물리:tap_방정식 [statphys]

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======TAP 방정식======
복제본 트릭 없이 스핀 유리의 성질을 이해하기 위해 사울레스, 앤더슨, 그리고 팔머가 개발한 이론 틀.

====== 셰링턴-커크패트릭 모형 ======

[[물리:셰링턴-커크패트릭 모형|셰링턴-커크패트릭 모형]]에 대해서 [[신경망:공동_방법|공동 방법(cavity method)]]으로 유도할 수 있다.

기본적인 아이디어는, $N$개의 스핀(spin)으로 이루어진 계에서 $N+1$개의 스핀으로 이루어진 계로 변화 시키면서도
그러한 두 계에서 얻는 관측 가능량(observables)이 열역학적 극한에서 차이가 없어야 한다는 점을 이용하는 것이다.

===== 유도 과정 =====
==== 국소장 ====

관측 가능량 중 하나로서 '국소적 자화량(local magnetization)'을 $m_0 = \langle S_0 \rangle$라고 표기한다면, 이는 한 곳에 대한 열적 평균(thermal average)을 내린 값이다. 이때, 원래 $N$개의 스핀으로 이루어진 계에 $S_0$를 추가하는 상황을 생각해보자. ($S_0$는 위치 $0$에 추가된 스핀을 의미하는 관습적인 표기법이다.)

$S_0$를 추가함에 따라 $N+1$개의 스핀들로 이루어진 계로 변화하였다. 추가된 스핀의 국소적 자화량은 $m_0=\langle S_0 \rangle$이다. 이번 글에서의 최종 목표는, 이러한 국소적 자화량이 TAP 방정식을 만족함을 보이는 것이다. 이어지는 논의에서는 편의상 외부 자기장은 없다고 가정하여 $h_i=0$이라고 하자.

국소적 자화량에 대한 평균인 $\langle S_0 \rangle$을 얻기 위해서는, 국소적 스핀에 대한 분포함수 $P(S_0)$를 얻으면 되는데
이를 구하기 위해서는 아래의 국소장을 먼저 고려해야 한다:

$$ \tilde{h}_0 = \sum_{j} J_{0j}S_j. $$

스핀 $S_0$가 추가되므로 그의 이웃인 스핀 $S_j$들의 상호작용을 고려해야 한다.
$S_0$와 $\tilde{h}_0 $의 결합 분포 $P(S_0,\tilde{h}_0)$를 구한 후에, 그를 통해 $S_0$와 $\tilde{h}_0$의 열적 평균 값을 구하면 될 것이다.
$S_0$에 의해 스핀 $N$개에서 $N+1$개로 변한다면, 에너지 $E^{(N)}$에서 $E^{(N+1)}$로 다음과 같이 변한다:

\begin{eqnarray*}
S_0 = 1, &~~& E^{(N+1)}=E^{(N)}-\beta \tilde{h}_0 \\
S_0 = -1, &~~& E^{(N+1)}=E^{(N)}+\beta \tilde{h}_0.
\end{eqnarray*}

즉 우리가 구하고자 하는 $P(S_0,\tilde{h}_0)$는 다음과 같이 표현될 것이다:

$$ P(S_0,\tilde{h}_0) \propto  \ e^{\beta \tilde{h}_0 S_0} P(\tilde{h}_0 ＼S_0).$$

여기에서 $P(\tilde{h}_0＼S_0)$는 $S_0$가 식에 포함되지 않은 확률 분포를 말한다. 더 자세하게 표현하자면, $P(\tilde{h}_0＼S_0)$는 ($S_0$가 없을 때) $\tilde{h}_0$에 대한 확률 분포의 식이며, $e^{\beta \tilde{h}_0 S_0}$은 $N+1$의 계를 기술하기 위해 $P(\tilde{h}_0＼S_0)$에 포함되었다.

이제 $ P(\tilde{h}_0 ＼S_0)$의 식을 나타낼 수 있다면, 공동 방법의 기본적인 아이디어를 통해서 TAP 방정식을 얻는 것이 가능하다.

==== 추가 스핀이 없을 때 국소장의 분포 ====

만약 격자 구조가 아래와 같은 베테 격자 구조라면, $P(\tilde{h}_0 ＼ S_0)$에 대해 중심 극한 정리를 적용할 수 있다. 왜냐하면 위치 $0$의 $S_0$에 연결된 각각의 이웃 위치 $j$에 대한 $J_{0j}S_j$는 '$S_0$의 정보가 제외된다면' 서로 독립적이기 때문이다. 

{{:물리:tap_bethe_edited.png?300|}}

(위의 베테 격자 그림에서 $S_0$를 감싸는 공동(cavity)을 생각하고 $S_0$가 없는 상황을 떠올리면 보다 이해하기 쉽다. 그 상황에서 스핀의 개수는 $N$개 이다.)

