======정보의 모형====== 세계의 상태 $\omega$가 있고 이는 집합 $\Omega$의 원소이다. '앎'이란 세계의 상태가 이쪽인지 저쪽인지 구분할 수 있다는 의미여서, 나의 앎은 $\Omega$의 분할(partition)로 표현된다. 예를 들어 $\Omega = \{1,2,3\}$이라고 하자. 나의 정보 분할(information partition)이 $\{\{1,2\},\{3\}\}$으로 주어진다면, 이는 실제 세계의 상태가 $\omega=3$일 때 나는 그것을 $\{3\}$임을 알지만 $\omega=1$ 또는 $2$라면 나는 그 중 무엇이 참인지 알지 못한다는 뜻이다. 어떤 사건의 용의자가 있고 그의 지문이 현장이 남아있는지 확인해본다고 했을 때, 네 가지의 상태가 가능하다. * $\omega = 1$: 용의자는 실제 유죄이고 지문이 현장에 있다. * $\omega = 2$: 용의자는 실제 유죄이지만 지문이 현장에 없다. * $\omega = 3$: 용의자는 실제 무죄이지만 어떤 이유에서인지 지문이 현장에 있다. * $\omega = 4$: 용의자는 실제 무죄이고 지문도 현장에 없다. 용의자가 유죄인 '사건(event)'에 주의를 기울인다면 이 사건은 $E = \{1,2\}$로 표현될 수 있다. 그리고 세계의 가능한 상태들에 '사전(prior)' 확률들을 지정하면 확률 공간(probability space)을 얻게 된다. 만일 위의 네 상태들에 각각 확률 $0.4$, $0.1$, $0.05$, 그리고 $0.45$를 지정한다고 해보자. 지문이 발견되었을 때 용의자가 유죄일 '사후(posterior)' 확률은 [[수학:베이즈의_정리|베이즈의 정리]]에 따라 다음처럼 계산된다: $$\text{Pr}\left(\text{guilty}|\text{fingerprints}\right) = \frac{\text{Pr}(\omega_1)}{\text{Pr}(\omega_1 \cup \omega_3)} = \frac{0.4}{0.4+0.05} \approx 0.889.$$ ======앎에 대한 앎====== $\Omega = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$이라고 하자. 나의 분할이 $\mathcal{P}_1 = \{\{1,2,3\}, \{4,5\}, \{6,7,8\}\}$이고 당신의 분할이 $\mathcal{P}_2 = \{\{1,2\}, \{3,4\}, \{5\}, \{6,7\}, \{8\}\}$이다. 여기까지는 서로에게 알려져 있다. 이제 실제 세계의 상태가 $\omega=5$라고 하자. 당신은 세계의 상태가 $\omega=5$임을 안다. 반면 원래의 나인 나$_1$은 $\omega$가 $4$ 또는 $5$라는 사실밖에 알지 못한다. $\omega=5$라면 당신이 정확히 알겠지만, $\omega=4$라면 당신은 $3$ 또는 $4$를 생각할 것이다. 그래서 나$_1$은, 내가 상상한 당신인 당신$_2$가 세계의 상태를 $3$, $4$, 또는 $5$ 중의 하나로 알 것임을 안다. 한 발 나아가, 그렇게 알고 있는 당신$_2$는, 내가 $\{1,2,3\}$을 구분하지 못한다는 사실로부터, 당신$_2$가 상상한 나인 나$_2$가 $\omega \in \{1,2,3,4,5\}$임을 알 것이라 생각할 것이라고 나$_1$은 생각한다. 정리해보면, 나$_2$가 $\omega \in \{1,2,3,4,5\}$임을 알 것이라고 당신$_2$가 알 것임을 나$_1$이 알고 있다. 당신 쪽에서는? 원래의 당신, 그러니까 당신$_1$이 머릿 속으로 생각한 나$_2$는 $\omega \in \{4,5\}$로 알고 있다. $\omega=4$일 가능성을 나$_2$ 쪽에서 고려했을 때, 당신이 $3$과 $4$를 구분하지 못한다는 사실로부터 나$_2$가 상상하는 당신$_2$는 $\omega \in \{3,4,5\}$임을 알 것이다(라고 당신$_1$은 생각한다). 나는 $3$을 $1$, $2$와 구분하지 못하므로, 당신$_2$가 $\{3,4,5\}$를 가능성으로 올려놓고 있다면, 당신$_2$가 생각하는 나$_3$은 $\omega \in \{1,2,3,4,5\}$임을 알 것이다. 