======구면 $p$-스핀 유리 모형======
이 모형의 해밀토니안은 [[물리:p-스핀_유리_모형|$p$-스핀 유리 모형]]과 같다. 단 한 가지 차이는, 이 모형에서는 스핀 변수가 $-\infty$부터 $\infty$까지 실수의 값을 가질 수 있다는 것이다.

복제 방법을 통한 정적 분석, 동역학적 분석, 그리고 [[물리:tap_방정식|TAP 방정식]]이라는 세 가지의 다른 방법을 사용해서 모형을 분석해보자.

======정적 분석======
=====복제 방법=====

$p=3$에서 하나의 분배함수를 무질서에 대해 평균한다면 다음처럼 계산된다:
\begin{eqnarray*}
\overline{Z} &=& \int D\sigma \prod_{i<j<k} \int dJ_{ijk} \exp \left[ -J_{ijk}^2 \frac{N^p}{p!} + \beta J_{ijk} \sigma_i \sigma_j \sigma_k \right]\\
&\approx& \int D\sigma \exp\left[ \frac{\beta^2}{4N^{p-1}} \left( \sum_i \sigma_i^2 \right)^p \right]\\
&\sim& \exp \left[ N\frac{\beta^2}{4} \right] \Omega.
\end{eqnarray*}
여기에서 $\Omega$는 구면 조건 $\sum_i \sigma_i^2 = N$에 의해 생기는 초구의 면적이다.
둘째 줄로 넘어올 때에
$$p! \sum_{i<j<k}^N \approx \sum_{ijk}^N$$
의 근사를 사용했고, 적분의 결과로 나오는 계수는 생략했다. $\ln \overline{Z}$로 자유 에너지를 구하면, 이는 상호작용의 무질서가 열풀림(annealing) 과정 안에 있어 스핀과 같은 시간 척도에서 변화한다고 가정한 것에 대응된다.

