======상관 길이======

 
상관 함수에서 파수 벡터 공간의 상관함수 $G(k)$ 는 $k=0$ 에서 $G(0) = \chi T$ 인 봉우리값과 그 주변으로 폭 $\xi^{-1}$ 를 가지는 뾰족한 함수로 근사될 수 있다.

이때 폭을 상관 길이의 역수라고 가정하는데 온도가 상전이 온도 근처이고 외부에서 아무런 자기장이 걸리지 않았을 때 테일러 전개의 2차 미분과 상관 길이가 발산한다는 사실을 이용하여

테일러 전개를 이용하여 함수를 근사하면 상관 길이의 값을 추측할 수 있다.



$$\xi^{2} = -\frac{1}{2}G^{-1}(0)(d^{2}G(k)/dk^{2})_{k=0} , \quad |T-T_c| <<1,\quad h = 0$$ 



이 때 $G(k)$가 0 근처에서 매우 뾰족한 함수이기 떄문에 2차 미분의 값은 매우 클 것이다. 따라서  $\xi$ 는 임계온도 근처에서 발산한다는 사실을 알 수 있다.

따라서 상관 길이 $\xi$에 대해 아래와 같이 쓸 수 있다.


$$\xi\propto |T-T_c|^{-\nu},  T>T_c$$  
$$\xi\propto |T-T_c|^{-\nu^{\prime}}, T<T_c$$

======눈금 바꿈 가설(Scaling Hypothesis)======

눈금 바꿈 가설은 강자성체의 상전이 온도 근방에서 일어나는 모든 특이 현상들이 자성체를 이루는 스핀들의 긴 범위에 걸쳐있는 상관 관계 때문에 나타난다는 가설이다. 

이 때 스핀들이 상관관계를 가지는 범위를 상관 길이라고 부른다. 중요한 점은 [[배규호:상관 길이]]가 특정한 함수의 가우스 어림법을 푸는 과정에서 나오는 것만은 아니라는 사실이다.

또한 상관 길이는 상전이 온도 근방에서 발산하기 때문에 상전이 현상에서 상관 길이가 온도에만 의존하는 어떤 함수라고 가정한다.

$G(k)$ 를 변수 $k\xi$, $b_1/\xi,b_2/\xi,...$ 의 함수로 쓸 수 있다고 하자. 이 때 $b_1,b_2,...$은 $|T-T_c|$ 가 충분히 작을 때 $\xi$ 를 넘지 않는 임의의 길이로 둔다.

$\xi$ 가 발산할 때 $G(k)$를 위 변수의 함수로 나타낸다면 


$$G(k) = f(k\xi,b_1\xi,b_2\xi, \dots) $$
$$= f(k\xi) + \sum_{i=1}\frac{\partial{f(k\xi,b_1\xi,b_2\xi,\dots)}}{\partial{(b_i\xi)}} (b_i \xi) + \sum_{i=1}\frac{\partial^{2}{f(k\xi,b_1 \xi,b_2\xi,\dots)}}{\partial{(b_i\xi)^2}}(b_i\xi)^2 + higher\: orders \: of \: (b_i\xi) $$
$$= f(k\xi) + c_{b_1, x_1}(b_1\xi)^{x_1} + c_{b_1, x_1-1}(b_1\xi)^{{x_1}-1} + \dots + c_{b_2, x_2}(b_2\xi)^{x_2} + \dots  $$ 
$$= \xi^{y}(g(k\xi) + \: higher \: powers \: of \: \xi^{-1}) $$
$$ \approx \xi^{y}g(k\xi)$$



다음을 유도할 때 2번째 줄에서는 $b_i/\xi$ 에 대해 급수전개 하였고 3번쨰 줄에서는 $-y = x_1 + x_2 +\dots$ 를 이용하였다. 

위 근사의 요지는 $\xi$ 가 발산 할 때 $G(k)$는 단위가 없는 숫자 $k\xi$의 함수인 $g(k\xi)$ 와 상관 길이의 멱수 $\xi^{y}$의 곱으로 나타난다는 것이다. 

$g(k\xi)$의 값이 상전이 온도 근방에서 어떤 상수로 정해진다고 가정할 때 $G(k)$ 의 행동은 오직 $\xi$와 지수 $y$에만 의존하게 된다. 