정리해보면, 나$_3$이 $\omega \in \{1,2,3,4,5\}$로 알 것임을 당신$_2$가 앎을 나$_2$가 앎을 당신$_1$이 안다. $\omega=5$일 때 당신은 세계의 상태가 $5$임을 알고 나는 $\{4,5\}$의 원소 중 하나임을 안다. 따라서 둘다 세계의 상태가 $4$나 $5$라는 것은 알지만 이는 아직 공통 지식이 아니다. 왜냐하면 나는 당신이 세계의 상태를 $3$으로 믿을 수도 있다고 생각하기 때문이다. 만일 어떤 사건 $E$가 상태 $4$와 $5$에서만 일어난다고 해보자. $\omega=5$이므로 사건이 일어나고 우리도 그 사건이 일어났으리라는 것을 알지만, 그것은 공통 지식이 아니다. 왜냐하면 내 생각 안의 당신$_2$는 $\omega=3$의 가능성을 배제하지 못하고, 그때에는 $E$가 발생하지 않으므로, 내 생각 속의 당신$_2$는 당신$_2$의 상상 속에 있는 나$_2$가 $E$를 알지 못했다고 생각할 수도 있다는 것이다. ======아우만(Aumann)의 정리====== 두 사람이 같은 사전 확률 분포를 가지고 있고 사건 $E$에 대한 그들의 사후 확률이 공통 지식이라면, 그 사후 확률은 일치한다. 사후 확률 분포가 공통 지식이라 함은 다음과 같은 의미이다. 당신이 사건 $E$에 확률 $x$를 부과했음이 공통 지식이라고 하자. * 앞의 예에서라면 당신은 $\omega=5$임을 알고 있고, 이때 $\text{Pr}(E|\{5\}) = x$를 부과한다. * 나 역시 당신이 사건 $E$에 $x$를 부과했음을 안다. 나는 $\omega\in \{4,5\}$라는 것밖에 모르고 그때 내가 상상한 당신$_2$는 $\omega\in \{3,4\}\cup\{5\}$임을 알 것이므로, 내가 안다는 것은 $\text{Pr}(E|\{3,4\}) = \text{Pr}(E|\{5\}) = x$라는 뜻이다. * 당신은 위의 사실(즉 당신이 $x$를 부과했음을 내가 안다는 사실)을 안다. 당신은 $\omega=5$임을 이미 확실히 알고, 이때 당신이 생각한 나$_2$는 $\omega \in \{4,5\}$임을 안다. 그래서 나$_2$는 생각 속에서 당신$_2$가 $\omega \in \{3,4\} \cup \{5\}$임을 안다는 사실을 알 것이다(이것이 당신이 생각한 나$_2$의 상태이다). * 나는 위의 사실(당신이 $x$를 부과했음을 내가 앎을 당신이 안다는 사실)을 안다. 나는 $\omega\in \{4,5\}$임을 알고 있고, 따라서 당신$_2$에게 $\omega\in \{3,4\}\cup\{5\}$일 것임을 알고 있고, 그러한 당신$_2$는 생각하기를 나$_2$가 $\omega \in \{1,2,3\}\cup \{4,5\}$를 알 것이라고 생각하며, 그러한 나$_2$는 당신$_3$이 $\omega \in \{1,2\}\cup \{3,4\}\cup \{5\}$임을 안다고 생각한다. 이로부터 $\text{Pr}(E|\{1,2\}) = \text{Pr}(E|\{3,4\}) = \text{Pr}(E|\{5\} ) = x$이다. 마찬가지로, 내가 사건 $E$에 확률 $y$를 부과했음이 공통 지식이라고 하자. 이는 $\text{Pr}(E|\{1,2,3\}) = \text{Pr}(E|\{4,5\}) =y$를 의미한다. 더 일반적으로 말하면, $\mathcal{P}_1 \wedge \mathcal{P}_2 = \{\{1,2,3,4,5\}, \{6,7,8\}\}$ 중에서 $\omega=5$를 포함하는 $P=\{1,2,3,4,5\}$를 고른 다음 그것이 포함하는 $\mathcal{P}_1$ 혹은 $\mathcal{P}_2$의 원소들을 본다. 지금의 예에서 $\mathcal{P}_1$에 속하는 원소들을 $P_1^1=\{1,2,3\}$과 $P_1^2=\{4,5\}$로 표기한다면 $$P=\bigcup_i P_1^i$$ 이고, 공통 지식의 조건에 따르면 다음 등식을 얻는다: $$\text{Pr}(E|P_1^i) = \frac{\text{Pr}(E \cap P_1^i)}{\text{Pr}(P_1^i)} = x.$$ 단, $x>0$이고 $E \cap P_1^i = \emptyset$인 경우는 $0/0$ 꼴이 되므로 예로 들기에 적합치 않다는 점에 유의. 