담금질된(quenched) 무질서를 다루기 위해서는 $\overline{\ln Z}$이 필요하다. $n$개의 복제본에 대해 마찬가지의 계산을 수행하면 다음과 같다:
\begin{eqnarray*}
\overline{Z^n} &=& \int D\sigma_i^n \prod_{i<j<k} \int dJ_{ijk} \exp \left[ -J_{ijk}^2 \frac{N^p}{p!} + \beta J_{ijk} \sum_{a=1}^n \sigma_i^a \sigma_j^a \sigma_k^a \right]\\
&\sim& \int D\sigma_i^a \prod_{i<j<k} \exp\left[ \frac{\beta^2 p!}{4N^{p-1}} \sum_{ab}^n \sigma_i^a \sigma_i^b \sigma_j^a \sigma_j^b \sigma_k^a \sigma_k^b \right]\\
&\approx& \int D\sigma_i^a \exp\left[ \frac{\beta^2}{4N^{p-1}} \sum_{ab}^n \left( \sum_{i=1}^{N} \sigma_i^a \sigma_i^b \right)^p \right]\\
&\sim& \int DQ^{ab} D\lambda^{ab} \exp [-N G(Q,\lambda)].
\end{eqnarray*}
여기에서 $Q$는 $Q^{ab}$를 원소로 가지는 $n\times n$ 행렬이며, 마찬가지로 $\lambda$는 $\lambda^{ab}$를 원소로 가지는 $n\times n$ 행렬이다.
[[물리:p-스핀_유리_모형|$p$-스핀 유리 모형]]에서 했던 것처럼 이를 형태로 정리해서 적어보면
$$\overline{Z^n} \sim \int DQ^{ab} D\lambda^{ab} D\sigma_i^a \exp\left[ \frac{\beta^2 N}{4} \sum_{ab} \left(Q^{ab}\right)^p + N\sum_{ab} \lambda^{ab} Q^{ab} - \sum_i \sum_{ab} \lambda^{ab} \sigma_i^a \sigma_i^b \right].$$
모든 복제본의 스핀 변수 $\{ \sigma_i^a \}$들에 대해 적분을 수행하면 (대각합의 역할) 다음의 결과를 얻는데
\begin{eqnarray*}
\int D\sigma_i^a \exp \left( -\sum_i \sum_{ab} \sigma_i^a \lambda^{ab} \sigma_i^b \right) &=& \left[ \int D\sigma^a \exp \left( -\sum_{ab} \sigma^a \lambda^{ab} \sigma^b \right) \right]^N\\
&=& \left\{ (2\pi)^{n/2} \left[\det(2\lambda) \right]^{-1/2} \right\}^N,
\end{eqnarray*}
왜냐하면 [[수학:윅의_정리|가우스 적분]]의 성질에 따라 다음 식이 성립하기 때문이다:
$$\int D\sigma^a \exp \left( - \frac{1}{2} \sum_{ab} \sigma^a \lambda^{ab} \sigma^b \right) = \frac{(2\pi)^{n/2}}{\sqrt{\det \lambda}}.$$
따라서
$$G(Q, \lambda) \approx -\frac{\beta^2}{4} \sum_{ab} \left(Q^{ab}\right)^p - \sum_{ab} \lambda^{ab} Q^{ab} + \frac{1}{2} \ln \det(2\lambda).$$
[[수학:안장점_근사|안장점 근사]]를 사용하면 $\partial G/\partial Q^{ab} = 0$과 $\partial G/\partial \lambda^{ab} = 0$으로부터 각각 다음을 얻는다:
\begin{eqnarray*}
\lambda^{ab} &=& \frac{1}{2} \beta^2 p \left( Q^{ab} \right)^{p-1}\\
Q^{ab} &=& \left[(2\lambda)^{-1}\right]^{ab} = \frac{1}{2} \left(\lambda^{-1}\right)^{ab}.
\end{eqnarray*}
단, $Q^{aa}$는 구면 조건에 의해 값이 $1$로 묶여 있다. 두 방정식을 $Q^{ab}$에 대해 정리하면 다음과 같다.
$$\frac{1}{2}\beta^2 p \left(Q^{ab}\right)^{p-1} + \left( Q^{-1} \right)^{ab} = 0.$$