이때 서로 다른 위치에 대한 상관관계가 약한 [[물리:셰링턴-커크패트릭_모형|셰링턴-커크패트릭 모형]]에 대해서도 이러한 가정을 도입할 수 있다고 하자.
즉, 독립적이고 동일하게 분포된(independent and identically distributed) $J_{0j}S_j$에 대해서, $S_0$가 식에 포함되지 않는 $\tilde{h}_0$의 분포는 ($N$이 증가함에 따라) 정규 분포를 따를 것이다. 즉 다음과 같은 형태로 표현 가능하다:

$$ P(\tilde{h}_0 ＼ S_0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}} \exp \left[ -\frac{(\tilde{h}_0 - \langle \tilde{h}_0\rangle _{＼0})^2}{2V_0}\right].$$

위의 식에서 $V_0$는 국소장의 분산이다. 분산 $V_0$를 식으로 표현하면 아래와 같다.

$$ 
\begin{align}

V_0 &= \langle (\tilde{h}_0)^2\rangle - \langle 
\tilde{h}_0 \rangle ^2
\\
&=\sum_{j,k}J_{0j}J_{0k}(\langle S_jS_k\rangle_{＼0} \ \ - \ \langle S_j\rangle_{＼0} \langle S_k\rangle_{＼0}  ).
\end{align}$$

이때 결합 상수의 분포함수에 주목하자:

$$ P(J_{ij}) = \frac{1}{J}\sqrt{\frac{N}{2\pi}} \exp\left\{ - \frac{N}{2J^2}\left( J_{ij} - \frac{J_0}{N} \right)^2 \right\} .$$ 

위의 식으로부터 $J_{0j}$의 기댓값은 $J_0/N$이며 분산은 $J^2/N$임을 알 수 있다.

또한 $V_0$를 계산할 때, $N(N-1)$개의 서로 상관관계가 없고 무작위적으로 부호를 갖는 $j\ne k$의 항들의 합은 열역학적 극한인 $N \to \infty$에서 $0$이 된다.

따라서 $N \to \infty$인 경우에는 $V_0=\sum_{j,k}J_{0j}J_{0k}(\langle S_jS_k\rangle_{＼0} \ \ - \ \langle S_j\rangle_{＼0} \langle S_k\rangle_{＼0}  )$의 식에서 $j=k$인 경우만이 살아남는다는 것을 알 수 있다. 그 결과는 다음과 같이 표현된다:

$$ V_0 \approx \sum_j J_{0j}^2(1-\langle S_j \rangle^2 _{＼0} \approx \sum_j J_{0j}^2(1-\langle S_j \rangle^2 = \sum_j J_{0j}^2 (1-m_j ^2). $$

이와 같이 국소장의 분산 $V_0$을 얻었으므로 $ P(S_0) \propto \int d \tilde{h}_0 \ e^{\beta \tilde{h}_0 S_0} P(\tilde{h}_0 ＼S_0)$의 관계를 이용하여 $m_0$를 구하면 된다.

==== 추가된 스핀의 기댓값 ====

위에서 설명한 식에 따라서 $P(S_0)$는 다음과 같이 간단한 [[수학:윅의_정리|가우스 적분]]으로 표현된다:
/*
$$
\begin{align}
P(S_0) & \propto \int d \tilde{h}_0 \ \exp[{\beta \tilde{h}_0 S_0}] P(\tilde{h}_0 ＼S_0) \\
& = \int d\tilde{h}_0 \frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}} \exp[{\beta \tilde{h}_0 S_0}] \exp \left[ -\frac{(\tilde{h}_0 - \langle \tilde{h}_0\rangle _{＼0})^2}{2V_0}\right]\\
& = \frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}} \int  d\tilde{h}_0 \exp\left[-\frac{(\tilde{h}_0 - \langle \tilde{h}_0\rangle _{＼0})^2}{2V_0} +\beta \tilde{h}_0 S_0 \right] \\

&= \frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}} \int  d\tilde{h}_0 \exp\Biggl[ -\frac{1}{2V_0}\left(\tilde{h}_0^2 -2\tilde{h}_0\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0} +\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}^2 -2V_0\beta S_0 \tilde{h}_0 \right) \Biggr]\\

&=\frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}} \int  d\tilde{h}_0 \exp\Biggl[ -\frac{1}{2V_0}\Bigl(\tilde{h}_0^2 -2\tilde{h}_0(\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0)  \\
&\qquad \qquad +(\tilde{h}_0\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0) ^2-(\tilde{h}_0\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0) ^2 +\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}^2 \Bigr) \Biggr]\\

&=\frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}} \int  d\tilde{h}_0 \exp\Biggl[ -\frac{1}{2V_0}\Bigl( \tilde{h}_0 -(\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0)\Bigr)^2\Biggr]\\
&\qquad \qquad \qquad × \exp\Biggl[-\frac{1}{2V_0}\Bigl(-( \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0) ^2 +\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}^2 \Bigr)\Biggr]\\

&=\frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}}\exp\Biggl[-\frac{1}{2V_0}\Bigl(-( \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0) ^2 +\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}^2 \Bigr)\Biggr] \sqrt{2\pi V_0}) \\

