:
$$\frac{d\vec{L}}{dt} = \left(\frac{d}{dt} \vec{L}_B \right)_N + \vec{\omega} \times \vec{L} = \vec{\omega} \times \vec{L}.$$
이는 $\vec{\tau} = \vec{\omega} \times \vec{L}$임을 의미하고 실제로 우리가 방금 구했던 결과와 일치한다.
=====테니스 라켓 정리=====
중간축 정리(intermediate-axis thorem) 또는 자니베코프 효과(Dzhanibekov effect)라고도 불린다. 돌림힘이 작용하지 않는 경우 오일러 운동방정식에서 $\vec{\tau}=0$이어서 좌변이 0이 되고 $\vec{\omega}_B$에 대한 운동방정식을 다음처럼 얻는다:
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt} \omega_{B1} &=& \left(\frac{I_{B2} - I_{B3}}{I_{B1}} \right) \omega_{B2} \omega_{B3}\\
\frac{d}{dt} \omega_{B2} &=& \left(\frac{I_{B3} - I_{B1}}{I_{B2}} \right) \omega_{B3} \omega_{B1}\\
\frac{d}{dt} \omega_{B3} &=& \left(\frac{I_{B1} - I_{B2}}{I_{B3}} \right) \omega_{B1} \omega_{B2}.
\end{eqnarray*}
$I_{B1} = 2$, $I_{B2} = 3$, 그리고 $I_{B3}=5$로 하여 이 방정식을 RK4로 수치적분한 결과가 아래 그림과 같다. 시간 계단의 크기를 적응형(adaptive step size)으로 구현했으며, 수직 점선들이 매 순간 시간 계단의 크기를 나타내고 있다. 시간 $t=0$의 시점에 관성계에서 각속도 벡터는 $\vec{\omega}(t=0) = \hat{y}$이며, 물체가 약간 기울어 있어서 $B$ 좌표계에서 보았을 때에는 $\vec{\omega}_B (t=0) \approx (0.01, 0.99995, 0)^\intercal$로 시작한다고 가정했다. 아래 그림에서 $\omega_{B2}$가 부호를 바꾸는 것은, 관성계에서 보면 물체의 방향이 뒤집혀도 (예를 들어 T 드라이버가 ㅗ에서 ㅜ로 뒤집혀도) 반시계방향으로 돌던 물체는 여전히 반시계방향으로, 시계방향으로 돌던 물체는 여전히 시계방향으로 돈다는 뜻이다.
{{ :물리:tennis_body_frame.png?500 |}}
회전행렬 $R(t)$가 존재해서 $\vec{\omega}(t) = R(t) \vec{\omega}_B(t)$이며, 각운동량 $\vec{L} = I(t) \vec{\omega}(t) = R(t) I_B \vec{\omega}_B(t)$가 보존량이다.
따라서 위에서 계산된 $\vec{\omega}_B(t)$를 통해 $\vec{L}_B = I_B \vec{\omega}_B(t)$를 구한 다음, $\vec{L}_B$를 $t=0$에서의 $\vec{L}$로 회전시키는 행렬 $R(t)$를 구한다. 이를 통해 관성계에서 본 각속도 벡터 $\vec{\omega}(t) = R(t) \vec{\omega}_B(t)$를 구하면 아래 그림처럼 얻어진다. $\omega_{I1}$이 보여주듯이 일정한 방향으로 주기적으로 뒤집힌다.
{{ :물리:tennis_inertial_frame.png?500 |}}
영화 Gravity(2013)에서 스톤 박사가 우주로 튕겨나갔을 때 중간축을 중심으로 안정되게 회전하는 묘사는 테니스 라켓 정리를 위배하는 것으로 보인다.

======코리올리 효과======

원점 $O$에서 정의된 $xyz$ 좌표계와 원점 $O'$에서 정의된 $x'y'z'$ 좌표계를 고려하자.
$x'y'z'$ 좌표계는 $xyz$ 좌표계를 병진 이동하고 회전시켜서 얻어진다.
이때 $O$로부터 $O'$로 향하는 벡터를 $xyz$ 좌표계에서 표현한 것을 $\vec{X}_0$라고 하자.
또한 원점을 이동한 후 $x'y'z'$에서의 표현을 $xyz$의 표현으로 변환해주는 회전 행렬을 $R$라고 하자.

시간 $t$에서 어떤 점 $P$의 위치를 $xyz$ 좌표계에서 표현한 것을 $\vec{X}$, 마찬가지의 양을 $x'y'z'$ 좌표계에서 표현한 것을 $\vec{X}'$라고 하자.