/*
=====$n$개의 복제본에 대한 분배함수=====
[[물리:p-스핀_유리_모형|$p$-스핀 유리 모형]]을 참고하면 $n$개의 복제본에 대한 분배함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$\overline{Z^n}=\text{Tr}_{\sigma}\exp\left[\frac{(\beta J)^2}{4}N\sum_{\alpha\beta}\frac{p!}{N^p}\sum_{i_1<\cdots<i_p}\sigma_{i_1}^\alpha\sigma_{i_1}^\beta\cdots\sigma_{i_p}^\alpha\sigma_{i_p}^\beta+\beta h\sum_{i,a}\sigma_i^a\right]$$
$i_1,\cdots,i_p$에 대한 합을 다음과 같이 나누어 쓰자.
$$p!\sum_{i_1<\cdots<i_p} = \sum_{i_1,\cdots,i_p}-\frac{p(p-1)}2\sum_{i_1,i_1\neq i_3,\cdots}$$
이렇게 두고 분배함수를 다시 쓰면
$$\overline{Z^n}=\text{Tr}_{\sigma}\exp\left[\frac{(\beta J)^2}{4}N\sum_{\alpha\beta}\left\{\frac1{N^p}\left(\sum_i\sigma_i^\alpha\sigma_i^\beta\right)^p-\frac{p(p-1)}2\frac1{N^{p-2}}\left(\sum_i\sigma_i^\alpha\sigma_i^\beta\right)^{p-2}\left(\sum_i(\sigma_i^\alpha\sigma_i^\beta)^2\right)\right\}+\beta h\sum_{i,a}\sigma_i^a\right]$$
가 된다. $q_{\alpha\beta}=N^{-1}\sum_i\sigma_i^\alpha\sigma_i^\beta$로 정의하고, 이를 만족하기 위한 구속조건
\begin{align*}
1=&\int\prod_{\alpha<\beta}dq_{\alpha\beta}\delta\left(Nq_{\alpha\beta}-\sum_{i=1}^N\sigma_i^\alpha\sigma_i^\beta\right)\\
=&\int\prod_{\alpha<\beta}dq_{\alpha\beta}\int_{-i\infty}^{+i\infty}\prod_{\alpha<\beta}\frac N{2\pi i}d\lambda_{\alpha\beta}\exp\left[-\frac12\sum_{\alpha\neq\beta}\lambda_{\alpha\beta}\left(Nq_{\alpha\beta}-\sum_{i=1}^N\sigma_i^\alpha\sigma_i^\beta\right)\right]
\end{align*}
과 스핀에 대한 대각합
\begin{align*}
\text{Tr}_\sigma =& \int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{i,\alpha}d\sigma_i^\alpha\prod_\alpha\delta\left(N-\sum_{i=1}^N(\sigma_i^\alpha)^2\right)\\
=&\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{i,\alpha}d\sigma_i^\alpha\int_{-i\infty}^{+i\infty}\prod_\alpha\frac{d\lambda_{\alpha\alpha}}{4\pi i}\exp\left[-\frac12\sum_\alpha\lambda_{\alpha\alpha}\left(Nq_{\alpha\alpha}-\sum_{i=1}^N(\sigma_i^\alpha)^2\right)\right]
\end{align*}
을 넣어서 쓰면 분배함수를
\begin{align*}
\overline{Z^n}=&\int\prod_{\alpha<\beta}dq_{\alpha\beta}\int_{-i\infty}^{+i\infty}\prod_{\alpha<\beta}\frac N{2\pi i}d\lambda_{\alpha\beta}\int_{-i\infty}^{+i\infty}\prod_\alpha\frac{d\lambda_{\alpha\alpha}}{4\pi i}\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{i,\alpha}d\sigma_i^\alpha\\
&\quad\times\exp\left[-\frac N2\sum_{\alpha\beta}\lambda_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}+\frac{(\beta J)^2}4N\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^p-\frac{(\beta J)^2}{8N}p(p-1)\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^{p-2}\left(\sum_i(\sigma_i^\alpha\sigma_i^\beta)^2\right)+\frac12\sum_{\alpha\beta}\lambda_{\alpha\beta}\sum_i\sigma_i^\alpha\sigma_i^\beta+\beta h\sum_{i,\alpha}\sigma_i^\alpha\right]
\end{align*}
와 같이 쓸 수 있다.
=====스핀에 대한 대각합=====
분배함수 중 스핀 변수와 관련된 부분을 모으면
\begin{align*}
&\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{i,\alpha}d\sigma_i^\alpha
\exp\left[-\frac{(\beta J)^2}{8N}p(p-1)\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^{p-2}\left(\sum_i(\sigma_i^\alpha\sigma_i^\beta)^2\right)+\frac12\sum_{\alpha\beta}\lambda_{\alpha\beta}\sum_i\sigma_i^\alpha\sigma_i^\beta+\beta h\sum_{i,\alpha}\sigma_i^\alpha\right]\\
=&\left[\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{\alpha}d\sigma^\alpha
\exp\left[-\frac{(\beta J)^2}{8N}p(p-1)\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^{p-2}(\sigma^\alpha\sigma^\beta)^2+\frac12\sum_{\alpha\beta}\lambda_{\alpha\beta}\sigma^\alpha\sigma^\beta+\beta h\sum_{\alpha}\sigma^\alpha\right]\right]^N
