'요르단-위그너 변환'이란 양자역학으로 기술되는 현상을 표현하는 스핀모형의 양자 스핀(quantum spin)을 페르미온(fermion)으로 변환하는 방법이다.

이를 통해 1차원 양자 사슬(quantum chain) 등을 정확하게 풀이할 수 있으며, 기존의 해밀토니안(Hamiltonian)으로는 알아내기 어려운 사실을 이해할 수 있다.

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이번 게시글에서는, 요르단-위그너 변환을 공부하기에 앞서 '페르미온'과 '보존'이 갖는 차이를 관계식을 통하여 정리해보고

우리가 학습한 요르단-위그너 변환법을 '가로장이 걸려있는 XY 스핀 사슬 (XY spin chain in a transverse field)'에 적용해보도록 하자.

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====== 페르미온(Fermion)과 보존(Boson) ======

두 운동량 $p_1$과 $p_2$를 가지며, 점유입자수(occupation number) 표현식이 $|n_1 n_2 \rangle$와 같이 표현되는 계를 고려하자.

이때, 해당 상태는 진공 상태(vacuum state)인 $|0\rangle$에 생성 연산자(creation operator)들을 걸어줌으로써 얻을 수 있을 것이므로 아래와 같이 표현 가능하다.

$$
\hat{a}_{p_1}^\dagger |0\rangle = |10\rangle, \ \hat{a}^\dagger |0\rangle = |01\rangle.
$$

여기에 또 다른 입자를, 점유되어 있지 않은 곳에 하나 더 생성해보자:
$$
\hat{a}_{p2}^\dagger \hat{a}_{p1}^\dagger | 0\rangle \propto |11\rangle, \ \hat{a}_{p1}^\dagger \hat{a}_{p2}^\dagger|0 \rangle \propto |11\rangle.
$$
위에서 '비례' 기호($\propto$)는 비례 관계에 대응되는 상수를 아직 정할 수 없기 때문에 표기된 것이다.

위의 과정을 통해 아래의 관계식을 이해할 수 있다:
$$
\hat{a}_{p1}^\dagger \hat{a}_{p2}^\dagger 
= \lambda \hat{a}_{p2}^\dagger \hat{a}_{p1}^\dagger. 
$$
위에서 $\lambda$는 상대적인 비례 상수이다.

이때 우리는 $\lambda = \pm 1$인 경우를 고려하자. 

==== $\lambda = 1$ ====

우선 $\lambda = 1$인 경우는 '보존'에 해당하며, 앞서 우리가 얻은 관계식에 $\lambda$를 대입하면 다음과 같다.

$$
\hat{a}_{p1}^\dagger \hat{a}_{p2}^\dagger 
= \hat{a}_{p2}^\dagger \hat{a}_{p1}^\dagger. 
$$
여기에서 각 아래 첨자를 $i$ 및 $j$로서 일반화된 상태에 대해서 표현하고, 항들을 재배열하면

다음과 같은 commutation relation을 얻을 수 있다.
$$[\hat{a}_i^\dagger, \hat{a}_j^\dagger  ]
= \hat{a}_i^\dagger \hat{a}_j^\dagger 
- \hat{a}_j^\dagger \hat{a}_i^\dagger =0. $$

즉, 이 경우 서로 다른 입자 상태에 대한 생성 연산자는 교환 가능(commute)함을 의미한다. 이와 유사하게 소멸 연산자(annihilation operator)에 대해서도 아래와 같은 관계식을 얻을 수 있다.
$$
[\hat{a}_i, \hat{a}_j ] =0.
$$

==== $\lambda = -1$ ====

우선 $\lambda = -1$인 경우는 '페르미온'에 해당한다. 보존의 경우에 사용했던 연산자 표기($\hat{a}^\dagger, \hat{a}$)와 구별하기 위해 
$\hat{f}^\dagger, \hat{f}$와 같이 표기하여 다음과 같은 관계식을 확인하자:
$$
\left\{ \hat{f}_i^\dagger, \hat{f}_j^\dagger\right\}
\equiv \hat{f}_i^\dagger \hat{f}_j^\dagger+\hat{f}_j^\dagger \hat{f}_i^\dagger =0.
$$
위의 식을 통해서 우리는 페르미온 연산자는 서로 'anticommute'함을 알 수 있다.