이제 식을 정리한 후 $i$에 대해 더하면, 분할의 성질상 확률도 바로 더해져서 아래의 식을 얻는다: \begin{eqnarray*} \text{Pr}(E\cap P_1^i) &=& x \text{Pr}(P_1^i)\\ \sum_i \text{Pr}(E\cap P_1^i) &=& x \sum_i \text{Pr}(P_1^i)\\ \text{Pr}(E\cap P) &=& x \text{Pr}(P)\\ \frac{\text{Pr}(E\cap P)}{\text{Pr}(P)} &=& x. \end{eqnarray*} 마찬가지로 당신이 $E$에 지정한 확률 $y$가 공통 지식이라고 하자. 사전 확률 분포가 같아서 $\text{Pr}(P)$와 $\text{Pr}(E \cap P)$가 위에서 $x$에 대해 계산할 때와 일치한다면, 같은 과정을 거쳐 $$\frac{\text{Pr}(E\cap P)}{\text{Pr}(P)} = y$$ 임을 얻는다. 그렇다면 $x=y$이다. 따라서 두 사람이 같은 사전 확률 분포를 가지고 있고 사건 $E$에 대한 그들의 사후 확률 분포가 공통 지식이라면, 그 사후 확률 분포는 일치한다. ======간접 의사소통====== 돌아가며 자신의 사후 확률을 공표하는 방법으로 사후 확률이 공통 지식이 되게끔 할 수 있다. 그때 그때 사후 확률의 결론에 이르는 과정을 말할 필요는 없다. $\Omega = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$이고 각각의 상태가 $1/9$의 사전 확률을 부여 받았다고 하자. 나의 정보 분할은 $\mathcal{P}_1 = \{\{1,2,3\}, \{4,5,6\}, \{7,8,9\}\}$이고 당신의 정보 분할은 $\mathcal{P}_2 = \{\{1,2,3,4\}, \{5,6,7,8\}, \{9\}\}$이다. 실제 세계의 상태는 $\omega=1$이다. =====첫 번째 예===== 사건이 $E = \{3,4\}$이라고 하자. 먼저 나의 차례에서 나는 사후 확률이 $\text{Pr}(E \cap \{1,2,3\}) / \text{Pr}(\{1,2,3\}) = 1/3$이라고 말한다. 당신은 나의 정보 분할 $\mathcal{P}_1$로부터 이 말이 $\{1,2,3\}$ 혹은 $\{4,5,6\}$일 때 가능함을 알 것이다. 또 당신은 $\omega$가 $\{1,2,3,4\}$에 속한다는 사실을 알기 때문에, 그 중 어느 경우든 내가 $1/3$로 말할 것임 역시 알고 있었을 것이다. 당신에게는 내 발언이 주는 정보 가치가 없었던 셈이다. 당신의 차례에 당신은 사후 확률을 $\text{Pr}(E \cap \{1,2,3,4\}) / \text{Pr}(\{1,2,3,4\}) = 1/2$로 말한다. 이는 $\omega \in \{1,2,3,4\}$임을 내게 말해준다. 그러나 나는 이보다 더 세밀하게 $\omega \in \{1,2,3\}$임을 알고 있으므로 이는 내게 별 정보 가치가 없다. 그래서 나는 돌아오는 차례에서 $1/3$을 다시 말한다. 그런데 이제 이 사실은 당신에게 $\omega \neq 4$임을 알려준다. 그 이유는 이렇다. 당신은 처음에 $\omega$가 $4$일 수도 있다고 생각했고, 내가 $1/3$을 말한 것은 $\{4,5,6\}$을 생각할 때 여전히 $\omega=4$라는 가능성을 배제해주지 못했다. 그런데 정말로 $\omega=4$였다면, 당신이 $1/2$을 말함으로써 $\omega$가 $5$나 $6$이 아니라는 사실을 알려주었을 때 나는 답 $\omega$가 $\{4,5,6\}$ 중 $4$라는 사실을 확신하고 $E$의 사후 확률을 $1$로 답했을 것이다. 내가 그렇게 하지 않고 $1/3$을 다시 말했다는 것은 거꾸로 $\omega \neq 4$임을 당신에게 알려주는 것이다. 따라서 나의 답변을 고려에 넣은 당신은 $\{1,2,3\}$과 $\{4\}$를 구분할 수 있게 된다. 당신 역시 다음 차례에서는 $1/3$을 말하고, 그 뒤로 우리는 서로 $1/3$을 계속 말하는 상태로 수렴할 것이다. =====두 번째 예===== $E = \{1,5,9\}$라면 내 쪽에서는 이 사건 $E$의 사후 확률로서 $\text{Pr}(E\cap \{1,2,3\}) / \text{Pr}(\{1,2,3\}) = 1/3$이라고 말할 것이다. 사실 $\omega$의 값이 무엇이든 나는 같은 답을 했을 것이므로, 이는 당신에게 별다른 정보를 주지 못한다. 당신이 말할 차례가 되었다. 