\end{align*}
로 쓸 수 있고, $\beta H_{\text{eff}} = \frac12\sum_{\alpha\beta}\lambda_{\alpha\beta}\sigma^\alpha\sigma^\beta+\beta h\sum_{\alpha}\sigma^\alpha$로 두고 위 식을 전개하면
\begin{align*}
&\left[\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{\alpha}d\sigma^\alpha
e^{\beta H_{\text{eff}}}\exp\left(-\frac{(\beta J)^2}{8N}p(p-1)\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^{p-2}(\sigma^\alpha\sigma^\beta)^2\right)\right]^N\\
\approx&\left[\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{\alpha}d\sigma^\alpha
e^{\beta H_{\text{eff}}}\left(1-\frac{(\beta J)^2}{8N}p(p-1)\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^{p-2}(\sigma^\alpha\sigma^\beta)^2+\mathcal O(N^{-2})\right)\right]^N\\
=&\exp\left[N\log\left\{\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{\alpha}d\sigma^\alpha
e^{\beta H_{\text{eff}}}-\frac{(\beta J)^2}{8N}p(p-1)\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^{p-2}\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{\alpha}d\sigma^\alpha
e^{\beta H_{\text{eff}}}(\sigma^\alpha\sigma^\beta)^2\right\}\right]\\
=&\exp\left[N\log\left(\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{\alpha}d\sigma^\alpha
e^{\beta H_{\text{eff}}}\right)+N\log\left\{1-\frac{(\beta J)^2}{8N}p(p-1)\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^{p-2}\left\langle(\sigma^\alpha\sigma^\beta)^2\right\rangle\right\}\right]\\
\approx&\exp\left[N\log\left(\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{\alpha}d\sigma^\alpha
e^{\beta H_{\text{eff}}}\right)-N\frac{(\beta J)^2}{8N}p(p-1)\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^{p-2}\left\langle(\sigma^\alpha\sigma^\beta)^2\right\rangle\right]
\end{align*}
이고, 지수 위의 첫 번째 항은 가우스 적분
$$\int\prod_\alpha d\sigma_\alpha\exp\left[-\frac12\vec\sigma\cdot\mathbf A\cdot\vec\sigma+\mathbf J\cdot\vec\sigma\right] = \sqrt{\frac{(2\pi)^n}{\det\Lambda}}\exp\left[-\frac12\mathbf J\cdot \mathbf A^{-1}\cdot\mathbf J\right]$$
를 이용해  $J_i = \beta h$, $\mathbf A = -\tilde\Lambda$로 두고 다음과 같이 계산할 수 있다.
\begin{align*}
&\log\left(\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{\alpha}d\sigma^\alpha
e^{\beta H_{\text{eff}}}\right)=\log\left(\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{\alpha}d\sigma^\alpha
\exp\left[\frac12\sum_{\alpha\beta}\lambda_{\alpha\beta}\sigma^\alpha\sigma^\beta+\beta h\sum_{\alpha}\sigma^\alpha\right]\right)\\
=&\frac n2\log(2\pi)-\frac12\log\det(-\tilde\Lambda)+\frac{(\beta h)^2}2\sum_{\alpha\beta}(\tilde\Lambda^{-1})_{\alpha\beta}
\end{align*}
여기서 $(\tilde\Lambda)_{\alpha\beta}=\lambda_{\alpha\beta}$이다. 따라서 분배함수는
$$
\overline{Z^n}=\int\prod_{\alpha<\beta}dq_{\alpha\beta}\int_{-i\infty}^{+i\infty}\prod_{\alpha<\beta}\frac N{2\pi i}d\lambda_{\alpha\beta}\int_{-i\infty}^{+i\infty}\prod_\alpha\frac{d\lambda_{\alpha\alpha}}{4\pi i}
e^{-NG[\mathbf q,\lambda]}
$$
가 된다. 여기서
$$G[\mathbf q,\lambda] = \frac 12\sum_{\alpha\beta}\lambda_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}-\frac{(\beta J)^2}2\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^p-\frac n2\log(2\pi)+\frac{(\beta J)^2}{8N}p(p-1)\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^{p-2}\left\langle(\sigma^\alpha\sigma^\beta)^2\right\rangle+\frac12\log\det(-\tilde\Lambda)+\frac{(\beta h)^2}2\sum_{\alpha\beta}(\tilde\Lambda^{-1})_{\alpha\beta}$$
이다.