즉, 입자의 순서를 바꾸게 된다면 음의 부호$(-)$를 붙여준다. $( \because \hat{f}^\dagger_i \hat{f}^\dagger_j = -\hat{f}^\dagger_j \hat{f}^\dagger_i).$

페르미온은 '파울리 배타원리 (Pauli exclusion principle)'을 따르는데, 이를 위의 식에 $i=j$를 대입하여 확인해볼 수 있다:

$$
\hat{f}^\dagger_i \hat{f}^\dagger_i + \hat{f}^\dagger_i\hat{f}^\dagger_i =0\\

\\

\therefore \hat{f}^\dagger_i\hat{f}^\dagger_i=0.
$$
즉, 동일한 상태에 두 개의 페르미온을 두려고 하는 것은 (완전하게 소멸되므로) 불가능함을 확인할 수 있다.


====== 요르단-위그너 변환(Jordan-Wigner transformation) ======

==== 변환을 사용하는 이유 ====

양자역학으로 기술되는 현상을 다루는 통계역학 모형은 '양자 스핀(quantum spin)'이 포함된 해밀토니안(Hamiltonian)으로 기술되곤 한다.

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다체계 문제(many-body problem)에서는 이러한 양자 스핀은 다루기가 상당히 까다로운데, 그 한 가지 이유는 

각각 보존, 페르미온이 만족하는 관계식인 commutation, anticommuatation을 일반적으로 만족하지 않기 때문이다.

따라서, 기존의 모형을 원활하게 풀이하기 위해서는 새로운 방법이 필요하다.


==== '양자 스핀'에서 '페르미온'으로 ====

1차원에서는, 양자 스핀이 페르미온과 유사한 방식으로 동작하며, 그와 관련하여 Jordan과 Wigner가 발견한 방법은 다음과 같은 내용에서 시작된다. 

각 스핀(signle spin)이 위(up)와 아래(down)를 가리키는 상태는, 각각 페르미온 입자가 점유된(occupied) 상태와 점유되지 않은(empty) 상태로 해석될 수 있다. 이는 아래와 같은 mapping을 가능하게 한다.

$$ 
|\uparrow \rangle \equiv \hat{f}^\dagger | 0\rangle , \quad |\downarrow \rangle \equiv
0\rangle.
$$
(이번 게시글에서는 $\hbar =1 $로 설정하자.)


이때, 스핀을 올리는(spin-raising) 연산자와 스핀을 내리는(spin-lowering) 연산자를 다음과 같은 명시적인 표현법으로 나타낼 수 있겠다.
$$
S^+ =\hat{f}^\dagger=
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{bmatrix} \\
\\
S^- =\hat{f}=
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
$$

또한, 스핀 연산자의 $z$방향 성분은 다음과 같이 작성될 수 있음을 행렬 연산으로 확인할 수 있다.
$$
S_z = \frac{1}{2}\Big[|\uparrow \rangle \langle \uparrow |-|\downarrow  \rangle \langle \downarrow |\Big] \equiv \hat{f}^\dagger \hat{f} - \frac{1}{2}.
$$

가로 방향 스핀 연산자(transverses spin operator)들은 다음과 같이 표현된다.
$$
S_x = \frac{1}{2}(S^+ + S^-) = \frac{1}{2} (\hat{f}^\dagger + \hat{f})\\

S_y = \frac{1}{2i}(S^+ - S^-) = \frac{1}{2i} (\hat{f}^\dagger - \hat{f}).
$$

이때, 아래의 commutation relation을 행렬 표기법을 통하여 간단히 확인해볼 수 있다.
$$
[S_a, S_b] = i\epsilon_{abc}S_c.
$$
따라서 스핀 연산자는 서로 교환이 가능하지 않다.