당신은 $\text{Pr}(E\cap \{1,2,3,4\}) / \text{Pr}(\{1,2,3,4\}) = 1/4$이라고 말할 것이다. 나는 이미 더 자세하게 $\omega \in \{1,2,3\}$임을 알고 있으므로 이는 내게 별 정보 가치가 없다. 그래서 나는 두 번째로 $1/3$을 말한다. 당신은 내 말로부터 $\omega=4$를 배제할 수 있을까? $\omega=4$였더라면 당신이 상상한 나$_2$는 처음에 $\text{Pr}(E\cap \{4,5,6\}) / \text{Pr}(\{4,5,6\}) = 1/3$이라고 실제와 같은 값을 말하고, 나$_2$의 생각 속의 당신$_2$는 $\omega$가 $4$, $5$, $6$ 중 어느 값이든 $\text{Pr}(E\cap \{1,2,3,4\}) / \text{Pr}(\{1,2,3,4\}) = \text{Pr}(E\cap \{5,6,7,8\}) / \text{Pr}(\{5,6,7,8\}) = 1/4$로 같은 값을 말했을 것이다. 첫 번째 예에서는 $\{1,2,3,4\}$와 $\{5,6,7,8\}$이 주는 값이 달랐기에 나$_2$가 후자의 가능성을 배제하면서 $\{4\}$와 $\{5,6\}$을 구분했고, $\omega=4$로부터 사후 확률을 $1$로 말할 것으로 기대되었다. 이것이 실제 일어난 일과 다르므로 당신은 $\omega=4$가 불가능함을 깨달았다. 그러나 지금의 경우 $\{1,2,3,4\}$와 $\{5,6,7,8\}$이 주는 값이 같기 때문에 이런 일은 벌어지지 않는다. 당신은 아직 $4$를 배제할 수 없기 때문에 두 번째 발언에서도 $1/4$를 말한다. 그런데 당신의 상상 속 나$_2$가 생각하는 당신$_2$는 $\omega \in \{1,2,3,4\} \cup \{5,6,7,8\}$인 것만 알고 있고, 그래서 당신$_2$는 머릿속으로 나$_3$이 $\{7,8,9\}$도 가능성에 넣고 있을 것으로 생각할 것이다. 나의 첫 답변 $1/3$은 이 가능성을 소멸시키지 못한다. 그러나 당신의 첫 답변 $1/4$은 $\omega \neq 9$임을 말해준다. 그래서 나$_3$은 $\{7,8\}$과 $\{9\}$를 구분하게 된다. 내가 두 번째로 말한 $1/3$은 답 $\omega$가 $\{7,8\}$에도 없음을 알려준다. 그래서 당신$_2$는 $\{5,6\}$과 $\{7,8\}$을 구분하게 된다. 당신이 두 번째로 $1/4$을 말한 것은 $\omega$가 $\{5,6\}$에도 없음을 알려준다. 그러므로 나$_2$는 $\{4\}$와 $\{5,6\}$을 구분할 수 있게 된다. $\omega=4$였더라면 당신 머릿속의 나$_2$는 사후 확률을 $1$로 말했을 것이다. 이와 달리 내가 세 번째로 $1/3$을 말하면, 그때 드디어 당신은 $\omega \neq 4$임을 알게 된다. 그 다음부터는 양쪽에서 $1/3$을 말하는 것으로 수렴한다. =====정식화===== 나의 정보 분할이 $\mathcal{P}^\alpha$이고 당신의 정보 분할이 $\mathcal{P}^\beta$라고 하자. $P^\alpha(\omega)$는 정보 분할 $\mathcal{P}^\alpha$에서 $\omega$를 포함하는 원소를 말한다. 예를 들어 $\mathcal{P}^\alpha = \{\{1,2,3\}, \{4,5,6\}, \{7,8,9\}\}$라면 $\omega=1$일 때 $P^\alpha(\omega) = \{1,2,3\}$. $\omega$를 사용해서 골라내지 않을 때에는 아래 첨자를 가지고 원소를 가리킨다. 즉 $P_2^\alpha = \{4,5,6\}$이다. 구체적인 계산을 위해서는 위 두 번째 예를 고려하도록 하겠다. ====$t=1$==== 제일 처음에 내가 밝히는 사후 확률은 이런 계산의 결과이다: $$q_1^\alpha (\omega) = \frac{\text{Pr}(P^\alpha(\omega) \cap E)}{\text{Pr} (P^\alpha (\omega))} = \frac{\text{Pr}(\{1,2,3\} \cap \{1,5,9\})}{\text{Pr}(\{1,2,3\})} = \frac{1}{3}.$$ 나로 하여금 같은 발언을 하게끔 만드는 집합을 $a_1$이라고 부르자: $$a_1 = \left\{ k \Bigg| \frac{\text{Pr}(P_k^\alpha \cap E)}{\text{Pr}(P_k^\alpha)} = q_1^\alpha (\omega) \right\} = \{1,2,3\}.