=====$\lambda$ 적분(작성중)=====
$b = \beta h$, $\mu=b^2p/2$.

$(\tilde b^2)_{\alpha\beta} = b^2$: $n\times n$ 행렬
\begin{align*}
\log\det(-\tilde\Lambda-\tilde b^2)=&\log\det\left[-\tilde\Lambda(I+\tilde b^2\cdot\tilde \Lambda^{-1})\right]\\
=&\log\det(-\tilde \Lambda)+\log\det(I+\tilde b^2\cdot\tilde\Lambda^{-1})\\
=&\log\det(-\tilde \Lambda)+\text{Tr}\log(I+\tilde b^2\cdot\tilde\Lambda^{-1})\\
\approx&\log\det(-\tilde\Lambda)+\text{Tr }\left(\tilde b^2\cdot\tilde\Lambda^{-1}-\frac{(\tilde b^2\cdot\tilde\Lambda^{-1})^2}2+\mathcal O(n^3)\right)
\end{align*}

극값 조건
$$\langle\sigma^\alpha\sigma^\beta\rangle = q_{\alpha\beta}$$
$$\lambda_{\alpha\beta}+b^2+(\mathbf q^{-1})_{\alpha\beta} = \mathcal O(n)$$

분배함수
$$\overline{Z^n} = e^{nS(\infty)}\int\prod_{\alpha<\beta}\sqrt{\frac N{2\pi}}dq_{\alpha\beta}\exp\left[-NG_0[\mathbf q]-G_1[\mathbf q]+\mathcal O(N^{-1})\right]$$

$$G_0[\mathbf q] = -\frac\mu{2p}\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^p-\frac{b^2}2\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}-\frac12\log\det\mathbf q+\frac{b^4}4\left(\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}\right)^2$$
$$G_1[\mathbf q] = \frac\mu4(p-1)\sum_{\alpha\beta}\left\langle(\sigma^\alpha\sigma^\beta)^2\right\rangle q_{\alpha\beta}^{p-2}+\log\det\mathbf q$$
=====$q$ 적분(작성중)=====

극값 조건
$$\mu q_{\alpha\beta}^{p-1}+b^2+(\mathbf q^{-1})_{\alpha\beta} = 0\qquad\alpha\neq\beta$$

2차항까지 전개
$$\delta^2G_0 = -\frac{\mu(p-1)}2\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^{p-2}(\delta q_{\alpha\beta})^2+\text{Tr}(\mathbf q^{-1}\delta\mathbf q)^2+b^4\left(\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}\right)^2$$