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다만 여기에서 스핀 연산자가 갖는 특이한 부분이 있으며

그는 다음과 같이 anticommutation relation은 만족 된다는 것이다.

$$
\{S_a, S_b\}=\frac{1}{4}\{\sigma_a,\sigma_b\} = \frac{1}{2}\delta_{ab}.
$$
위에서 $\sigma_i$는 '파울리 스핀 연산자'로서, 행렬 표기를 통해 아래와 같이 정의된다.
$$ \sigma_x=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}, \
\sigma_y=\begin{pmatrix}
0 & -i\\
i & 0
\end{pmatrix}, \
\sigma_z =\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix} \ . $$

$$ \sigma_+=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix}, \
\sigma_-=\begin{pmatrix}
0 & 0\\
1 & 0
\end{pmatrix}\ . $$

$\\$
이러한 anticommuation relation은 (앞서 살펴보았듯이) 페르미온이 갖는 성질이므로, 양자 스핀을 페르미온으로 변환하는 과정이 이미 적절한 것처럼 보인다.

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다만, 스핀이 한 개가 아닌 여러 개의 스핀으로 구성되어 있다면 이야기가 달라진다. 독립적인 스핀 연산자는 서로 commute한 점과 다르게, 독립적인 페르미온은 서로 anticommute하기 때문이다:

앞서 본 것과 같이 $S_j^+ =\hat{f}_j^\dagger,\ S_j^- =\hat{f}_j$의 변환을 사용한다면, 이러한 성질을 반영하지 않게 된다.
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이에 대하여 Jordan과 Wigner가 고안한 방법은, 기존의 변환 방법을 아래와 같이 수정하는 것이다.

$$S_j^+ = \hat{f}_j^\dagger e^{i\phi_j},\\
\\
\phi_j \equiv \pi \sum_{l<j} n_l.
$$
(위에서 $n_l$은 $l$의 site에 페르미온 입자가 존재하면 $1$, 존재하지 않다면 $0$의 값을 취한다.)

즉, 위상 연산자(phase operator) $\phi_j$를 지수로 갖는 인자(factor)를 이용함으로써 수정된 관계식을 사용하면 문제는 해결되며

이때 $e^{i\phi_j}$의 연산자를 'string' 연산자라고 부른다.

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위의 내용을 잠시 정리해보면, 요르단-위그너 변환법은 아래와 같은 변환이다.
$$
S_j^z = \hat{f}_j^\dagger \hat{f}_j - \frac{1}{2}\\
\\
S_j^+ = \hat{f}_j^\dagger e^{i\pi \sum_{l<j} n_l}\\
\\
S_j^- = \hat{f}_j  e^{-i\pi \sum_{l<j} n_l}.

$$

(참고로, $e^{-i\pi n_j} = e^{-i\pi n_j}$로서 각 복소지수함수는 Hermitian 연산자이기 때문에 위상 인자의 전체적인 부호는 'spin operator를 바꾸지 않고도' 뒤집혀질 수 있다.)
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이러한 '스핀 = 페르미온 × string'의 변환 방식을 택한다면 실제로 문제가 해결되는지, 아래에서 계속 확인해보자.

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==== String이 갖는 특성 ====

앞서 정의한 string이 갖는 중요한 특성은 '페르미온과 anticommute하다'는 것이다.

이를 확인하기 위해서 우선 $e^{i\pi n_j}$가 $\hat{f}_j$와 anticommute함을 확인해보자:
$$
\hat{f}_j e^{i\pi n_j} = - \hat{f}_j, \\
e^{i\pi n_j}\hat{f}_j = \hat{f}_j
$$

따라서, $\{e^{i\pi n_j}, \hat{f}_j\}=\hat{f}_j-\hat{f}_j = 0$로서 anticommute한다.

또한 마찬가지로, $\{e^{i\pi n_j}, \hat{f}_j^\dagger \}=0$를 쉽게 확인할 수 있다.