$$ 당신은 나의 발언을 고려에 넣고 다음처럼 사후 확률을 밝힌다: $$q_1^\beta(\omega) = \frac{\text{Pr}\left[ \left( P^\beta(\omega) \cap \bigcup_{k\in a_1} P_k^\alpha \right) \cap E \right]}{\text{Pr}\left( P^\beta(\omega) \cap \bigcup_{k\in a_1} P_k^\alpha \right)} = \frac{\text{Pr}(\{1,2,3,4\} \cap \{1,5,9\})}{\text{Pr}(\{1,2,3,4\})} = \frac{1}{4}.$$ 당신으로 하여금 이런 발언을 하게끔 하는 집합을 $b_1$이라고 부르자: $$b_1 = \left\{ k \Bigg| \frac{\text{Pr} \left[ \left(P_l^\beta \cap \bigcup_{k\in a_1} P_k^\alpha \right) \cap E \right]}{\text{Pr} \left(P_l^\beta \cap \bigcup_{k\in a_1} P_k^\alpha \right)} = q_1^\beta (\omega) \right\} = \{1,2\}.$$ 이는 당신의 첫 발언인 $1/4$로부터 $\omega \notin \{9\}$가 알려졌음을 의미한다. ====$t=2$==== 다음 차례가 돌아오면 나의 발언은 아래와 같고 $$q_2^\alpha(\omega) = \frac{\text{Pr}\left[ \left( P^\alpha(\omega) \cap \bigcup_{l\in b_1} P_l^\beta \right) \cap E \right]}{\text{Pr}\left( P^\alpha(\omega) \cap \bigcup_{l\in b_1} P_l^\beta \right)} = \frac{\text{Pr} \left[\left(\{1,2,3\} \cap \{1,2,3,4,5,6,7,8\} \right) \cap \{1,5,9\} \right]}{\text{Pr} \left(\{1,2,3\} \cap \{1,2,3,4,5,6,7,8\} \right)} = \frac{1}{3},$$ 이에 따라 새롭게 정의되는 집합은 $$a_2 = \left\{ k \Bigg| \frac{\text{Pr}\left[ \left( P_k^\alpha \cap \bigcup_{l\in b_1} P_l^\beta \right) \cap E \right]}{\text{Pr}\left( P_k^\alpha \cap \bigcup_{l\in b_1} P_l^\beta \right)} = q_2^\alpha (\omega) \right\} = \{1,2\}$$ 이다. 이로부터 $\{7,8,9\}$가 사라졌음을 알 수 있다. 즉 $\omega$의 후보군으로부터 $7$과 $8$이 추가로 제외되었다. 또 당신의 두 번째 발언은 $$q_2^\beta(\omega) = \frac{\text{Pr}\left[ \left( P^\beta(\omega) \cap \bigcup_{l\in a_1} P_l^\alpha \right) \cap E \right]}{\text{Pr}\left( P^\beta(\omega) \cap \bigcup_{l\in a_1} P_l^\alpha \right)} = \frac{1}{4}$$ 이며 이에 따라 새롭게 정의되는 집합은 아래와 같다: $$b_2 = \left\{ k \Bigg| \frac{\text{Pr}\left[ \left( P_k^\beta \cap \bigcup_{l\in a_2} P_l^\alpha \right) \cap E \right]}{\text{Pr}\left( P_k^\beta \cap \bigcup_{l\in a_2} P_l^\alpha \right)} = q_2^\beta (\omega) \right\} = \{1\}.