\begin{align*}
\text{Tr}(\mathbf q^{-1}\delta\mathbf q)^2=&\text{Tr}(\mathbf q^{-1}\delta\mathbf q\mathbf q^{-1}\delta\mathbf q)\\
=&\sum_\alpha(\mathbf q^{-1}\delta\mathbf q\mathbf q^{-1}\delta\mathbf q)_{\alpha\alpha}\\
=&\sum_{\alpha\beta\gamma\epsilon}(A\delta_{\alpha\beta}+B)\delta q_{\beta\gamma}(A\delta_{\gamma\epsilon}+B)\delta q_{\epsilon\alpha}\\
=&\sum_{\alpha\beta\gamma\epsilon}\left[A^2\delta_{\alpha\beta}\delta_{\gamma\epsilon}+AB(\delta_{\alpha\beta}+\delta_{\gamma\epsilon})+B^2\right]\delta q_{\beta\gamma}\delta q_{\epsilon\alpha}\\
=&A^2\sum_{\alpha\beta}\delta q_{\alpha\beta}^2 +2AB\sum_{\alpha\beta\gamma}\delta_{\alpha\gamma}\delta_{\gamma\beta}+B^2\left(\sum_{\alpha\beta}\delta q_{\alpha\beta}\right)^2
\end{align*}
$$\delta^2G_0 = -\frac{\mu(p-1)}2\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}^{p-2}(\delta q_{\alpha\beta})^2+A^2\sum_{\alpha\beta}\delta q_{\alpha\beta}^2 +2AB\sum_{\alpha\beta\gamma}\delta_{\alpha\gamma}\delta_{\gamma\beta}+\left(B^2+b^4\right)\left(\sum_{\alpha\beta}q_{\alpha\beta}\right)^2$$
*/
=====복제 대칭 해=====
$Q$가 다음과 같은 구조를 가지고 있다고 하자:
$$Q^{ab} = \left\{
\begin{array}{ll}
1 & \text{if }a=b\\
q_0 & \text{otherwise.}
\end{array}
\right.$$
그 역행렬은 다음처럼 주어진다:
$$\left(Q^{-1}\right)^{ab} = \frac{1}{1-q_0} \delta_{ab} - \frac{q_0}{(1-q_0) \left[ 1+(n-1)q_0 \right]}.$$
그러므로 $n\to 0$에서 $Q^{ab}$가 만족해야 할 식은 이렇다:
$$\frac{1}{2} \beta^2 p q_0^{p-1} - \frac{q_0}{(1-q_0)^2} = 0.$$
이 방정식에서 $q_0=0$는 언제나 해가 되며, 이는 앞에서 보았던 열풀림(annealed) 무질서의 경우와 같은 자유 에너지
$$F = - \lim_{n\to0} \frac{1}{2\beta n} \left[ \frac{\beta^2}{2} \sum_{ab} \left(Q^{ab} \right)^p+ \ln \det Q \right] = -\beta / 4$$
를 준다. 즉 이는 고온의 상자성(paramagnetic) 상에 대응된다.

$\beta$가 충분히 커지면 $q_0 \neq 0$인 해가 나타난다. 그러나 그 점에서 헤세 행렬(hessian)을 구해보면 고윳값 중 음수가 존재하므로 이 답은 불안정한 것으로 판명된다.


=====복제 대칭성 깨짐 해=====
복제 대칭성을 한번 깨뜨려서 행렬 $Q$가 예를 들어 각 그룹 안의 복제본 수가 $m=3$일 때 다음과 같은 구조를 가지고 있다고 하자:
$$Q = \begin{pmatrix}
1 & q_1 & q_1 &  &  &  &  \\
q_1 & 1 & q_1 & & q_0 & & \cdots\\
q_1 & q_1 & 1 &  &  &  &  \\
 & & & 1 & q_1 & q_1 &  \\
 & q_0 & & q_1 & 1 & q_1 &  \\
 & & & q_1 & q_1 & 1 &  \\
 & \vdots & & & & & \ddots \\
\end{pmatrix}.$$
이때 $0\le q_0 \le q_1 \le 1$이고, $n\to0$인 극한에서 $0\le m \le 1$로서, $m$의 값은 최적화를 통해 찾아야 한다. 이제 $F$의 첫 번째 항을 계산해보면
$$\frac{1}{n} \sum_{ab} \left( Q^{ab} \right)^p = \frac{1}{n} \left[ n^2 q_0^p + (q_1^p-q_0^p) m^2 \left( \frac{n}{m} \right) + (1- q_1^p) n\right] \xrightarrow[n\to0]{}1+(m-1) q_1^p - mq_0^p.$$
그리고 두 번째 항의 경우 행렬 $Q$의 고윳값 구조를 알아야 하는데, 고윳값들과 그것들의 겹침수가 다음과 같다:
$$\begin{array}{ll}
\mu_1 = 1-q_1 & \text{degeneracy } d_1 = n-n/m\\
\mu_2 = m(q_1-q_0) + (1-q_1) & \text{degeneracy } d_2 = n/m-1\\
\mu_3 = nq_0 + m (q_1-q_0) + (1-q_1) & \text{degeneracy } d_3 = 1
\end{array}$$
따라서
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{n} \ln \det Q &=& \frac{1}{n} \left( d_1 \ln \mu_1 + d_2 \ln \mu_2 + d_3 \ln \mu_3 \right)\\
&=& \left(1-\frac{1}{m}\right) \ln \left(1-q_1\right) + \left( \frac{1}{m}-\frac{1}{n} \right) \ln\left[ m(q_1-q_0)+(1-q_1)\right] + \frac{1}{n} \ln\left[ nq_0 + m(q_1-q_0) + (1-q_1) \right]\\
&=& \left(1-\frac{1}{m}\right) \ln \left(1-q_1\right) + \frac{1}{m} \ln\left[ m(q_1-q_0)+(1-q_1)\right] + \frac{1}{n} \left\{ \ln\left[ nq_0 + m(q_1-q_0) + (1-q_1) \right] - \ln\left[ m(q_1-q_0)+(1-q_1)\right] \right\}\\
&\xrightarrow[n\to0]{}& \left(1-\frac{1}{m}\right) \ln \left(1-q_1\right) + \frac{1}{m} \ln\left[ m(q_1-q_0)+(1-q_1)\right] + \frac{q_0}{m(q_1-q_0)+(1-q_1)}.
\end{eqnarray*}
따라서
\begin{eqnarray*}
-2\beta F_\text{1RSB} &=& \frac{\beta^2}{2} \left[ 1+(m-1)q_1^p - mq_0^p \right] + \left(1-\frac{1}{m}\right) \ln \left(1-q_1\right) + \frac{1}{m} \ln\left[ m(q_1-q_0)+(1-q_1)\right] + \frac{q_0}{m(q_1-q_0)+(1-q_1)}
\end{eqnarray*}
로서, 이 식은 $q_1\to q_0$ 또는 $m\to 1$인 극한에서 복제 대칭의 경우로 돌아간다.