$O'$에서 $P$로 향하는 벡터를 $xyz$ 좌표계에서 표현한 것을 $\vec{\xi}$, 그리고 $x'y'z'$ 좌표계에서 표현한 것을 $\vec{\xi}'$라고 하면 다음과 같다:
$$\vec{X} = \vec{X}_0 + \vec{\xi} = \vec{X}_0 + R \vec{\xi}'.$$
이것을 시간에 대해 미분하면 다음의 식을 얻는다.
\begin{eqnarray*}
\dot{\vec{X}} &=& \dot{\vec{X}}_0 + \dot{R} \vec{\xi}' + R \frac{d}{dt} \left(\vec{\xi}' \right)\\
&=& \dot{\vec{X}}_0 + \dot{R} R^\intercal \vec{\xi} + R \frac{d}{dt} \left(\vec{\xi}' \right)\\
&=& \dot{\vec{X}}_0 + \vec{\omega} \times \vec{\xi} + R \frac{d}{dt} \left(\vec{\xi}' \right).
\end{eqnarray*}
마지막 항을 $\vec{V}$라고 부르자. 이것은 $x'y'z'$ 좌표계의 원점 $O'$에 대한 속도를 $xyz$ 좌표계로 변환하여 표현한 것이다.
$\dot{\vec{X}}_0=0$인 상황에서 $xyz$를 관성 좌표계로, $x'y'z'$ 를 회전 좌표계로 놓고
$$\left[ \frac{d\vec{r}}{dt} \right]_\text{inertial} = \left[ \frac{d\vec{r}}{dt} \right]_\text{rot} + \omega \times \vec{r}$$
로 쓸 때가 많은데, 우리 표기법에서는 $\vec{V}$가 $\left[ \frac{d\vec{r}}{dt} \right]_\text{rot}$에 해당한다.

한번 더 미분하자:
\begin{eqnarray*}
\vec{F}/m = \ddot{\vec{X}} &=& \ddot{\vec{X}}_0 + \ddot{R} \vec{\xi}' + \dot{R} \frac{d}{dt} \left( \vec{\xi}' \right) + \dot{R} \frac{d}{dt} \left(\vec{\xi}' \right) + R \frac{d^2}{dt^2} \left(\vec{\xi}' \right)\\
 &=& \ddot{\vec{X}}_0 + \ddot{R} R^\intercal \vec{\xi}  + 2\dot{R} \frac{d}{dt} \left( \vec{\xi}' \right) + R \frac{d^2}{dt^2} \left(\vec{\xi}' \right)\\
 &=& \ddot{\vec{X}}_0 + \ddot{R} R^\intercal \vec{\xi}  + 2\dot{R} R^\intercal R \frac{d}{dt} \left( \vec{\xi}' \right) + R \frac{d^2}{dt^2} \left(\vec{\xi}' \right)\\
 &=& \ddot{\vec{X}}_0 + \ddot{R} R^\intercal \vec{\xi}  + 2\dot{R} R^\intercal \vec{V} + R \frac{d^2}{dt^2} \left(\vec{\xi}' \right).
\end{eqnarray*}

위에서 $\Omega = \dot{R} R^\intercal$로 정의했으므로 $\dot{R} = \Omega R$이고 이 양변을 미분하면
$$\ddot{R} = \dot{\Omega} R + \Omega \dot{R},$$
그 다음 양변에 $R^\intercal$를 곱하면 다음과 같다:
$$\ddot{R} R^\intercal = \dot{\Omega} + \Omega \dot{R} R^\intercal = \dot{\Omega} + \Omega^2.$$

결국 다음처럼 쓸 수 있다:
$$\vec{F}/m = \ddot{\vec{X}}_0 + \dot{\vec{\omega}} \times \vec{\xi} + \vec{\omega} \times \left[ \vec{\omega} \times \vec{\xi} \right] + 2 \vec{\omega} \times \vec{V} + R \frac{d^2}{dt^2} \left(\vec{\xi}' \right).$$
이 중에서 $\vec{\omega} \times \left[ \vec{\omega} \times \vec{\xi} \right]$는 원심가속도를 기술하고, $2 \vec{\omega} \times \vec{V}$가 코리올리 효과를 기술한다.

======참고문헌======
  *https://physics.stackexchange.com/questions/88398/why-is-body-frame-angular-velocity-nonzero
  *https://physics.stackexchange.com/questions/595241/the-time-derivatives-of-vectors-in-rotating-frames
  *https://physics.stackexchange.com/questions/515944/confusions-about-frames-of-reference-when-deriving-eulers-equation-of-rotationa
  *https://physics.stackexchange.com/questions/67053/velocity-in-a-turning-reference-frame
  *https://physics.stackexchange.com/questions/73961/angular-velocity-expressed-via-euler-angles
  *https://math.stackexchange.com/questions/2754627/rotation-matrices-between-two-points-on-a-sphere
  *https://youtu.be/1x5UiwEEvpQ?si=Av8M8mm0LMIRw9Ja
  *https://youtu.be/i5KYT26uE5U?si=5prE9Q0oSzgJm8_j