$$ 이는 $\{5,6,7,8\}$ 역시 배제할 수 있음을 뜻한다. $7$과 $8$은 이미 위에서 배제되었으므로 실제로 더 삭제된 것은 $5$와 $6$이다. ====$t=3$==== 나의 세 번째 발언은 아래와 같고 $$q_3^\alpha(\omega) = \frac{\text{Pr}\left[ \left( P^\alpha(\omega) \cap \bigcup_{l\in b_2} P_l^\beta \right) \cap E \right]}{\text{Pr}\left( P^\alpha(\omega) \cap \bigcup_{l\in b_2} P_l^\beta \right)} = \frac{1}{3},$$ 이에 따라 새롭게 정의되는 집합은 $$a_3 = \left\{ k \Bigg| \frac{\text{Pr}\left[ \left( P_k^\alpha \cap \bigcup_{l\in b_2} P_l^\beta \right) \cap E \right]}{\text{Pr}\left( P_k^\alpha \cap \bigcup_{l\in b_2} P_l^\beta \right)} = q_3^\alpha (\omega) \right\} = \{1\}$$ 이다. 따라서 내가 세 번째로 $1/3$를 말함으로 인해 $4$도 $\omega$의 가능성으로부터 제외되었다. 한편 당신의 세 번째 발언은 $$q_3^\beta(\omega) = \frac{\text{Pr}\left[ \left( P^\beta(\omega) \cap \bigcup_{l\in a_3} P_l^\alpha \right) \cap E \right]}{\text{Pr}\left( P^\beta(\omega) \cap \bigcup_{l\in a_3} P_l^\alpha \right)} = \frac{\text{Pr} \left[ \left( \{1,2,3,4\} \cap \{1,2,3\} \right) \cap \{1,5,9\} \right]}{\text{Pr} \left( \{1,2,3,4\} \cap \{1,2,3\} \right)} = \frac{1}{3}$$ 이며 이에 따라 새롭게 정의되는 집합은 아래와 같다: $$b_3 = \left\{ k \Bigg| \frac{\text{Pr}\left[ \left( P_k^\beta \cap \bigcup_{l\in a_3} P_l^\alpha \right) \cap E \right]}{\text{Pr}\left( P_k^\beta \cap \bigcup_{l\in a_3} P_l^\alpha \right)} = q_3^\beta (\omega) \right\} = \{1\}.$$ 양쪽의 발언은 $1/3$로 수렴했다. ====일반적인 $t$==== $t$번째 차례가 돌아오면 나의 발언은 아래와 같고 $$q_t^\alpha(\omega) = \frac{\text{Pr}\left[ \left( P^\alpha(\omega) \cap \bigcup_{l\in b_{t-1}} P_l^\beta \right) \cap E \right]}{\text{Pr}\left( P^\alpha(\omega) \cap \bigcup_{l\in b_{t-1}} P_l^\beta \right)}$$ 이에 따라 새롭게 정의되는 집합은 $$a_t = \left\{ k \Bigg| \frac{\text{Pr}\left[ \left( P_k^\alpha \cap \bigcup_{l\in b_{t-1}} P_l^\beta \right) \cap E \right]}{\text{Pr}\left( P_k^\alpha \cap \bigcup_{l\in b_{t-1}} P_l^\beta \right)} = q_t^\alpha (\omega) \right\}.$$ 또 당신의 $t$번째 발언은 $$q_t^\beta(\omega) = \frac{\text{Pr}\left[ \left( P^\beta(\omega) \cap \bigcup_{l\in a_t} P_l^\alpha \right) \cap E \right]}{\text{Pr}\left( P^\beta(\omega) \cap \bigcup_{l\in a_t} P_l^\alpha \right)}$$ 이며 이에 따라 새롭게 정의되는 집합은 아래와 같다: $$b_t = \left\{ k \Bigg| \frac{\text{Pr}\left[ \left( P_k^\beta \cap \bigcup_{l\in a_t} P_l^\alpha \right) \cap E \right]}{\text{Pr}\left( P_k^\beta \cap \bigcup_{l\in a_t} P_l^\alpha \right)} = q_t^\beta (\omega) \right\}.