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이때, $l$과 $j$가 서로 다른 site일 때, $e^{i\pi n_l}$과 $\hat{f}_j$ 및 $\hat{f}_j^\dagger$는 commute하다. 따라서 다음의 관계를 확인할 수 있다.

$$
\{e^{i\phi_j}, \hat{f}_l^\dagger\} =0\ (l < j),\\
\\
[e^{i\phi_j}, \hat{f}_l ^\dagger]=0 \ (l \ge j).
$$
이는 string 연산자의 정의를 떠올려보면 바로 이해할 수 있다.

$\\$
이를 통해 결론적으로 다음의 관계식을 확인 가능하다.

$$
[S_j^{(\pm)},S_k^{(\pm)}] = [\hat{f}_j^\dagger e^{i\phi_j}, \hat{f}_k^\dagger e^{i\phi_k}] = e^{i\phi_j}[\hat{f}_j^\dagger, \hat{f}_k^\dagger e^{i\phi_k}].
$$
이때 $\hat{f}_j^\dagger$는 $\hat{f}_k^\dagger$ 및 $e^{i\phi_k}$와 동시에 anticommute 하다. 따라서, $j\ne k$에 대하여 $S_j^{(\pm)}$와 $S_j^{(\pm)}$는 commute하다는 것을 확인하였다:

$$
[S_j^{(\pm)},S_k^{(\pm)}] \propto [\hat{f}_j^\dagger, \hat{f}_k^\dagger e^{i\phi_k}]=0.
$$

===== XY spin chain in a transverse field =====

처음에 언급한 1차원 양자 스핀 모형인 '가로장이 걸려있는 XY 스핀 사슬 (XY spin chain in a transverse field)'에 요르단-위그너 변환을 적용해보도록 하자.

우선, 기존의 해밀토니안은 다음과 같다.
$$
\hat{H} =  \sum_{i=1}^N g_i \hat{\sigma}^z_i - \sum_{i=1}^N (J_x \hat{\sigma}^x_{i} \hat{\sigma}^x_{i+1} + J_y \hat{\sigma}^y_{i}\hat{\sigma}^y_{i+1}).
$$
각 $\hat{\sigma}$에 대해서는 아래와 같은 형태의 변환을 적용하면 되겠다.
$$
\hat{\sigma}^z = 2\hat{f}_j^\dagger \hat{f}_j - 1\\
\\
\hat{\sigma}^+ = \hat{f}_j^\dagger e^{i\pi \sum_{l<j} n_l}\\
\\
\hat{\sigma}^- = \hat{f}_j  e^{-i\pi \sum_{l<j} n_l}.
$$
따라서 $\hat{H}$의 첫 항은 아래와 같다.
$$
-\sum_{i=1}^N g_i (1-2\hat{f}_j^\dagger \hat{f}_j)
$$

두 번째 항을 보다 다루기 원활한 꼴로 바꿔주기 위해서, 다음의 관계식을 이용하자.
$$
\hat{\sigma}^x_j =  (\hat{\sigma}_j^+ + \hat{\sigma}_j^-) \\

\hat{\sigma}^y_j = -i(\hat{\sigma}_j^+ - \hat{\sigma}_j^-).
$$
이를 적용하면,

\begin{align}
& \sum_{i=1}^N (J_x \hat{\sigma}^x_{i} \hat{\sigma}^x_{i+1} + J_y \hat{\sigma}^y_{i}\hat{\sigma}^y_{i+1})\\

&=\sum_{j=1}^N \left[J_x  (\hat{\sigma}_j^+ + \hat{\sigma}_j^-) (\hat{\sigma}_{j+1}^+ + \hat{\sigma}_{j+1}^-) - J_y (\hat{\sigma}_j^+ - \hat{\sigma}_j^-)(\hat{\sigma}_{j+1}^+ - \hat{\sigma}_{j+1}^-)\right]\\