&=\exp\Biggl[-\frac{1}{2V_0}\Bigl(-( \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0) ^2 +\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}^2 \Bigr)\Biggr] \\

&=\exp\Biggl[ \frac{1}{2V_0}\Bigl( 2 \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}V_0\beta S_0  +(V_0\beta S_0)^2  \Bigr)\Biggr] \\

&=\exp\left[\frac{1}{2V_0}(V_0\beta)^2 \right]\exp\Bigl[    \beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0} S_0\Bigr] 
\end{align}$$
*/

\begin{eqnarray*}
P(S_0) &\propto& \int d \tilde{h}_0 \ e^{\beta \tilde{h}_0 S_0} P(\tilde{h}_0 ＼S_0) \\
&=& \int d\tilde{h}_0 \frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}} e^{\beta \tilde{h}_0 S_0} \exp \left[ -\frac{(\tilde{h}_0 - \langle \tilde{h}_0\rangle _{＼0})^2}{2V_0}\right]\\
&=& \exp\left[\frac{1}{2V_0}(V_0\beta)^2 \right]\exp\Bigl[    \beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0} S_0\Bigr].
\end{eqnarray*}
중간에 $S_0^2=1$을 활용했다.
이제 $P(S_0)$가 $\exp\Bigl[    \beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0} S_0\Bigr] $에 비례한다는 것을 알았으므로, 아래와 같이 $m_0$룰 계산하자.

$$
\begin{align}

m_0 &= \sum_{S_0=\pm 1} \frac{1}{[\exp[\beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0} \ + \exp[-\beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}]]} S_0\exp\bigl[ \beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0} S_0\bigr] \\
&=\tanh[\beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}]
\end{align}
$$

여기에서 $\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}$라고 함은 스핀 $N$개에 대한 $\tilde{h}_0$의 평균값이다.
그러므로 $\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}$의 식을, 스핀 $N+1$개에 대한 $\langle \tilde{h_0}\rangle$에 대해서 얻으면 $m_0$를 온전히 표현할 수 있다.

$\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}$이 아닌 $\langle \tilde{h_0}\rangle$ 로서 '$S_0$를 제외 시키지 않은' 경우의 $\tilde{h}_0$의 기대값은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$ \langle \tilde{h}_0 \rangle =
\text{Tr}_{S_0} \int d\tilde{h}_0 \tilde{h}_0 P(S_0,\tilde{h}_0) $$

앞서 살펴본 대로 $P(S_0,\tilde{h}_0) \propto e^{\beta\tilde{h}_0 S_0}P(\tilde{h}_0 ＼ S_0)$를 이용하면 
또 한번의 [[수학:윅의_정리|가우스 적분]]에 의해서 $\langle \tilde{h_0}\rangle$와 $\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}$에 대한 관계식을 얻는다.
/*
$$
\begin{align}
\langle \tilde{h}_0 \rangle &\propto \frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}} \ \text{Tr}_{S_0} \int d\tilde{h}_0 \tilde{h}_0\exp \Biggl[ -\frac{(\tilde{h}_0 - \langle \tilde{h}_0\rangle _{＼0})^2}{2V_0} +\beta\tilde{h}_0 S_0 \Biggr]\\

&=  \frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}} \text{Tr}_{S_0}  \int  d\tilde{h}_0 \tilde{h}_0 \exp\Biggl[ -\frac{1}{2V_0}\Bigl( \tilde{h}_0 -(\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0)\Bigr)^2\Biggr]\\
&\qquad \qquad \qquad × \exp\Biggl[-\frac{1}{2V_0}\Bigl(-( \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0) ^2 +\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}^2 \Bigr)\Biggr]\\

&=\frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}} \exp\left[\frac{1}{2V_0}(V_0\beta)^2 \right] × \\
&\text{Tr}_{S_0} \exp\Bigl[    \beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0} S_0\Bigr] \int  d\tilde{h}_0 \tilde{h}_0 \exp\Biggl[ -\frac{1}{2V_0}\Bigl( \tilde{h}_0 -(\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0)\Bigr)^2\Biggr]\\


&=\frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}} \exp\left[\frac{1}{2V_0}(V_0\beta)^2 \right] ×\\
&\text{Tr}_{S_0}\exp\Bigl[    \beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0} S_0\Bigr]  \int  d\tilde{h}_0 \Bigl(  \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0 \Bigr) \exp\Biggl[ -\frac{1}{2V_0}\Bigl( \tilde{h}_0 -(\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0)\Bigr)^2\Biggr]\\

&= \exp\left[\frac{1}{2V_0}(V_0\beta)^2 \right]\text{Tr}_{S_0} \exp\Bigl[    \beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0} S_0\Bigr]  \Bigl(\langle \tilde{h_0} \rangle_{＼0}+V_0\beta S_0 \Bigr) \\

