수학:정지_위상_근사 [statphys]

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======정지 위상 방법======

아주 큰 양수 $x$에 대해 다음 적분을 계산하려고 한다:
$$I(x) = \int_a^b f(t) e^{ix\psi(t)} dt.$$

$f(t)$는 실수 함수이다. 역시 실수 함수인 $\psi(t)$는 한 점 $t=c \in (a,b)$에서 도함수가 0이며 $\psi''(c)\neq 0$이라고 하자. 즉 다음처럼 급수 전개를 적을 수 있다:
$$\psi(t) = \psi(c) + \frac{\psi''(c)}{2} (t-c)^2 + \ldots.$$

$\epsilon$이 ($x$에 의존할 수 있는) 적당히 작은 양수라고 하자. 위 적분은 다음처럼 두 부분으로 나누어 적을 수 있다:
$$I(x) = \int_a^b f(t) e^{ix\psi(t)} dt = \int_{c-\epsilon}^{c+\epsilon} f(t) e^{ix\psi(t)} dt + \int_{(a,b)\backslash (c-\epsilon, c+\epsilon)} f(t) e^{ix\psi(t)} dt.$$

후술할 이유로 해서 두 번째 적분은 $1/x$로 크기가 줄어듦으로, 앞의 적분만을 살펴보자. 그러면 그 결과는
\begin{eqnarray*}
I(x) &\approx& \int_{c-\epsilon}^{c+\epsilon} f(t) e^{ix\psi(t)} dt\\ &\approx& \int_{c-\epsilon}^{c+\epsilon} f(c) e^{ix\psi(c)} e^{ix\psi''(c)(t-c)^2/2} dt\\
&\approx& f(c) e^{ix\psi(c)} \sqrt{\frac{2\pi}{-ix\psi''(c)}}.
\end{eqnarray*}

두 번째 적분에 대해, 구간 $[a,b]$에서 $\psi'(t)$의 부호가 일정하다고 하자. 일반성을 잃지 않고 $\psi'(t)>0$으로 놓을 수 있다. $\psi$는 $[a,b]$를 $[\psi(a),\psi(b)]$로 옮기는 전단사 함수(bijection)이다. $u = \psi(t)$라고 하면 $dt = \frac{du}{\psi' \left[ \psi^{-1}(u) \right]}$이므로 다음처럼 적게 된다.
$$\int_a^b f(t) e^{ix\psi(t)} dt = \int_{\psi(a)}^{\psi(b)} \frac{f\left[ \psi^{-1}(u) \right]}{\psi' \left[ \psi^{-1}(u) \right]} e^{ixu} du.$$
부분적분을 시행하면
\begin{eqnarray*}
\int_{\psi(a)}^{\psi(b)} \frac{f\left[ \psi^{-1}(u) \right]}{\psi' \left[ \psi^{-1}(u) \right]} e^{ixu} du &=&
\left[ \frac{1}{ix} \frac{f\left[ \psi^{-1}(u) \right]}{\psi' \left[ \psi^{-1}(u) \right]} e^{ixu} \right]_{u = \psi(a)}^{\psi(b)}
- \frac{1}{ix}
\int_{\psi(a)}^{\psi(b)} \frac{d}{du} \left\{ \frac{f\left[ \psi^{-1}(u) \right]}{\psi' \left[ \psi^{-1}(u) \right]} \right\} e^{ixu}\\
&\approx& \frac{1}{ix} \left[ \frac{f(b)}{\psi'(b)} e^{ix\psi(b)} - \frac{f(a)}{\psi'(a)} e^{ix\psi(a)} \right].
\end{eqnarray*}
첫째 줄 우변의 두 번째 항은 적절한조건에서 리만-르베그 보조정리(Riemann-Lebesgue lemma)에 의해 $|x|\to\infty$에서 0으로 수렴한다.





=====예: 베셀 함수=====
$r\ge 0$에서 정의된 0차 베셀 함수를 생각하자:
$$J_0(r) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{ir \sin t} dt.$$
$r$이 아주 클 때의 거동에 관심이 있다.
$\psi(t) = \sin t$로서 두 개의 극점 $t=\pi/2$와 $t=3\pi/2$를 지니는데, 이 둘을 모두 고려해야 한다. $t=\pi/2$에 대해서는
$$\sqrt{\frac{2\pi}{-ir\psi''(c)}} e^{ir\psi(c)} = \sqrt{\frac{2\pi}{ir}}e^{ir} = \sqrt{\frac{2\pi}{r}}e^{i(r-\pi/4)}$$
이고, $t=3\pi/2$에 대해서는
$$\sqrt{\frac{2\pi}{-ir\psi''(c)}} e^{ir\psi(c)} = \sqrt{\frac{2\pi}{-ir}}e^{-ir} = \sqrt{\frac{2\pi}{r}}e^{-i(r-\pi/4)}$$
이므로 이 둘을 더하면 다음 결과를 얻는다:
$$J_0(r) \approx \sqrt{\frac{2}{\pi r}} \cos \left(r - \frac{\pi}{4} \right).$$

======함께 보기======
  * [[수학:라플라스의_방법|라플라스의 방법]]
  * [[수학:안장점_근사|안장점 근사]]

======참고문헌======
  * Richard Chapling, [[https://rc476.user.srcf.net/asymptoticmethods/am_notes.pdf|Asymptotic Methods]].