이번 게시글에서는 '세부 균형(detailed balance)'의 개념을 받아들일 때 놓치기 쉬운 부분들을 정리하고

평형(equilibrium)계와 비평형(nonequilibrium)계의 정상 상태(steady state)의 차이를 설명하고자 한다.


====== 정상 상태 ======

정상 상태 (stationary state, 또는 steady state)는 말 그대로 시간에 따라 변하지 않는 (independent of time) 상태를 가리킨다.

이를 아래의 '으뜸 방정식(master equation)'으로 이해해보자.

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\frac{\partial p(s,t)}{\partial t} = \sum_{s'}\left[p(s',t)w_{s,s'} - p(s,t)w_{s',s} \right]
$$

여기에서 정상 상태, 즉, 좌변의 시간 변화를 $0$으로 둔다면 아래의 식이 만족된다.

$$
\sum_{s'}\left[p(s',t)w_{s,s'} - p(s,t)w_{s',s} \right] = 0. \qquad \forall s
$$
이는, 미시 상태(microstate) $s$와 (각각이 아닌)'모든 다른' 미시 상태들 사이의 확률 흐름의 총합(net folw of probability)이 $0$임을 의미한다.

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이는 평형 계 뿐 아니라 비평형 계에 해당하는 '비평형 정상 상태(nonequilibrium steady state, NESS)'도 만족하는 식이다.
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====== 평형 상태 ======

통계역학에서 잘 알려져 있는 '정준 모둠(canonical ensemnble)'은 다음의 '볼츠만 분포(Boltzmann distribution)'로 기술된다.

$$
p^{eq}(s)  = \frac{e^{-\beta E(s)}}{Z}
$$

여기에서 $Z$는 분배 함수이다.

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이러한 확률은 '평형' 확률 분포를 기술한다. 평형 상태는 다음을 만족하는 경우에 해당한다.


$$
p(s',t)w_{s,s'} = p(s,t)w_{s',s}. \qquad \forall s,s'
$$

즉, 앞서 본 정상 상태의 조건보다 훨씬 강력한 조건이며, 각 미시 상태(microstate) $s$와 $s'$ 사이의 확률 흐름의 총합(net folw of probability)이 $0$임을 의미한다.

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===== detailed balance의 이해 =====

평형 상태의 조건인 detailed balance를 조금 더 직관적으로 이해하기 위해서, 교통의 흐름에 빗대어 생각해보는 것도 좋다.
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각 상태를 각 지역이라고 하고, 두 지역 $s$와 $s'$를 고려해보자. 평균적으로 지역 $s$에는 $400$대, $s'$에는 $200$대의 차량이 존재한다.

이때, 지역 $s$에서 $s'$으로 차량이 이동할 확률을 $1/4$라고 하면, $s'$에서 $s$로 가는 확률이 정확히 그의 2배인 $1/2$라고 하자.

그렇다면 실제 두 지역 $s$와 $s'$사이를 오가는 차량, 즉 교통량은 얼마일까? 서로 같으며, 그 값은 $400\times \frac{1}{4} = 200 \times \frac{1}{2} = 100$이다. 

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따라서 두 지역에 오고 가는 교통량이 일치하므로, 평균적으로 $s$에 존재하였던 $400$대, $s'$의 $200$대의 차량 수는 유지 된다.

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반면, 여러 지역인 $s,s',s'', ..$ 고려하여 $s$로 부터 '다른 지역들로 나가는 교통량의 총 합'이 '다른 지역들로 부터 $s$를 향해 들어오는 교통량의 총 합'과 일치한다면

그 경우에서도, 평균적으로 $s$에 존재하는 $400$대의 차량 수는 유지될 것이다. 다만, 이 때는 $s$와 $s'$과 같이 두 지역 간의 교통량은 일치하지 않는다.

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===== 평형과 비평형의 차이 =====

마르코프 사슬(Markov chain)으로 기술되는 계가 평형 상태를 만족하여, 그에 해당하는 조건인 $p(s',t)w_{s,s'} = p(s,t)w_{s',s}$을 만족한다는 것의 물리적인 의미를 이해해보자.

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이러한 조건을 만족하는 경우는 '가역(reversible)'이라고 한다. Markov chain 상의 어떠한 두 상태 $s$와 $s'$을 보더라도 그들 사이의 확률 흐름이 일치하기 때문이다.

(확률 이론에 따라, 이러한 성질을 가지면 그는 에르고딕(ergodic)함을 의미하기도 한다.)

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'가역'과 관련하여, 우리에게 익숙한 시간 가역 동역학(time-reversal dynamics)을 떠올려 보자.


그는 아래의 해밀턴 방정식을 따르는 해밀토니안(Hamiltonian)을 기술되는 계다.

$$
\frac{dq_i(t)}{dt} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i(t)},\\
\frac{dp_i(t)}{dt} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i(t)}.
$$
여기에서 $\mathcal{H}$은 계의 해밀토니안이다.

위의 방정식은 시간 $t$의 부호와 운동량 $p_i$의 부호를 동시에 뒤집어주어도 그대로 만족 된다. 

이를 통해, 해밀토니안으로 표현되는 볼츠만 분포를 따르는 평형 계와 가역 마르코프 체인과의 관계를 이해해볼 수 있다.


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===== 비평형 계 =====

위에서 살펴본 것과 같이, 어떤 계가 도달한 정상 상태에서 어느 두 상태 $s$, $s'$이든 단 한 쌍이라도 detailed balance를 만족하지 않는다면, 그는 해당 계가 비평형 정상 상태에 있음을 의미한다.

즉, 정상 상태에서 해당 계의 비평형 상태의 여부를 논하기 위해서는 전체 상태 중에서 한 쌍의 상태라도 detailed balance를 만족하지 않음을 보이면 충분하다.


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또한, 평형 계와 달리 이러한 비평형 계는 정상 상태 확률에 대해서 어떠한 '선험 분포(a priori distribution')가 존재하지 않는다는 점에서도 차이를 갖는다.

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===== 참고 문헌 =====

  * Nonequilibrium statistical physics, Roberto Livi and Paolo Politi, 2017.