&=  \langle \tilde{h_0} \rangle_{＼0}+V_0\beta \langle S_0 \rangle

\end{align}
$$
*/
\begin{eqnarray*}
\langle \tilde{h}_0 \rangle &\propto& \frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}} \ \text{Tr}_{S_0} \int d\tilde{h}_0 \tilde{h}_0\exp \Biggl[ -\frac{(\tilde{h}_0 - \langle \tilde{h}_0\rangle _{＼0})^2}{2V_0} +\beta\tilde{h}_0 S_0 \Biggr]\\
&=& \exp\left[ \frac{1}{2V_0} (\beta V_0)^2 \right] \text{Tr}_{S_0} \left( \langle \tilde{h}_0\rangle _{＼0} + \beta S_0 V_0 \right) \exp \left( \beta S_0 \langle \tilde{h}_0\rangle _{＼0} \right)\\
&=&  \langle \tilde{h_0} \rangle_{＼0}+V_0\beta \langle S_0 \rangle\\
&=& \langle \tilde{h_0} \rangle_{＼0}+V_0\beta m_0.
\end{eqnarray*}
/*
$$ 
\begin{align}
\therefore  \langle \tilde{h_0} \rangle &= \langle \tilde{h_0} \rangle_{＼0}+V_0\beta \langle S_0 \rangle \\
&= \langle \tilde{h_0} \rangle_{＼0}+V_0\beta m_0
\end{align}$$
*/
위의 유도 과정에서는 앞서서 계산한 적분 결과를 곧바로 사용하였고, 
$P(S_0) \propto \exp\left[\frac{1}{2V_0}(V_0\beta)^2 \right]\exp\Bigl[    \beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0} S_0\Bigr] $임을 적용하여 관계식을 등호로 바꿀 수 있었다.

이때 '$S_0$를 제외 시키지 않은' 경우에 해당하는 국소장의 기댓값은 $\langle \tilde{h_0}\rangle=\sum_j J_{0j} m_j$이므로
앞서 얻었던 식인 $m_0 = \tanh[\beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}]$은 결론적으로 아래와 같다.

\begin{align}
m_0 &=  \tanh\left[\beta \left( \langle \tilde{h_0} \rangle - V_0\beta m_0 \right)\right] \\
&=  \tanh\left[\beta \left( \sum_j J_{0j} m_j -\beta \sum_j J_{0j}^2 (1-m_j^2)m_0 \right)\right]
\end{align}

위의 유도 결과는 TAP 방정식이라고 불린다. $S_0$가 포함 되었으므로, 스핀 $N+1$개에 대한 계를 기술한다.

$$ \\ $$
===== TAP 방정식의 가정 =====

TAP 방정식은 고온의 영역에서만 옳은 결과를 준다는 한계가 있다.

우리가 유도 과정을 거칠 때에 사용하였던 주된 가정은 $\sum_{j,k} (\langle S_j S_k\rangle - \langle S_j \rangle \langle S_k \rangle)$이 
$j \ne k$ 일 때는 $N \to \infty$에서 크게 기여하지 못한다는 가정이었다.

그러나 저온의 영역에서는  $N \to \infty$에서도 $j,k$에 대해서 $(\langle S_j S_k\rangle - \langle S_j \rangle \langle S_k \rangle)$가 유한한 값을 가지므로
TAP 방정식이 정확히 옳은 결과를 주지 못한다.

===== 온사거 반응 장 =====

TAP 방정식인 다음의 식을 다시 살펴보면

$$ m_0 =  \tanh\left[\beta \left( \sum_j J_{0j} m_j -\beta \sum_j J_{0j}^2 (1-m_j ^2)m_0 \right)\right]$$

$-\beta \sum_j J_{0j}^2 (1-m_j ^2)m_0   $의 항은 마치 추가로 붙게 된 항처럼 보인다.
사실 이 항은 상쇄의 역할을 하며 중요한 의미를 갖는다.

자화량 $m_0$는 $j$의 위치에 내부장(internal field) $J_{0j}m_0$만큼의 영향을 준다.
그에 따라, 위치 $j$의 자화량 $m_j$는 $\chi_{jj}J_{0j}m_0$만큼 변하게 된다. $\chi_{jj}$는 다음과 같다.
$$ \chi_{jj} = \frac{\partial m_j}{\partial h_j} \Biggl|_{h_j \to 0}=\beta(1-m_j^2)$$
$\chi$가 자기 감수율(magnetic susceptibility)이며, 그 값은 앞서 분산 $V_0$를 구할 때와 마찬가지의 방식으로 구할 수 있다.

이때, 이렇게 변화한 $m_j$의 값에 의해서 $m_0$가 다시 영향을 받게 되는 값은 다음과 같다:
$$ J_{0j} \times \chi_{jj}J_{0j}m_0 = \beta J_{0j}^2(1-m_j^2 )m_0.$$
그런데 이것을 발생시킨 $m_j$의 변화는 $m_0$에 의한 것이므로 이러한 항의 효과는 제거해주어야 한다.