$$ ====수렴의 증명==== 어떤 $n$에서 $a_{n+1} = a_n$이고 $b_{n+1} = b_n$이면 $q_{n+1}^\alpha(\omega) = q_{n+1}^\beta(\omega)$임을 보일 수 있다. 정의상 $\forall k\in a_{n+1}$에 대해 다음이 성립한다: $$\text{Pr}\left[ \left( P_k^\alpha \cap \bigcup_{l\in b_n} P_l^\beta \right) \cap E \right] = q_{n+1}^\alpha (\omega) \times \text{Pr} \left( P_k^\alpha \cap \bigcup_{l\in b_n} P_l^\beta \right).$$ 가정상 $a_n = a_{n+1}$이므로 이 식은 $\forall k \in a_n$에 대해서도 성립한다. 따라서 양변을 모든 $k$에 대해 더하면 \begin{eqnarray*} \sum_{k \in a_n} \text{Pr}\left[ \left( P_k^\alpha \cap \bigcup_{l\in b_n} P_l^\beta \right) \cap E \right] &=& q_{n+1}^\alpha (\omega) \sum_{k \in a_n} \text{Pr} \left( P_k^\alpha \cap \bigcup_{l\in b_n} P_l^\beta \right)\\ \text{Pr}\left[ \left( \bigcup_{k \in a_n} P_k^\alpha \cap \bigcup_{l\in b_n} P_l^\beta \right) \cap E \right] &=& q_{n+1}^\alpha (\omega) \text{Pr} \left( \bigcup_{k \in a_n} P_k^\alpha \cap \bigcup_{l\in b_n} P_l^\beta \right). \end{eqnarray*} 마찬가지로, $\forall l \in b_{n+1}$에 대해 정의상 다음이 성립하는데 $$\text{Pr}\left[ \left( P_l^\beta \cap \bigcup_{k\in a_{n+1}} P_k^\alpha \right) \cap E \right] = q_{n+1}^\beta (\omega) \times \text{Pr} \left( P_l^\beta \cap \bigcup_{k\in a_{n+1}} P_k^\alpha \right),$$ $a_n = a_{n+1}$과 $b_n = b_{n+1}$이라 하였으므로 다음을 얻는다: \begin{eqnarray*} \sum_{l \in b_n} \text{Pr}\left[ \left( P_l^\beta \cap \bigcup_{k\in a_n} P_k^\alpha \right) \cap E \right] &=& q_{n+1}^\beta (\omega) \sum_{l \in b_n} \text{Pr} \left( P_l^\beta \cap \bigcup_{k\in a_n} P_k^\alpha \right)\\ \text{Pr}\left[ \left( \bigcup_{l \in b_n} P_l^\beta \cap \bigcup_{k\in a_n} P_k^\alpha \right) \cap E \right] &=& q_{n+1}^\beta (\omega) \text{Pr} \left( \bigcup_{l \in b_n} P_l^\beta \cap \bigcup_{k\in a_n} P_k^\alpha \right). \end{eqnarray*} 식들을 비교해보면 $q_{n+1}^\alpha(\omega) = q_{n+1}^\beta(\omega)$라는 결론을 얻는다. 다음과 같은 포함 관계가 성립하므로 $$a_1 \supset a_2 \supset \ldots \supset a_t \supset a_{t+1} \ldots$$ $$b_1 \supset b_2 \supset \ldots \supset b_t \supset b_{t+1} \ldots,$$ 유한한 시간 안에 수렴이 일어날 것이다. ======생각할 점들======= =====서로의 사후 확률을 아는 것만으로는 불충분===== $\Omega = \{1,2,3,4\}$이고 각 상태마다 같은 사전 확률 $1/4$을 지정했다고 하자. 