&=\sum_{j=1}^N \Big[(J_x + J_y)\left(\hat{\sigma}_j^-\hat{\sigma}_{j+1}^+ + \hat{\sigma}_j^+ \hat{\sigma}_{j+1}^-\right) \\
&\qquad \quad +(J_x-J_y)\left(\hat{\sigma}_j^+\hat{\sigma}_{j+1}^+ +\hat{\sigma}_j^-\hat{\sigma}_{j+1}^-\right)\Big].\\

\end{align}

위의 식에 요르단-위그너 변환을 아래와 같이 적용해보자.

\begin{align}
& \hat{\sigma}_j^- \hat{\sigma}_{j+1}^+ \\
&=\hat{f}_j  e^{-i\pi \sum_{l<j} n_l} \hat{f}_{j+1}^\dagger e^{i\pi \sum_{l<j+1} n_l} .\\
&= \hat{f}_j \hat{f}_{j+1}^\dagger e^{i\pi n_j}= -\hat{f}_j\hat{f}_{j+1}^\dagger, \\ 
&\\
& \hat{\sigma}_j^+ \hat{\sigma}_{j+1}^- \\
&=\hat{f}_j^\dagger  e^{i\pi \sum_{l<j} n_l} \hat{f}_{j+1}  e^{-i\pi \sum_{l<j+1} n_l} .\\
&= \hat{f}_j^\dagger \hat{f}_{j+1}  e^{-i\pi n_j}= \hat{f}_j^\dagger \hat{f}_{j+1}, \\ 
&\\
& \hat{\sigma}_j^+ \hat{\sigma}_{j+1}^+\\
&=  \hat{f}_j^\dagger e^{i\pi \sum_{l<j} n_l}\hat{f}_{j+1}^\dagger  e^{i\pi \sum_{l<j+1} n_l}.\\
&= \hat{f}_{j}^\dagger \hat{f}_{j+1}^\dagger e^{i\pi n_j} =\hat{f}_{j}^\dagger \hat{f}_{j+1}^\dagger. \\ 
&\\
& \hat{\sigma}_j^- \hat{\sigma}_{j+1}^-\\
&=  \hat{f}_j^- e^{-i\pi \sum_{l<j} n_l}\hat{f}_{j+1} e^{-i\pi \sum_{l<j+1} n_l}.\\
&= \hat{f}_{j}\hat{f}_{j+1} e^{-i\pi n_j} =-\hat{f}_{j} \hat{f}_{j+1}.
\end{align}

위의 두 번째 결과에서는 정수 $m$에 대해 $e^{2\pi i m}=1$을 사용했다.

$\\$
따라서, 해밀토니안은 다음과 같이 쓰여진다.


\begin{align}
\hat{H}&=-\sum_{i=1}^N g_i (1-2\hat{f}_j^\dagger \hat{f}_j)

-\sum_{j=1}^{N-1} (J_x + J_y)\left(-\hat{f}_j\hat{f}_{j+1}^\dagger + \hat{f}_j^\dagger \hat{f}_{j+1} \right) \\
& -\sum_{j=1}^{N-1} (J_x-J_y)\left(\hat{f}_j^\dagger \hat{f}_{j+1}^\dagger-\hat{f}_j\hat{f}_{j+1}\right).\\ \\

&=-\sum_{i=1}^N g_i (1-2\hat{f}_j^\dagger \hat{f}_j)

-\sum_{j=1}^{N-1} (J_x + J_y)\left(\hat{f}_j^\dagger \hat{f}_{j+1} + \hat{f}_{j+1}^\dagger\hat{f}_j  \right) \\
& -\sum_{j=1}^{N-1} (J_x-J_y)\left(\hat{f}_j^\dagger \hat{f}_{j+1}^\dagger+\hat{f}_{j+1}\hat{f}_j\right).
\end{align}
위에서 마지막 식에 도달할 때는 anticommutation relation을 사용하였다.

(편의상, 주기적 경계 조건(periodic boundary condtiion)이 아닌 열린 경계 조건(open boudnary condition)을 사용함으로써 두 번째와 세 번째 항의 합은 $j=N$이 아닌 $j=N-1$이다.)

$\\$
==== Majorana fermions ====

마조라나 페르미온(Majorana fermion)은 입자와 반입자가 같은 페르미온이다.