TAP 방정식에서 $-\beta \sum_j J_{0j}^2 (1-m_j ^2)m_0   $의 항이 해당 역할을 적절하게 수행하며
온사거 반응 장(reaction field)으로 불린다.

===== 복제 대칭 해의 유도 =====

우리가 [[물리:복제_대칭_해|복제 대칭 해]]에서 살펴본 결과는 TAP 방정식을 이용해서도 유도가 가능하다.
우선 상호작용인 $J_{0j}$를 강자성에 대한 항과 난수로 표현되는 항으로 분리하여 아래와 같이 나타내자.

$$ J_{0j} = \frac{J_0}{N} + \frac{J}{\sqrt{N}}z_{0j} $$

여기에서 $z_{0j}$는 평균이 $0$이며 분산이 $1$인 정규 분포에서 추출한 난수이다.
앞서 얻었던 $ \langle \tilde{h_0} \rangle = \langle \tilde{h_0} \rangle_{＼0}+V_0\beta m_0$의 식에 이를 대입하면 다음과 같다.

$$\langle \tilde{h_0} \rangle_{＼0} = \frac{J_0}{N}\sum_j m_j + \frac{J}{\sqrt{N}}\sum_j z_{0j}m_j - V_0 \beta m_0 $$

$m$은 강자성 질서 맺음 변수라고 하면, 첫번째 항은 $J_0 m$과 같다.
세번째 항의 역할은 온사거의 반응 장에서 살펴본 공동 보정(cavity correction)의 효과를 주므로
두번째 항의 $ z_{0j}m_j$가 독립적인 담금질(quenched) 무작위 변수인 것으로 가정할 수 있도록 한다.

보다 자세히 설명하면, $\langle \tilde{h_0} \rangle_{＼0}$를 표현하는 식의 의미는 '공동 장'의 평균으로서 $S_0$가 제거된 경우를 보는 것이므로 
한 위치 $j$로 부터 발생하는 기여분은 또 다른 $j$로 부터 발생하는 기여분과 서로 간섭하지 않는다.
따라서 '중심 극한 정리'를 적용할 수 있고, $\sum_j z_{0j}m_j$가 가우스 분포를 따른다고 가정할 수 있다.
즉 평균은 $0$이고, 그에 따라 분산은 다음과 같이 표현된다.

$$ \sum_j \sum_k [z_{0j}z_{0k}]m_j m_k = \sum_j m_j^2 = N q$$

그러므로 두번째 항은 정규 분포에서 추출된 난수 $z$를 이용하여 $\sqrt{Nq}z$로서 표현이 가능하다.
이러한 결과들을 가지고서, $m_0 = \tanh \left(\beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0} \right)$를 $z$의 분포에 대해서 평균을 내리면

$$ m= \int \text{D}z \tanh (\beta J_0 m + \beta J\sqrt{q}z) $$
의 결과를 얻고, 이는 [[물리:복제_대칭_해|복제 대칭 해]]에 대해서 설명된 식과 같다.

======구면 $p$-스핀 유리 모형======
스핀 $N$개를 가진 [[물리:구면_p-스핀_유리_모형|구면 $p$-스핀 유리 모형]]의 해밀토니안을 다음처럼 적자:
$$H = - \sum_{i_1<\ldots<i_p} J_{i_1 \ldots i_p} s_{i_1} \cdots s_{i_p} - \frac{r}{2} \sum_{i=1}^N s_i^2.$$
이때 $r$은 구면 조건을 만족하기 위해 조정해야 하는 맺음변수이다.
결합 상수들은 평균이 $0$이고 분산이 $p!/(2N^{p-1})$인 정규 분포로부터 추출된 담금질(quenched) 난수들이다.

=====추가된 스핀=====
이제 $(N+1)$번째 스핀 $s_0$를 추가하자. 이 스핀이 가지고 들어오는 결합 상수는 $J_{0i_2 \ldots i_p}$이다. 스핀 $s_0$에 작용하는 국소장은 다음과 같다:
$$\tilde{h}_0 = \sum_{i_2<\ldots<i_p} J_{0 i_2 \ldots i_p} s_{i_2} \cdots s_{i_p}.$$

스핀 $s_0$가 없을 때의 국소장인 $\tilde{h}_0\backslash s_0$의 분포를 알아보자. 스핀 $s_0$가 없으므로 독립적인 난수의 합이어서 정규 분포로 근사할 수 있다:
$$P \left(\tilde{h}_0\backslash s_0\right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}} \exp\left[ - \frac{\left(\tilde{h}_0 - \langle \tilde{h}_0 \rangle_{\backslash 0}\right)^2}{2V_0} \right].$$