지수 $y$와 이전에 정의된 자기 감수율의 임계지수 $\gamma$ 는 $$\chi/T = G(0)$$이고 $g(0)$ 가 어떤 상수라고 할 때 $G(0)$ 에 대해서
$$ G(0) = \xi^{y}g(0) \propto |T-T_c|^{-\nu y} $$ $$\chi \propto |T-T_c|^{-\gamma}$$ $$\nu y = \gamma $$ $$ y = \frac{\nu}{\gamma}$$ 라고 쓸 수 있다.

$k$ 가 $0$에 가깝지만 $0$은 아닐 때 중성자 산란 단면적은 발산하는 것이 관측되어있다. 이 때 산란 단면적을 전체 부피로 나눈 값은 상관 함수에 비례한다.  

따라서 상전이 온도 근방에서 상관 함수를 $k$가 0에 매우 가까울때 $ G(k) \propto k^{-2+\eta} $ 라고 쓰고 $\eta$ 또한 다른 임계 지수라고 두자.

$$ G(k) \propto k^{-2+\eta} $$
$$ \lim_{k\xi\rightarrow\infty} g(k\xi) \propto (k\xi)^{-2+\eta}  $$
$$ G(k) = \xi^{y}g(k\xi) \propto \xi^{y}(k\xi)^{-2+\eta} \propto k^{-2+\eta} $$
$$ 2-\eta = y = \gamma/\nu $$ 

의 결론을 얻는다.

이같은 관계는 종종 **"눈금 법칙"** 이라고 불린다.

======척도 변환======

길이 $L$ 을 갖는 선분 안에 $\Delta l$의 간격으로 나누었다고 가정하자.

각 구간의 시작 위치는 아래와 같이 쓰여질 수 있을 것이다. 

$$ \vec{x}_n = n\Delta l,\quad n = 0, 1, 2, 3, \dots $$

이 선 위를 여행하는 여행자가 있다고 가정하자. 이 여행자는 $\vec{x} = 0$ 에서 시작하여 $\Delta l$만큼 움직여 각 구간의

시작 위치마다 여행자가 몇 칸을 왔는지 기록한다. 위와 같은 상황에서 여행자가 $L$ 에 도달하면 기록한 총 횟수는 $L/\Delta l$일 것이다. 이 때 기록된 횟수를 "걸음 수" 라고 표현하자.

이제 선분을 $2\Delta l$로 나누자. 그렇게 되면 여행자가 길이 $L$ 선분을 지날 때의 걸음 수는 1/2배가 될 것이다. 

걸음 수를 길이의 단위 라고 생각 할 수 있다면 길이의 단위는 반이 된 것이다. 이제 이 걸음 수 혹은 이 길이의 단위를 $\Delta x$ 라고 표현하자. 

그리고 $\Delta l$ 앞에 곱해지는 수를 "척도" 라고 표현하고 $s$ 라고 쓰자. $\Delta x$ 에 대해서 $s$를 $\Delta l$ 에 곱하는 것은 $\Delta x$ 에 

$s^{-1}$ 을 곱하는 것과 같다. 즉 여행자 입장에서는 길이 $L$ 의 선분이 $1/2$ 만큼 짧게 보이게 되는 것이다. (공간이 수축한 것 처럼 보이는 효과이다.)

이제 척도 차원이라는 물리량을 도입하자. 척도 차원에서는 길이에 해당하는 차원을 $-1$ 로 둔다. 따라서 파수의 차원은 $1$이 될 것이다. 

일반적으로 척도 변환 관계식은 아래와 같이 쓸 수 있다. 

$$A \rightarrow A^{\prime} = As^{\lambda} $$  

이렇게 쓸 때 $A$ 의 척도 차원은 $\lambda$ 이다. 하나의 예로 $(\delta x)^{2}$ 의 척도 차원은 $-2$ 라는 것을 알 수 있다. 

$s$ 를 척도 변환 요소로 써주고 싶다면 $\lambda$는 $-2$ 여야만 한다. 그래야 길이의 제곱 차원에 해당하는 양을 $s$ 배 할 수 있기 때문이다.