위에서 얻은 해밀토니안을 마조라나 페르미온인 $\hat{a}_{2j-1}=\hat{f}_j^\dagger + \hat{f}_j$과 $\hat{a}_{2j}=i(\hat{f}_j^\dagger - \hat{f}_j)$으로 다시 표현할 수 있다.
$$
\hat{H}(t) = i \sum_{j=1}^N g_j(t)\hat{a}_{2j-1}\hat{a}_{2j}
+i\sum_{j=1}^{N-1}(J_x \hat{a}_{2j}\hat{a}_{2j+1}
-J_y \hat{a}_{2j-1}\hat{a}_{2j+2}).
$$

이를 아래와 같이 풀이하여 직접 확인해보자.
$$
\hat{H}(t) = i \sum_{j=1}^N g_j(t)\{\hat{f}_j^\dagger + \hat{f}_j\}\{i(\hat{f}_j^\dagger - \hat{f}_j)\}\\
+i \sum_{j=1}^{N-1}\Big(J_x \{i(\hat{f}_j^\dagger - \hat{f}_j)\}\{\hat{f}_{j+1}^\dagger + \hat{f}_{j+1}\}\\
-J_y \{\hat{f}_j^\dagger + \hat{f}_j\}\{i(\hat{f}_{j+1}^\dagger - \hat{f}_{j+1})\}\Big).
$$
$\\$

$$
\\
\to\ 
\hat{H}(t) = - \sum_{j=1}^N g_j(t)\Big[\hat{f}_{j}^\dagger \hat{f}_{j}^\dagger -\hat{f}_{j}^\dagger \hat{f}_{j} + \hat{f}_{j} \hat{f}_{j}^\dagger-\hat{f}_{j}\hat{f}_{j} \Big]
\\
- \sum_{j=1}^{N-1}\Big[
J_x\{\hat{f}_{j}^\dagger \hat{f}_{j+1}^\dagger + \hat{f}_{j}^\dagger \hat{f}_{j+1} - \hat{f}_{j}\hat{f}_{j+1}^\dagger - \hat{f}_{j}\hat{f}_{j+1} \}\\
-J_y \{\hat{f}_{j}^\dagger \hat{f}_{j+1}^\dagger - \hat{f}_{j}^\dagger \hat{f}_{j+1} + \hat{f}_{j}\hat{f}_{j+1}^\dagger - \hat{f}_{j}\hat{f}_{j+1}\} \Big].
$$
$\\$

이때, $\{\hat{f}_j, \hat{f}_j^\dagger \} = \delta_{ij} \to \hat{f}_j \hat{f}_j^\dagger =1-\hat{f}_j^\dagger \hat{f}_j$등의 anticommutation들을 사용하고, $\hat{f}_j\hat{f}_j$와 같이 임의의 state에 걸어줄 때 0을 주는 항들을 제거해주면 아래와 같다.

$$
\\
\to\ 
\hat{H}(t) = - \sum_{j=1}^N g_j(t)\left( 1-2\hat{f}_{j}^\dagger \hat{f}_{j} \right)
\\
-\sum_{j=1}^{N-1} (J_x + J_y)\left(\hat{f}_j^\dagger \hat{f}_{j+1} + \hat{f}_{j+1}^\dagger\hat{f}_j  \right) \\
 -\sum_{j=1}^{N-1} (J_x-J_y)\left(\hat{f}_j^\dagger \hat{f}_{j+1}^\dagger+\hat{f}_{j+1}\hat{f}_j\right).
$$

즉, 앞서 본 Majorana fermion의 표현식이 실제로 원래의 식을 준다는 것을 확인하였다.


====== 참고 문헌 ======

  * Piers Coleman, Introduction to Many-Body Physics, 2015.
  * Tom Lancaster and Stephen J. Blundell, Quantum field Theory for the Gifted Amatuer, 2014.
  * V. M. Bastidas, Quantum fingerprints of self-organization in spin chains coupled to a Kuramoto model, 2024.