결합 상수와 스핀 값들이 모두 독립적이므로 이 분포의 평균은 아래와 같다:
$$\langle \tilde{h}_0 \rangle_{\backslash 0} = \sum_{i_2<\ldots<i_p} J_{0 i_2 \ldots i_p} \langle s_{i_2}\rangle_{\backslash 0} \cdots \langle s_{i_p} \rangle_{\backslash 0}.$$
[[수학:인자_그래프|인자 그래프]]에서 계산한 방법대로 $\langle s_i \rangle_{\backslash 0}$을 $m_i \equiv \langle s_i \rangle$에 온사거 보정항(Onsager correction term)을 더함으로써 표현하면,
\begin{eqnarray*}
\langle \tilde{h}_0 \rangle_{\backslash 0} &\approx& \sum_{i_2<\ldots<i_p} J_{0 i_2 \ldots i_p} m_{i_2} \cdots m_{i_p} - \beta (1-q) m_0 \frac{p(p-1)}{2} q^{p-2}.
\end{eqnarray*}

분산은 다음처럼 계산되는데 이 중에서 대각항($i_1=k_1, \ldots, i_p=k_p$)만 살아남고 나머지 교차항들은 상쇄되어 평균적으로 0이라고 근사하면
\begin{eqnarray*}
V_0 &=& \sum_{i_2<\ldots<i_p} J_{0 i_2 \ldots i_p} \left( s_{i_2} \cdots s_{i_p} - \langle s_{i_2}\rangle_{\backslash 0} \cdots \langle s_{i_p} \rangle_{\backslash 0} \right) \sum_{k_2<\ldots<k_p} J_{0 k_2 \ldots k_p} \left( s_{k_2} \cdots s_{k_p} - \langle s_{k_2}\rangle_{\backslash 0} \cdots \langle s_{k_p} \rangle_{\backslash 0} \right)\\
&=& \frac{1}{\left[(p-1)!\right]^2} \sum_{i_2,\ldots,i_p} J_{0 i_2 \ldots i_p} \left( s_{i_2} \cdots s_{i_p} - \langle s_{i_2}\rangle_{\backslash 0} \cdots \langle s_{i_p} \rangle_{\backslash 0} \right) \sum_{k_2,\ldots,k_p} J_{0 k_2 \ldots k_p} \left( s_{k_2} \cdots s_{k_p} - \langle s_{k_2}\rangle_{\backslash 0} \cdots \langle s_{k_p} \rangle_{\backslash 0} \right)\\
&\approx& \frac{1}{(p-1)!} \sum_{i_2,\ldots,i_p} J_{0 i_2 \ldots i_p}^2 \left(1 - \langle s_{i_2}\rangle_{\backslash 0}^2 \cdots \langle s_{i_p} \rangle_{\backslash 0}^2 \right)\\
&\approx& \frac{1}{(p-1)!} \left( \frac{p!}{2N^{p-1}} \right) \left(1 - q^{p-1} \right) N^{p-1}\\
&=& \frac{p}{2} \left(1 - q^{p-1} \right).
\end{eqnarray*}

이제 $s_0$를 포함한 결합 분포 함수를 구하고
\begin{eqnarray*}
P\left( s_0, \tilde{h}_0 \right) &\propto& \exp\left[ -\frac{\beta r}{2}s_0^2 + \beta \tilde{h}_0 s_0 - \frac{\left(\tilde{h}_0 - \langle \tilde{h}_0 \rangle_{\backslash 0}\right)^2}{2V_0} \right]\\
\end{eqnarray*}
$h_0$에 대해 주변화를 시행한 다음,
\begin{eqnarray*}
P\left( s_0 \right) &\propto& \int d\tilde{h}_0 \exp\left[ -\frac{\beta r}{2}s_0^2 + \beta \tilde{h}_0 s_0 - \frac{\left(\tilde{h}_0 - \langle \tilde{h}_0 \rangle_{\backslash 0}\right)^2}{2V_0} \right]\\
&\propto& \exp\left[ - \frac{\beta r}{2} s_0^2 + \beta \langle \tilde{h}_0 \rangle_{\backslash 0} s_0 + \frac12 \beta^2 s_0^2 V_0 \right],
\end{eqnarray*}
이로부터 $s_0$의 평균값과 (단, $r>\beta V_0$)
\begin{eqnarray*}
\langle s_0 \rangle &=& \frac{\int ds_0 s_0 P\left(s_0\right)}{\int ds_0 P\left(s_0\right)} = \frac{\langle \tilde{h}_0 \rangle_{\backslash 0}}{r - \beta V_0}.
\end{eqnarray*}
분산을 계산한다:
\begin{eqnarray*}
\langle \left( s_0 - \langle s_0 \rangle \right)^2 \rangle &=& \frac{\int ds_0 \left( s_0- \langle s_0 \rangle \right)^2 P\left(s_0\right)}{\int ds_0 P\left(s_0\right)} = \frac{1}{\beta \left(r - \beta V_0\right)} = 1-q.
\end{eqnarray*}
마지막의 표현식은 구면 조건과 $q \equiv N^{-1} \sum_i m_i^2$의 정의로부터 나온다. 이것을 이용하면 $s_0$가 실제로 추가되었을 때 그 평균값인 $m_0 \equiv \langle s_0 \rangle$에 대한 또다른 표현식은,
\begin{eqnarray*}
\frac{m_0}{\beta(1-q)} &=& \langle \tilde{h}_0 \rangle_{\backslash 0} \approx \sum_{i_2<\ldots<i_p} J_{0 i_2 \ldots i_p} m_{i_2} \cdots m_{i_p} - \beta (1-q) m_0 \frac{p(p-1)}{2} q^{p-2}.
\end{eqnarray*}