$\partial F/\partial q_1 = 0$과 $\partial F/\partial m=0$으로부터 다음의 두 식을 얻는다:
$$(1-m) \left\{ \frac{\beta^2}{2} p q_1^{p-1} - \frac{q_1}{(1-q_1)[(m-1)q_1+1]} \right\} = 0$$
$$\frac{\beta^2}{2} q_1^p + \frac{1}{m^2} \ln \left[ \frac{1-q_1}{1-(1-m)q_1} \right] + \frac{q_1}{m[1-(1-m)q_1]} = 0.$$

고온에서는 $q_1=0$만이 유일한 해가 되며($m$은 미정), 이는 상자성 상에 해당한다. 그러나 온도를 낮추어가면 어떤 온도 $T_s$에서 $q_1=q_s \neq 0$인 해가 등장한다 ($m=1$). 온도 $T_s$ 아래에서는 $q_1>q_s$이고 $m<1$이다.

만일 두 번 이상 복제 대칭성을 깨뜨려도 지금의 결과로 돌아오므로, 복제 방법 안에서 더 이상의 복제 대칭성 깨짐은 불필요함을 알 수 있다.


======동역학적 분석======

======TAP 방정식======

======참고문헌======
  * Tommaso Castellani and Andrea Cavagna, //Spin-glass theory for pedestrians//, [[https://doi.org/10.1088/1742-5468/2005/05/P05012|J. Stat. Mech. (2005) P05012]].
  * A. Crisanti & H. -J. Sommers, //The spherical p-spin interaction spin glass model: the statics//, [[https://doi.org/10.1007/BF01309287|Z. Physik B - Condensed Matter 87, 341–354 (1992)]].
  * A. Crisanti, H. Horner & H. -J. Sommers , //The spherical p-spin interaction spin glass model: the dynamics//, [[https://doi.org/10.1007/BF01312184|Z. Physik B - Condensed Matter 92, 257–271 (1993)]].
  * A. Crisanti & H. -J. Sommers, //Thouless-Anderson-Palmer Approach to the Spherical p-Spin Spin Glass Model//, [[https://doi.org/10.1051/jp1:1995164|J. Phys. I France 5 805-813 (1995)]].