물리:페르마의_원리 [statphys]

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======개요======

======얇은 렌즈의 공식======
굴절률 $n$인 유리로 만든 얇은 볼록 렌즈가 공기 중에 있다고 하자.
물체와 렌즈 중심까지의 거리가 $p$, 렌즈 중심에서 상까지의 거리가 $q$라고 하고, 물체 쪽에서 본 굴절 구면의 곡률 반지름이 $r_1$, 오목 구면의 곡률 반지름이 $r_2$라고 하자. 관행적으로 $r_2$를 음수로 놓지만, 여기에서는 계산의 편의를 위해 양수로 둔다.
렌즈의 반지름이 $Y$이라고 하자. 이 경우 렌즈 중심에서 거리 $y$만큼 떨어진 지점으로 진행한 후 렌즈를 통과하고 다시 상의 위치로 진행하는 빛의 여행 시간 $t$를 계산해보자. 진공 중 빛의 속력을 $c$로 적어보면 그 계산 결과는
\begin{eqnarray*}
ct &=& \sqrt{(p-d_1)^2+y^2} + n (d_1 + d_2) + \sqrt{(q-d_2)^2+y^2}
\end{eqnarray*}
이며, 이때
\begin{eqnarray*}
d_1 &\equiv& r_1 \left( \sqrt{1-\frac{y^2}{r_1^2}} - \sqrt{1-\frac{Y^2}{r_1^2}} \right)\\
d_2 &\equiv& r_2 \left( \sqrt{1-\frac{y^2}{r_2^2}} - \sqrt{1-\frac{Y^2}{r_2^2}} \right)
\end{eqnarray*}
이다. 
렌즈 중심을 지나는 축 주변의 경로들을 기술하기 위해 $y$를 다른 길이들보다 매우 작다고 놓고 위 $ct$의 식을 $y$에 대해 전개한 다음, 0차 다음으로 살아남는 가장 낮은 차수인 $y^2$의 계수가 0이 되게끔 만들자. 이때 렌즈의 반지름 $Y$도 $p$, $q$, $r_1$, 그리고 $r_2$에 비하면 매우 작다고 본다.
그 결과는
\begin{equation}
\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = (n-1) \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right)
\end{equation}
로서, 얇은 렌즈의 방정식이다.

======참고문헌======
  * R. P. Feynman, //QED: The Strange Theory of Light and Matter// (Priceton University Press, 1985, Princeton, NJ)