$\partial q/\partial m_i = 2m_i/N$에 유의하면, 위의 식은 아래와 같은 자유 에너지 밀도를 미분함으로써 얻을 수 있다:
$$f = -\frac{1}{N} \sum_{i_1<\ldots<i_p} J_{i_1 \ldots i_p} m_{i_1} \cdots m_{i_p} - \frac{1}{2\beta} \ln(1-q) - \frac{\beta}{4} \left[ (p-1) q^p - pq^{p-1} +1 \right].$$

/*
=====다른 스핀과의 관계=====
스핀 $0$가 아닌 다른 스핀 $i$를 포함하여 식을 적어보자.
그러기 위해 국소장을 다음처럼 $i$를 포함한 항과 포함하지 않은 항으로 나누어 쓰자:
\begin{eqnarray*}
\tilde{h}_0 &=& \sum_{i_2<\ldots<i_p} J_{0 i_2 \ldots i_p} s_{i_2} \cdots s_{i_p}\\
&=& s_i \sum_{i_3<\ldots<i_p} J_{0 i i_3 \ldots i_p} \cdots s_{i_p} + \sum_{i_2<\ldots<i_p\\i \notin \{i_2,\ldots,i_p\}} J_{0 i_2 \ldots i_p} s_{i_2} \cdots s_{i_p}\\
&=& s_i \tilde{h}_i + \tilde{h}_i'.
\end{eqnarray*}
스핀 $s_0$가 없을 때 $\tilde{h}_i$의 평균과 분산을 각각 $\langle \tilde{h}_i \rangle_{\backslash 0}$과 $\Bigl< \left( \tilde{h}_i - \langle \tilde{h}_i \rangle_{\backslash 0} \right)^2 \Bigr>_{\backslash 0}$라고 하자. [[수학:인자_그래프|인자 그래프]]에서 다룬 바와 같이
\begin{eqnarray*}
\Bigl< \left( \tilde{h}_i - \langle \tilde{h}_i \rangle_{\backslash 0} \right)^2 \Bigr>_{\backslash 0} &=& \langle \tilde{h}_i^2 \rangle_{\backslash 0} - \langle \tilde{h}_i \rangle_{\backslash 0}^2\\
&\approx& \frac{1}{\left[(p-2)!\right]^2} (p-2)! \sum_{i_3,\ldots,i_p} J_{0 i i_3 \ldots i_p}^2 \left( \langle s_{i_3}^2 \rangle_{\backslash 0} \cdots \langle s_{i_p}^2 \rangle_{\backslash 0} - \langle s_{i_3} \rangle_{\backslash 0}^2 \cdots \langle s_{i_p}\rangle_{\backslash 0}^2 \right)\\
&\approx& \frac{1}{(p-2)!} \sum_{i_3,\ldots,i_p} \frac{p!}{2N^{p-1}} \left( 1 - q^{p-2} \right)\\
&=& \frac{1}{(p-2)!} N^{p-2} \frac{p!}{2N^{p-1}} \left( 1 - q^{p-2} \right)\\
&=& \frac{p(p-1)}{2N} \left( 1 - q^{p-2} \right).
\end{eqnarray*}
마찬가지로 스핀 $s_0$가 없을 때 $\tilde{h}_i'$의 평균과 분산을 각각 $\langle \tilde{h}_i' \rangle_{\backslash 0}$과 $\Bigl< \left( \tilde{h}_i' - \langle \tilde{h}_i' \rangle_{\backslash 0} \right)^2 \Bigr>_{\backslash 0}$라고 하자. 셈에서 스핀 $i$가 빠지기는 하지만 $N$이 매우 크다면 이 계산은 사실상 위에서 했던 $V_0$의 계산과 같아진다. 따라서
$$\Bigl< \left( \tilde{h}_i' - \langle \tilde{h}_i' \rangle_{\backslash 0} \right)^2 \Bigr>_{\backslash 0} = \frac{p}{2} \left( 1- q^{p-1} \right).$$
끝으로, 스핀 $s_0$가 없을 때에 $s_i$는 평균 $\langle s_i \rangle_{\backslash 0}$와 분산 $1-q$를 가진다.

