수학:그라스만_대수 [statphys]

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======개요======

반교환(anti-commutator) 연산자에 대해 다음처럼 거동하는 변수들에 대한 대수적 규칙들:
$$\{ \theta_i, \theta_j \} = \theta_i \theta_j + \theta_j \theta_i = 0.$$

=====지수함수=====
지수함수를 전개했을 때 위의 성질로부터 이차항 이상의 고차항이 모두 사라지고 $\exp(\bar{\theta} \theta) = 1 + \bar{\theta} \theta$.

=====미분 연산자=====
먼저 아래와 같은 성질은 쉽게 생각할 수 있다:
$$\frac{\partial}{\partial \theta_i} \theta_j = \delta_{ij}.$$
또 어떤 함수든 기껏해야 변수들에 대해 일차항까지만을 가지는데,
$$\frac{\partial}{\partial \theta_i} \frac{\partial}{\partial \theta_j} \theta_i \theta_j
= - \frac{\partial}{\partial \theta_i} \frac{\partial}{\partial \theta_j} \theta_j \theta_i
= - \frac{\partial}{\partial \theta_j} \frac{\partial}{\partial \theta_i} \theta_i \theta_j$$
이다. 이를 간단히 적으면,
$$\left\{ \frac{\partial}{\partial \theta_i}, \frac{\partial}{\partial \theta_j} \right\} = 0.$$

=====적분=====
적분구간 끝에서의 기여분이 없다면
$$\int d\theta \frac{\partial}{\partial \theta} f(\theta) = 0.$$
또 적분을 미리 행한다면 $\theta$는 허깨비 변수(dummy variable)가 되어버리므로
$$\frac{\partial}{\partial \theta} \int d\theta f(\theta) = 0.$$
즉 사실상 적분은 미분과 동일하다:
$$\int d\theta = \frac{\partial}{\partial \theta}.$$

======함께 보기=====
  * [[물리:2차원 이징 모형]]
  * [[수학:허바드-스트라토노비치_변환|허바드-스트라토노비치 변환]]