=====강자성체의 임계지수=====

강자성체의 상전이 온도 근방의 임계 현상을 연구할 때[[배규호:눈금 바꿈 가설]]에서 상관함수가 임계 온도 근바엥서 $\xi^{y}$ 의 함수로 근사 될 수 있음을 보였었다. 

또한 상관함수는 $(spin density)^{2} \times (volume)$ 이기도 하다. 상관길이 $\xi$의 척도 차원이 $-1$이기 때문에 아래와 같이 두 표현의 척도 차원이 맞아야 한다. 

$$ 2d_{\sigma} - d = -y $$

$$ d_{\sigma} = \frac{1}{2}(d-y) = \frac{1}{2}(d-2+\eta)$$


두 번째 줄에서 [[배규호:눈금 바꿈 가설]]에서 유도된 결과인 $$y = 2 - \eta$$ 를 사용하였다. $d_{\sigma}$ 를 스핀 밀도의 척도 차원이라고 하자. 

비슷한 방식으로 단위 부피 당 자유에너지(F)의 척도차원은 $d$가 될 것이다. 상관길이를 이용하여 다음과 같이 써줄 수 있다.
$$ \xi \propto |T-T_c|^{-\nu}, \quad T > T_c, \rightarrow \nu $$
$$ \xi \propto |T-T_c|^{-\nu^{\prime}}, \quad T < T_c, \rightarrow \nu^{\prime} $$
$$ F \propto |T-T_c|^{\nu d} $$

열용량은 단위 부피 당 자유에너지의 온도에 대한 2차 미분에 온도를 한번 더 곱한 형태로 표현된다.

상전이 온도 $T_c$ 근처에서 열용량의 [[:배규호:임계지수]] $\alpha$ 를 구하기 위해 차원 분석을 활용한다. 

$$ C = -T\frac{\partial^{2}F}{\partial T^{2}} \propto |T-T_c|^{\nu d - 2} $$

열용량의 임계지수가 $\alpha$ 이므로 아래와 같은 관계가 성립하여야 한다.

$$ \alpha = 2 - \nu d $$

비슷한 방식으로 평균 스핀 밀도 $m$ 에 대한 임계지수 $\beta$, 자유장(apply field, h)의 차원 $d_h$ 그리고 $h$ 값이 $0$이 아닐 때 $ m \propto h^{\frac{1}{\delta}} $ 의 

임계지수 $\delta$ 를 유도한다. 이 때 $$\nu^{\prime} = \nu$$ 로 가정하는데 이것은 재규격화에서 설명된다. 

이와같은 차원 분석은 실제로 실험 데이터와 비교를 해보면 오차 10% 이내의 범위 안에서 잘 맞는 것으로 알려져 있다.

======눈금 바꿈 가설에 대한 논의======

눈금 바꿈 가설과 차원분석을 통해 얻는 물리량의 차원과 임계 지수의 관계는 다음과 같다. 

먼저 차원(눈금 차원)에 대해서

$$ \text{dimension of}~\xi = -1 $$
$$ \text{dimension of}~k = 1 $$
$$ \text{dimension of}~\sigma_{k} = -1+\eta/2 $$
$$ \text{dimension of}~\sigma(x) = \frac{1}{2}(d-2+\eta ) $$
$$ \text{dimension of}~h = \frac{1}{2}(d+2-\eta) $$

임계 지수들의 관계는

$$ \nu = \nu^{\prime} = \gamma/(2-\eta) $$
$$ \alpha = \alpha^{\prime} = 2 - \nu d $$
$$ \beta = frac{1}{2}\nu(d-2+\eta) $$
$$ \delta = (d+2-\eta)/(d-2+\eta) $$

눈금 바꿈 가설에서 주의해야 할 점은 이 방법이 즉흥적이라는 것이다. 우선 가장 큰 상관길이 하나로 임계지수를 결정하는 것은 위험하다. 그 이유는 남아있는 상대적으로 작은 스케일이 차원에 따라 커질 수 있기 때문이다. 

비록 실험에서 구한 결과를 맞추는데 눈금 바꿈 가설이 꽤 잘 들어맞는다고 해도 위와 같은 가정 때문에 이 방법을 지지해 줄 다른 설명이 필요하다. 




 

  


======같이보기======
  *[[물리:차원분석]]





======참고문헌======
  *MA, Shang-Keng. Modern theory of critical phenomena. Da Capo Press, 2000.