$s_0$를 계에 추가하고 $s_0$, $s_i$, $\tilde{h}_i$, 그리고 $\tilde{h}_i'$의 결합 확률을 구하자. 앞서와 마찬가지로 $s_0$가 없을 때의 확률분포를 먼저 적고 나서 $s_0$로 인한 볼츠만 인자 $\exp\left( -\beta r s_0^2/2 + \beta h s_0\right)$를 곱하는 식으로 할 것이다. $s_0$가 없을 때, $\tilde{h}_0$를 구성하는 $s_i$, $\tilde{h}_i$, 그리고 $\tilde{h}_i'$들은 서로 독립적인 난수라고 가정한다.
\begin{eqnarray*}
P\left(s_0, s_i, \tilde{h}_i, \tilde{h}_i' \right) &\propto& \exp\left[ -\frac{\beta r}{2} s_0^2 + \beta s_0 \left(s_i \tilde{h}_i + \tilde{h}_i' \right) - \frac{\left( s_i - \langle s_i \rangle_{\backslash 0} \right)^2}{2(1-q)} - N \frac{\left( \tilde{h}_i - \langle \tilde{h}_i \rangle_{\backslash 0} \right)^2}{p(p-1)\left( 1-q^{p-1} \right)} - \frac{\left( \tilde{h}_i' - \langle \tilde{h}_i' \rangle_{\backslash 0} \right)^2}{p\left( 1-q^{p-1} \right)} \right].
\end{eqnarray*}
주변화를 거치면 아래와 같은 적분 결과를 얻고
\begin{eqnarray*}
P\left(s_0, s_i \right) &=& \int d\tilde{h}_i d\tilde{h}_i' P\left(s_0, s_i, \tilde{h}_i, \tilde{h}_i' \right)\\
&\propto& \exp\left[ -\frac{\beta r}{2}s_0^2+\frac{p\beta^2}{4}\left(1-q^{p-1}\right) s_0^2 + \beta s_0 \left( s_i \langle \tilde{h}_i \rangle_{\backslash 0} + \langle \tilde{h}_i' \rangle_{\backslash 0} \right)-\frac{\left(s_i-\langle s_i \rangle_{\backslash 0}\right)^2}{2(1-q)} -\frac{1}{4N}\beta^2 (1-p)p \left(1-q^{p-1}\right) s_0^2 s_i^2 \right]\\
&\approx& \exp\left[ -\frac{s_0^2}{2(1-q)} + \beta s_0 \left( s_i \langle \tilde{h}_i \rangle_{\backslash 0} + \langle \tilde{h}_i' \rangle_{\backslash 0} \right)-\frac{\left(s_i-\langle s_i \rangle_{\backslash 0}\right)^2}{2(1-q)} \right],
\end{eqnarray*}
지수 중 $N^{-1}$에 비례하는 항은 $N\to\infty$에서 무시했다. 이제 주변화로 $P(s_i) = \int ds_0 P(s_0, s_i)$를 얻은 다음 $\langle s_i \rangle$을 $\tilde{h}_i \sim O\left(N^{-1/2}\right)$의 일차항까지 계산해보면,
\begin{eqnarray*}
\langle s_i \rangle &=& \frac{\int ds_i ~s_i P\left( s_i \right)}{\int ds_i P\left( s_i \right)} = \frac{\langle s_i \rangle_{\backslash 0} + \beta^2 (1-q)^2 \langle \tilde{h}_i \rangle_{\backslash 0} \langle \tilde{h}_i' \rangle_{\backslash 0}}{1-\beta^2(1-q)^2 \langle \tilde{h}_i \rangle_{\backslash 0}^2} \approx \langle s_i \rangle_{\backslash 0} + \beta^2 (1-q)^2 \langle \tilde{h}_i \rangle_{\backslash 0} \langle \tilde{h}_i' \rangle_{\backslash 0}\\
&=& \langle s_i \rangle_{\backslash 0} + \beta (1-q) \langle s_0 \rangle \langle \tilde{h}_i' \rangle_{\backslash 0}\\
&\approx& \langle s_i \rangle_{\backslash 0} + \beta (1-q) \langle s_0 \rangle \sum_{i_3<\ldots<i_p} J_{0 i i_3 \ldots i_p} \langle s_{i_3} \rangle_{\backslash 0} \cdots \langle s_{i_p} \rangle_{\backslash 0}.
\end{eqnarray*}
*/
======함께 보기======
  * [[신경망:공동_방법|공동 방법]]
  * [[수학:인자_그래프|인자 그래프]]
  * [[물리:구면_p-스핀_유리_모형|구면 $p$-스핀 유리 모형]]

====== 참고문헌 ======
  * Hidetoshi Nishimori, //Statistical Physics of Spin Glasses and Information Processing: An Introduction//, 2001.
  * Gino Del Ferraro, Chuang Wang, Dani Martí, and Marc Mézard, //Cavity Method: Message Passing from a Physics Perspective// [[https://doi.org/10.48550/arXiv.1409.3048|arXiv:1409.3049]] (2014).
  * Marc Mézard, Giorgio Parisi, and Miguel Ángel Virasoro, //Spin Glass Theory and Beyond//, 1987.
  * A. Barrat, //The p-spin spherical spin glass model//, [[https://arxiv.org/pdf/cond-mat/9701031|cond-mat/9701031]] (1997).