나의 정보 분할은 $\mathcal{P}_1 = \{\{1,2\}, \{3,4\}\}$이고 당신의 정보 분할은 $\mathcal{P}_2 = \{\{1,2,3\}, \{4\}\}$라고 하자. 사건은 $E = \{1,4\}$이고, 실제 상태가 $\omega=1$이다. 나는 상태가 $1$ 또는 $2$임을 안다. 따라서 나에게 사건 $E$의 확률은 $P(E|\{1,2\}) = P(\{1,4\} \cap \{1,2\}) / P(\{1,4\}) = P(\{1\}) / P(\{1,4\}) = \frac{1/4}{1/2} = 1/2$이다. 당신은 내 사후 확률이 그렇다는 것을 아는데, 사실 $\omega$가 $\Omega$ 중의 무엇이든 간에 이렇게 계산한 $E$의 확률은 1/2이기 때문이다. 당신은 상태가 $1$, $2$, 혹은 $3$ 중의 하나임을 안다. 따라서 당신이 보는 사건 $E$의 확률은 $1/3$이다. 나는 $\omega \in \{1,2\}$임을 알고, 따라서 당신에게는 $\omega \in \{1,2,3\}$임을 안다. 그러므로 당신이 보는 $E$의 확률이 $1/3$임을 나도 안다. 당신이 나의 사후 확률을 알고 나도 당신의 사후 확률을 알지만 두 값은 같지 않고, 공통 지식이 아니다. 예컨대 당신은 세계의 상태가 $3$일 수도 있다고 생각한다. 그래서 당신은 상상하기를, 나$_2$가 상태를 $3$이나 $4$로 생각할 수 있다고 여긴다. 나$_2$가 상태를 $3$이라 상상한다면 그 상상 속에서 당신$_2$의 사후 확률이 $1/3$이라 생각할 것이고, 상태를 $4$라 상상한다면 당신$_2$의 사후 확률이 $1$이라고 생각할 것이다. 이것이 당신이 머릿속에서 나$_2$에 대해 가진 생각이다. =====사후 확률이 공통 지식임은 우리가 모든 것을 앎을 의미하지 않는다===== 우리가 하나씩 동전을 들고 던진다고 하자. 우리가 관심을 두는 사건은 두 동전이 같은 면이 나올 때이다. 던져 보니 둘 다 앞면이 나왔다고 하자. 앞서의 표기법으로 적어 보면, $\{1=HH, 2=HT, 3=TH, 4=TT\}$에서 나의 정보 분할은 $\mathcal{P}_1 = \{\{1,2\}, \{3,4\}\}$이고 당신의 정보 분할은 $\mathcal{P}_2 = \{\{1,3\}, \{2,4\}\}$이며 사건은 $E = \{1,4\}$, 실제 상태는 $\omega = 1$인 상황이다. 네 개의 상태는 각기 $1/4$의 사전 확률을 부여받았다. 나는 두 동전의 면이 일치할 확률이 $1/2$라고 믿는다. 당신도 그것을 알고, 나도 당신이 안다는 사실을 안다. 계속하여 추론 과정을 진행해보면 $P = \{1,2,3,4\}$가 되어 나의 사후 확률이 $\text{Pr}(E \cap P) / \text{Pr}(P) = 1/2$임은 공통 지식이다. 당신의 사후 확률이 $1/2$임도 공통 지식이다. 간접 의사소통을 시도한다면 서로가 "$1/2$"을 말하며 수렴한다. 그러나 만일 우리 각자의 동전 면에 대한 정보를 공유했더라면 (직접 의사소통) $\{1,2\} \cap \{1,3\} = \{1\}$이므로, 우리는 두 동전이 일치했음을 확률 $1/2$이 아니라 확률 $1$로 알게 되었을 것이다. 이는 직접 의사소통과 간접 의사소통에서 도달하는 결과가 일반적으로 다름을 말해준다. 그러나 이것은 상당히 특수한 반례이고, 만일 사건 $E$가 무작위적으로 선택된다면 거의 언제나 같은 결과로 수렴한다(Geanakoplos & Polemarchakis). ======참고문헌====== * D. Quint, //Five Beautiful Results in Micro Theory, With Proofs// [[https://www.ssc.wisc.edu/~dquint/econ698|(link)]] * John Geanakopos, //Common Knowledge//, Journal of Economic Perspectives 6, 53 (1992). * John D. Geanakoplos and Heraklis M. Polemarchakis, //We can't disagree forever//, Journal of Economic Theory 28, 192 (1982).