위그너 함수는 슈뢰딩거 방정식에서 나타나는 파동함수를, 양자 위상공간에서 확률 분포로 기술하기 위한 함수이다. 이 함수 분포는 음의 확률도 가질 수 있다는 특성이 있어
'준확률분포(quasiprobability distribution)'라고도 한다.

====== 바일 변환 ======
위그너 함수를 기술하기 앞서, 바일(Weyl) 변환 (또는 바일 양자화)에서 시작한다. 바일은 고전역학의 함수에서 양자 연산자를 제공하는 변환을 찾고자 하였다.
힐베르트 공간에서 기술되는 임의의 연산자를 $\hat{A}$ 이라고 하자. 그리고 이를 따르는 함수를 $f$ 라고 하자. $x$와 $y$로 위치 표현(position representation)으로 기술하면,

\begin{equation}
\langle x | \hat{A} | y \rangle = \int dp \frac{1}{2\pi\hbar} e^{ip(x-y)/\hbar} f\left( \frac{x+y}{2}\,, p \right)
\end{equation}

이것이 바일 변환, **바일 맵**이며 이를 역변환하면

\begin{equation}
f(x,p) = \int dye^{-ipy/\hbar}\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle
\end{equation}

연산자가 아닌 함수의 식을 기술하게 되어, 이 형태를 바일 역변환, **위그너 맵**이라고 한다.

===== 두 연산자의 대각합 =====
바일 변환에서 두 연산자의 대각합이 동일함을 보일 수 있다. 먼저 두 연산자 $\hat{A}$, $\hat{B}$를 따르는 함수를 각각 $f\,, g$라고 하자.
두 연산자에 대한 바일 역변환은 다음과 같다.

\begin{align*}
f(x,p) &= \int dye^{-ipy/\hbar}\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle, \\
g(x,p) &= \int dy^{\prime}e^{-ipy^\prime/\hbar}\langle x+\frac{y^\prime}{2}|\hat{B}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^\prime}{2}\rangle
\end{align*}

변환된 두 연산자를 곱하고 위치 $x$와 운동량 $p$의 모든 공간에 적분을 계산하면

\begin{equation}
\int\int dxdpf(x,p)g(x,p) = \int\int\int\int dxdpdydy^{\prime}e^{-ip(y+y^{\prime})/\hbar}\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle\langle x+\frac{y^{\prime}}{2}|\hat{B}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^{\prime}}{2}\rangle
\end{equation}

[[:수학:디락 델타 함수]]

\begin{equation}
\delta(y) = \frac{1}{2\pi\hbar} \int dp e^{ipy/\hbar}
\end{equation}

에서 $y \rightarrow y+y^{\prime}$으로 바꾸어 적분을 계산하면,

\begin{align*}
\int\int dxdpf(x,p)g(x,p)
&=\int\int\int dxdydy^{\prime}\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle\langle x+\frac{y^{\prime}}{2}|\hat{B}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^{\prime}}{2}\rangle \times 2\pi\hbar\delta(y+y^{\prime}) \\
&= 2\pi\hbar\int\int dxdy\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle\langle x-\frac{y}{2}|\hat{B}(\hat{x},\hat{p})|x+\frac{y}{2}\rangle
\end{align*}

이 된다. 이제 $u=x-\frac{y}{2}$, $v=x+\frac{y}{2}$으로 치환하여 계산하면 $\hat{A}\hat{B}$의 대각합과 관련됨을 알 수 있다.

\begin{align*}
\int\int dxdpf(x,p)g(x,p) = 2\pi\hbar\int\int dudv\langle v|\hat{A}|u\rangle\langle u|\hat{B}|v\rangle = h\text{Tr}[\hat{A}\hat{B}].
\end{align*}

이 때,

\begin{align*}
{\rm Tr} [\hat{A}] = \int dv \langle v | \hat{A} | v \rangle \\
\hat{I} = \int du | u \rangle \langle u |
\end{align*}

임을 참고한다.

====== 밀도 행렬과의 관계 ======
순수 상태의 밀도 행렬과 연산자를 곱하여 대각합을 취하면, 그 연산자에 대한 평균을 구할 수 있다. 순수 상태의 밀도행렬 $\hat\rho$는

\begin{equation}
\hat\rho = | \psi \rangle \langle \psi |
\end{equation}

이고, 연산자 $\hat{A}$의 곱을 한 대각합은

\begin{align*}
\text{Tr}[\hat\rho\hat{A}] &= \text{Tr}[|\psi\rangle\langle\psi|\hat{A}]\\
&=\sum_n\langle n|\psi\rangle\langle\psi|\hat{A}|n\rangle \\
&=\sum_n \langle\psi|\hat{A}|n\rangle\langle n|\psi\rangle \\
&=\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle \\
&=\langle A\rangle
\end{align*}

이 관계식을 위에서 보인 두 연산자 곱의 대각합 관계식과 연결지으면,

\begin{align*}
\langle A\rangle = \text{Tr}[\hat\rho\hat{A}] = \frac{1}{2\pi\hbar}\int\int dxdp\tilde\rho f
\end{align*}

임을 알 수 있다. 이 때 연산자 $\hat\rho\,, \hat{A}$를 따르는 함수를 $\tilde{\rho}\,, f$으로 두었다. 

====== 위그너 함수 ======
이제 우리는 위그너 함수를 다음으로 정의한다.

\begin{align*}
W(x,p) = \frac{\tilde{\rho}}{2\pi\hbar} = \frac{1}{h}\int dye^{-ipy/\hbar}\psi\left(x+\frac{y}{2}\right)\psi^\ast\left(x-\frac{y}{2}\right)
\end{align*}

따라서 앞절의 연산자 A에 대한 기댓값은

\begin{align*}
\langle A \rangle = \frac{1}{2\pi\hbar}\int\int dxdp W(x,p) f(x,p)
\end{align*}

으로 기술하게 된다. 나아가 위상 공간에서 $x$와 $p$의 평균값은 아래와 같이 계산할 수 있다.

\begin{align*}
\langle x\rangle &= \int\int dxdpW(x,p)x,\\
\langle p\rangle &= \int\int dxdpW(x,p)p
\end{align*}

정리하면 위그너 함수는 위상 공간에서 위치 $x$, 운동량 $p$를 가지는 확률 밀도함수를 기술한다. 다만 주의할 점은 위그너 함수는 확률 밀도함수에 준하므로(quasi-probability distribution function), 함수의 값이 음의 확률이 가능하단 것이다.

======참고문헌======
  -William B. Case, //Wigner functions and Weyl transforms for pedestrians//, American Journal of Physics 76, 937-946 (2008) https://doi.org/10.1119/1.2957889 
  -Jon Brogaard, //Wigner function formalism in Quantum mechanics // (Niels Bohr Institute, University of Copenhagen, 2015).