======눈금 바꿈 가설(Scaling Hypothesis)======

눈금 바꿈 가설은 강자성체의 상전이 온도 근방에서 일어나는 모든 특이 현상들이 자성체를 이루는 스핀들의 긴 범위에 걸쳐있는 상관 관계 때문에 나타난다는 가설이다. 

이 때 스핀들이 상관관계를 가지는 범위를 상관 길이라고 부른다. 중요한 점은 [[배규호:상관 길이]]가 특정한 함수의 가우스 어림법을 푸는 과정에서 나오는 것만은 아니라는 사실이다.

또한 상관 길이는 상전이 온도 근방에서 발산하기 때문에 상전이 현상에서 상관 길이가 온도에만 의존하는 어떤 함수라고 가정한다.

$G(k)$ 를 변수 $k\xi$, $b_1/\xi,b_2/\xi,...$ 의 함수로 쓸 수 있다고 하자. 이 때 $b_1,b_2,...$은 $|T-T_c|$ 가 충분히 작을 때 $\xi$ 를 넘지 않는 임의의 길이로 둔다.

$\xi$ 가 발산할 때 $G(k)$를 위 변수의 함수로 나타낸다면 


$$G(k) = f(k\xi,b_1\xi,b_2\xi, \dots) $$
$$= f(k\xi) + \sum_{i=1}\frac{\partial{f(k\xi,b_1\xi,b_2\xi,\dots)}}{\partial{(b_i\xi)}} (b_i \xi) + \sum_{i=1}\frac{\partial^{2}{f(k\xi,b_1 \xi,b_2\xi,\dots)}}{\partial{(b_i\xi)^2}}(b_i\xi)^2 + \text{higher orders of }\left(b_i\xi \right) $$
$$= f(k\xi) + c_{b_1, x_1}(b_1\xi)^{x_1} + c_{b_1, x_1-1}(b_1\xi)^{{x_1}-1} + \dots + c_{b_2, x_2}(b_2\xi)^{x_2} + \dots  $$ 
$$= \xi^{y}(g(k\xi) + \text{higher powers of }\xi^{-1}) $$
$$ \approx \xi^{y}g(k\xi)$$



다음을 유도할 때 2번째 줄에서는 $b_i/\xi$ 에 대해 급수전개 하였고 3번쨰 줄에서는 $-y = x_1 + x_2 +\dots$ 를 이용하였다. 

위 근사의 요지는 $\xi$ 가 발산 할 때 $G(k)$는 단위가 없는 숫자 $k\xi$의 함수인 $g(k\xi)$ 와 상관 길이의 멱수 $\xi^{y}$의 곱으로 나타난다는 것이다. 

$g(k\xi)$의 값이 상전이 온도 근방에서 어떤 상수로 정해진다고 가정할 때 $G(k)$ 의 행동은 오직 $\xi$와 지수 $y$에만 의존하게 된다. 

지수 $y$와 이전에 정의된 자기 감수율의 임계지수 $\gamma$ 는 $$\chi/T = G(0)$$이고 $g(0)$ 가 어떤 상수라고 할 때 $G(0)$ 에 대해서
$$ G(0) = \xi^{y}g(0) \propto |T-T_c|^{-\nu y} $$ $$\chi \propto |T-T_c|^{-\gamma}$$ $$\nu y = \gamma $$ $$ y = \frac{\nu}{\gamma}$$ 라고 쓸 수 있다.

$k$ 가 $0$에 가깝지만 $0$은 아닐 때 중성자 산란 단면적은 발산하는 것이 관측되어있다. 이 때 산란 단면적을 전체 부피로 나눈 값은 상관 함수에 비례한다.  

따라서 상전이 온도 근방에서 상관 함수를 $k$가 0에 매우 가까울때 $ G(k) \propto k^{-2+\eta} $ 라고 쓰고 $\eta$ 또한 다른 임계 지수라고 두자.

$$ G(k) \propto k^{-2+\eta} $$
$$ \lim_{k\xi\rightarrow\infty} g(k\xi) \propto (k\xi)^{-2+\eta}  $$
$$ G(k) = \xi^{y}g(k\xi) \propto \xi^{y}(k\xi)^{-2+\eta} \propto k^{-2+\eta} $$
$$ 2-\eta = y = \gamma/\nu $$ 

의 결론을 얻는다.

이같은 관계는 종종 **"눈금 법칙"** 이라고 불린다.

======척도 변환======

길이 $L$ 을 갖는 선분 안에 $\Delta l$의 간격으로 나누었다고 가정하자.

각 구간의 시작 위치는 아래와 같이 쓰여질 수 있을 것이다. 

$$ \vec{x}_n = n\Delta l,\quad n = 0, 1, 2, 3, \dots $$

이 선 위를 여행하는 여행자가 있다고 가정하자. 이 여행자는 $\vec{x} = 0$ 에서 시작하여 $\Delta l$만큼 움직여 각 구간의

시작 위치마다 여행자가 몇 칸을 왔는지 기록한다. 위와 같은 상황에서 여행자가 $L$ 에 도달하면 기록한 총 횟수는 $L/\Delta l$일 것이다.

기 기록된 횟수를 "걸음 수" 라고 표현하자.

이제 선분을 $2\Delta l$로 나누자. 그렇게 되면 여행자가 길이 $L$ 선분을 지날 때의 걸음 수는 1/2배가 될 것이다. 

걸음 수를 길이의 단위 라고 생각 할 수 있다면 길이의 단위는 반이 된 것이다. 이제 이 걸음 수 혹은 이 길이의 단위를 $\Delta x$ 라고 표현하자. 

그리고 $\Delta l$ 앞에 곱해지는 수를 "척도" 라고 표현하고 $s$ 라고 쓰자. $\Delta x$ 에 대해서 $s$를 $\Delta l$ 에 곱하는 것은 $\Delta x$ 에 

$s^{-1}$ 을 곱하는 것과 같다. 즉 여행자 입장에서는 길이 $L$ 의 선분이 $1/2$ 만큼 짧게 보이게 되는 것이다. (공간이 수축한 것 처럼 보이는 효과이다.)

이제 척도 차원이라는 물리량을 도입하자. 척도 차원에서는 길이에 해당하는 차원을 $-1$ 로 둔다. 따라서 파수의 차원은 $1$이 될 것이다. 

일반적으로 척도 변환 관계식은 아래와 같이 쓸 수 있다. 

$$A \rightarrow A^{\prime} = As^{\lambda} $$  

이렇게 쓸 때 $A$ 의 척도 차원은 $\lambda$ 이다. 하나의 예로 $(\delta x)^{2}$ 의 척도 차원은 $-2$ 라는 것을 알 수 있다. 

$s$ 를 척도 변환 요소로 써주고 싶다면 $\lambda$는 $-2$ 여야만 한다. 그래야 길이의 제곱 차원에 해당하는 양을 $s$ 배 할 수 있기 때문이다.  





 

  


======같이보기======
  *[[물리:차원분석]]

  *[[배규호:상관 길이]]



======참고문헌======
  *MA, Shang-Keng. Modern theory of critical phenomena. Da Capo Press, 2000.