======프랙탈======

프랙탈(fractal)은 일부 작은 조각이 전체와 비슷한 기하학적 형태를 말한다.\\
{{ :물리:Koch.png?300 |}} {{ :물리:mandelbrot_set.jpg?300 |}}\\
프랙탈은 [[수학:코흐_곡선 | 코흐 곡선 (Koch curve)]](첫 번째 그림)와 같이 완전히 같은 모양이 반복될 수도 있고(exact), Mandelbrot set(두 번째 그림)과 같이 완전히 같지는 않지만 비슷한 모양이 반복될 수도 있으며(approximate), time series와 같이 확률적으로 프랙탈일 수도 있는(statistical) 등 다양한 종류가 있는 것을 확인할 수 있다.

======프랙탈 차원======
프랙탈 차원(fractal dimension)은 프랙탈 기하학에서 공간에 패턴을 얼마나 조밀하게 채우는지 나타내는 비율을 말한다.

{{ :물리:i.png?300 |}}\\
{{ :물리:s.png?300 |}}

그림은 I 과정을 거칠 때 해상도가 b=2 배율로 반복되는 문양이 나타나게 되고, S 과정을 거칠 때 b=2 배율로 커지는 상황을 나타낸 것이다. 이 때 b를 스케일 팩터(scale factor)라고 한다.

{{ :물리:si.png?300 |}}

두 과정을 합치게 되면 넓은 공간에서 반복되는 문양이 그려지는 것을 확인할 수 있다. 참고로 위와 같은 도형을 시어핀스키 삼각형(sierpinski triangle)이라고 한다. 이 때 도형의 각 요소에 대해 차원을 표현할 수 있다.

\begin{equation}
b^{d_A^{(n)}}\equiv\frac{A((SI)F_n)}{A(F_n)}\\
A(F_n)=\sum_{F_n}O_A
\end{equation}

위와 같이 정의되는 식이 있을 때,

\begin{equation}
d_A=\lim_{n\rightarrow\infty}d_A^{(n)}
\end{equation}

$d_A$를 여기서 프랙탈의 차원이라고 정의한다.

식을 이해하기 위해 예를 통해 알아보자. 위의 시어핀스키 삼각형에서 각 요소에 대해 프랙탈 차원을 구해볼 것이다. 위의 삼각형에서 스케일 팩터 b는 2이다.\\

첫 번째로 길이에 대한 프랙탈 차원을 구할 것인데, 삼각형 한 변의 길이를 1이라고 하면, SI 과정을 한 번 거치기 전의 삼각형 둘레는 3이고 거친 이후의 둘레는 9이다. 이와 같이 과정을 거칠 때마다 3배씩 늘어나므로 다음과 같이 계산을 할 수 있다.

\begin{equation}
2^{d_L}=3 \rightarrow d_L=ln3/ln2
\end{equation}

두 번째로 삼각형이 채워진 면적에 대해서도 똑같이 3배씩 증가하므로, 같은 방법으로 계산을 할 수 있다.

\begin{equation}
2^{d_A}=3 \rightarrow d_A=ln3/ln2
\end{equation}

세 번째로 조금 더 깊게 들어가서 삼각형이 채워진 이외의 빈 부분의 면적에 대해서도 확인해볼 것이다. 그림에서 맨 왼쪽의 삼각형 하나의 면적을 1이라고 하면, 빈 공간의 넓이는 전체 삼각형의 넓이에서 채워진 삼각형의 넓이를 뺀 값과 같다. 전체 삼각형의 넓이는 $4^n$, 빈 공간의 넓이는 $3^n$으로 계산 가능하므로, 계산하면 다음과 같다.

\begin{equation}
2^{d_V^{(n)}}=\frac{4^{(n+1)}-3^{(n+1)}}{4^n-3^n}=3+\frac{4^n}{4^n-3^n}=3+\frac{1}{1-\left(\frac{3}{4}\right)^n}
\\=3+(1+\left(\frac{3}{4}\right)^n+\left(\frac{3}{4}\right)^{2n}+\left(\frac{3}{4}\right)^{3n}+\ldots)\\
=4(1+\frac{1}{4}\left(\frac{3}{4}\right)^n+\frac{1}{4}\left(\frac{3}{4}\right)^{2n}+\ldots)
\end{equation}

\begin{equation}
d_V=\lim_{n\rightarrow\infty}d_V^{(n)}=\lim_{n\rightarrow\infty}log_2 4(1+\frac{1}{4}\left(\frac{3}{4}\right)^n+\frac{1}{4}\left(\frac{3}{4}\right)^{2n}+\ldots)=2
\end{equation}

이와 같이 같은 도형에서도 각 요소마다 프랙탈 차원은 다르게 나올 수 있다.

차원이 양수일 때 relevant, 음수일 때 irrelevant하다고 하며, 0이거나 실수가 아닌 경우 marginal하다고 할 수 있다. relevant하면 해당 요소가 늘어나는 경우, irrelevant하면 해당 요소가 줄어드는 경우이며 marginal하면 0일 때는 유지되거나, 허수일 경우 주기성을 띤다. 이와 같이 프랙탈 차원을 통하여 SI 과정을 통한 프랙탈 구조에서 각 요소의 상황을 확인할 수 있다.

======함께 보기======
  * [[수학:코흐 곡선]]

======그림 출처======
  * https://en.wikipedia.org/wiki/Koch_snowflake\\
  * https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:Mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg