배규호:교차영역 [statphys]

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======교차영역(Cross section)======

자성체 시료의 특성 중 하나인 감수율을 측정하는 상황을 생각해보자. 이 경우에 전하를 가지지 않고 자성적으로도 거의 중성이며 물질을 거의 "뚫고" 지나갈 정도로 작은 입자를 써야 할 것이다. 

왜냐하면 외부 장 h에 영향을 받지 않으면서 시료의 외부 장에 대한 자기장의 변화를 관찰해야 하기 때문이다. (역시, 같은 이유로 h도 작게 걸어주어야 할 것이다.)

이 조건을 만족하는 입자는 중성자가 있다.

만일 시료의 외부 장의 영향하에 바뀐 자기장이 중성자의 궤적을 산란시킨다면 입자를 산란시킨 부분에 대한 서술을 할 수 있을것이다. 

먼저 중성자의 상태함수를 파동함수로 기술하자. 이때 $p_i$는 시료를 통과하기 전의 중성자 운동량을 나타내고 $p_f$는 시료를 통과한 후의 운동량을 나타낸다.

그리고 자기장을 만드는 원천은 시료를 이루는 물질의 스핀 분포이기 떄문에 파동함수를 바꾸는 연산자는 스핀 분포와 관련이 있을것이다. 스핀 분포에 대한 연산자를 $\sigma (x)$라고 써주자. 

이때 $x$는 스핀을 가지는 구성요소들의 위치이다. 

이제 바뀐 운동량에 대한 파동함수의 기대값을 아래와 같이 써보자. //note: 결국 바뀐 확률분포의 제곱 평균을 구하는 과정인데 이 진폭이 무엇과 연결되는지 이해해야 함//

$$ \int d^{d}x e^{-ip_fx} \sigma (x) e^{ip_ix} $$

이 값의 크기의 제곱에 대해 물질이 가질수 있는 모든 스핀 분포 $\{\sigma (x)\}$에 대해 평균한 값을 구하자.

$$ \Big<\Big|\int d^{d}x e^{-ip_fx} \sigma (x) e^{ip_ix}\Big|^{2}\Big>_{\{\sigma (x)\}} $$

위 식은 스핀 분포에 대한 중성자의 파동함수 기댓값의 제곱 평균이다. 스핀의 정렬이 무작위적일수록 산란된  각도가 작을텐데

스핀 분포를 푸리에 공간의 변수로 바꿔서 생각하면 조금 더 이해하기가 쉽다. 

$\sigma (x)$에 대한 푸리에 요소를 $\sigma_K$라고 하자. 시료를 단순 입방체라고 한다면 푸리에 변환은 아래와 같다. 

$$ \sigma_k = V^{-1/2} \int d^{3}x e^{-ikx} \sigma (x) $$
$$ \sigma (x) = V^{1/2} \sum_{k} e^{ikx} \sigma_k $$ 

$\sigma (x)$에 대한 표현을 써서 교차영역에 대한 식을 다시 써보자.
\begin{equation*}
\begin{split}
\Gamma_{fi} &\propto (1/V)\Big<\Big|\int d^{d}x\sum_{k} \sigma_k e^{ikx} e^{-i(p_f-p_i)x}\Big|^{2}\Big>_{\{\sigma_k\}}, \quad k = p_f - p_i \\ 
&\propto V\Big<\Big|\sum_{k}\sigma_k\Big|^{2}\Big>_{\{\sigma_k\}}  \\
&\propto V\sum_{k}\Big<\Big|\sigma_k\Big|^{2}\Big>_{\{\sigma_k\}}  

\end{split}
\end{equation*}

$k$는 모멘텀 운반자의 개념인데. 운동량의 차이를 말해준다. 2번째 식을 조금 들여다보자. 

산란실험에서 관측 가능한 값들은 시료에 들어가는 입자의 운동량과 나오는 운동량을 측정할 수 있을것이다.

이 때 먼저 운동량의 차이 $\Delta p$가 가장 클 때의 통과 후 운동량을 측정하고  이를$p_i$로 두어 이 운동량에 해당하게 중성자를

입사시키면 $k = 0$을 만족시키게 될 것이다. 결국 산란 각도를 크게 흩뜨릴수록 정렬이 잘 되었다라고 설명할 수 있고 이것을 설명하기

위해 입사시키는 중성자의 운동량을 잘 조정해준다면 모멘텀 운반자 값을 0으로 만들어서 최대 피크를 얻을 수 있을 것이다. 

실험 데이터를 토대로 할 때 온도가 임계온도에 가까울수록 이 진폭이 커지며 모멘텀 운반자 $k$에 대해

$$\Gamma \propto k^{-2+ \eta} , \quad K \rightarrow 0, \quad T \approx T_c $$ 

의 결과를 일반적으로 얻는다고 한다. 이때 지수 $\eta$또한 임계지수라고 부른다. 

더 나아가서 이 결과는 수학적으로 [[:배규호:상관 함수]]로 설명 될 수 있다. 

======참고문헌======

  * MA, Shang-Keng. Modern theory of critical phenomena. Da Capo Press, 2000.