====== 정의 ======
**코흐 곡선**은 여러 프랙탈 도형중의 하나로, 같은 모양이 지속적으로 반복되는 프랙탈이다. 
다양한 도형을 생각해볼 수 있으며, 여기서는 아래와 같은 모양을 형성하는 선을 예시로 살펴보자.

{{ :수학:koch1.png?400 |}}

위의 그림에서, 길이 5인 직선이 변환 I를 거침으로, 선의 총 길이가 11로 변한것을 알 수 있다. 우측의 수직점선을 그은 것과 같이,
선의 모양변화를 5구역으로 나누어 생각해볼 수 있다. 이러한 변환을 만드는 도형은 스케일 팩터가 $b=5$이고, 따라서 프랙탈의 길이 차원 $d_L$은

\begin{equation}
    5^{d_L} = 11 \, \rightarrow \, d_L = \ln11 / \ln5
\end{equation}

으로 결정된다. 프랙탈의 차원에 대한 자세한 설명은 [[물리:프랙탈 차원]]을 참고할 수 있다.

이제 여기서 크기를 키우는 작업을 시행하자. 그 변환을 S라고 부르고, 크기는 5배씩 증가시킨다. 과정 S와 I는 도형의 변환에 따라 그 수가 달라지는 데,
지금의 경우에서는 선 하나에 대해서 5개 구역으로 나뉠 수 있으므로, 변환 1회시 S와 I가 각 5배가 된다. 초기 도형에서 변환 I, S, I를 거치면 아래와 같은 도형이 된다.

{{ :수학:koch2.png?600 |}}

(※ 하나의 이미지에 담기 위해 여기서는 변환 S를 2.5배로 두었다.)

====== 이차 코흐곡선 ======
이번에는 하나의 선을 이용하여 형성된 프랙탈을 면으로 구성하여 변환을 거쳐보자. 이러한 프랙탈 도형을 **이차 코흐곡선(Quadratic Koch curve)**, **이차 코흐 섬(Quadratic Koch island)**, 또는
**코흐 눈꽃송이(Koch snowflake)** 등으로 불린다. 앞의 과정과 같이 선의 길이는 5이고, 여기서는 기본 도형이 사각형으로 시작하여 각 선분마다 변환을 시행한다.

{{ :수학:koch3.png?400 |}}

마찬가지로 다음 변환을 진행하기 위해, 가로 및 세로의 길이를 5배 늘리고, 변환 I를 진행하여 그림을 그릴 수 있을 것이다. 하지만 앞의 선의 경우와 달리
면을 형성하고 있어 다소 복잡하므로, 다음 변환을 생각하기 위해 규칙을 찾아보자. 사각형이 변환 I를 거쳐 모습이 형성되었을 때, 2차원 격자를 그어 살펴보자.

{{ :수학:koch4.png?200 |}}

외부는 신경쓰지 않고, 내부에서 형성되는 사각형을 살펴보면, 6가지의 공통된 사각형을 가지는 것을 확인할 수 있다.

{{ :수학:koch5.png?300 |}}

번호순대로 모양별 사각형을 square, dead-end, corner, parallel, line, empty라고 부르자. 오른쪽에 그려진 도형은 각 도형별로 변환 I를 거쳤을 때
생각할 수 있는 그림이다.

===== 선형 분석 =====
주어진 변환을 행렬로 구성하고, 변환되는 사각형을 벡터로 구성하면, 간단히 선형방정식으로 구성할 수 있는 것을 알 수 있다. 각 사각형에 대한 기저를 아래와 같이 구성하자.

\begin{equation}
    \mathbf{d} = \left( d_{\rm sq}\,, d_{\rm dead}\,, d_{\rm cor}\,, d_{\rm para}\,, d_{\rm line}\,, d_{\rm empty} \right)
\end{equation}

위 식의 기저를 순서로 하여, 도형 변환 I와 크기 변환 S의 행렬 SI를 아래와 같이 구성할 수 있을 것이다.

\begin{align}
SI = 
\begin{pmatrix}
	0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
	8 & 5 & 3 & 2 & 1 & 0 \\
	4 & 4 & 3 & 4 & 2 & 0 \\
	4 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
	4 & 6 & 5 & 8 & 4 & 0 \\
	1 & 5 & 11 & 9 & 17 & 25 
\end{pmatrix}
\end{align}

따라서 n-1번의 변환을 거친 프랙탈에 대해 아래와 같은 선형 방정식을 세울 수 있다.

\begin{equation}
    \mathbf{d}_{n} = SI \mathbf{d}_{n-1} = SI^{n-1} \mathbf{d}_1 \qquad (n \geq 2)
\end{equation}

하지만 이는 편의상 우리가 살펴보는 직교좌표계의 행렬이므로, 고유방정식을 계산하여 실제 프랙탈 구성요소의 직교좌표로 구성된 공간의 모습을 살펴보자.
행렬 SI를 대각화하면

\begin{align}
D=
	\begin{pmatrix}
		0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0  \\
		0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0  \\
		0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0  \\
		0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0  \\
		0 & 0 & 0 & 0 & 11 & 0 \\
		0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 25   
	\end{pmatrix}
\end{align}

$\lambda_{\rm sq}\,, \lambda_{\rm dead}\,, \lambda_{\rm cor}$는 0, $\lambda_{\rm para}$는 1, $\lambda_{\rm line}$는 11, $\lambda_{\rm empty}$는 25의 고윳값을 가지는 것을 확인할 수 있다. 코흐 곡선의 정의에서 길이 차원을 구한 것과 같이, 면적에 대한 차원을 계산해 볼 수 있는데,

\begin{align*}
	5^{{d}_{\rm{sq}}}   =& 5^{{d}_{\rm{dead}}} = 5^{{d}_{\rm{cor}}} = 0 \\
	5^{{d}_{\rm{para}}} =& 1 \, \rightarrow \, d_{\rm{para}} = \ln 1 / \ln 5 = 0 \\
	5^{d}_{\rm{line}}   =& 11 \, \rightarrow \, d_{\rm{para}} = \ln 11 / \ln 5 \\
	5^{d}_{\rm{empty}}  =& 25 \, \rightarrow \, d_{\rm{para}} = \ln 25 / \ln 5 = 2 \\
\end{align*}

따라서 $d_{\rm sq}\,, d_{\rm dead}\,, d_{\rm cor}$는 irrelevant하며, $d_{\rm para}$는 marginal, $d_{\rm line}$와 $d_{\rm empty}$는 relevant하다.

한편 각 고유값에 대응되는 고유벡터는,
\begin{equation*}
\begin{aligned}
	\mathbf{d}_{\rm{sq}} 	=& \, \left( -1 ~~ 4 ~~ -4 ~~ 0 ~~ 0 ~~ 1 \right) \\
	\mathbf{d}_{\rm{dead}} 	=& \, \left( 0 ~~ 1 ~~ -2 ~~ 0 ~~ 1 ~~ 0 \right) \\
	\mathbf{d}_{\rm{cor}} 	=& \, \left( 1 ~~ -2 ~~ 0 ~~ 1 ~~ 0 ~~ 0 \right)
\end{aligned}
\qquad
\begin{aligned}
	\mathbf{d}_{\rm{para}} 	=& \, \left( 0 ~~ 1 ~~ -1 ~~ 1 ~~ -3 ~~ 2 \right) \\
	\mathbf{d}_{\rm{line}} 	=& \, \left( 0 ~~ -98 ~~ -112 ~~ -28 ~~ -196 ~~ 379 \right) \\
	\mathbf{d}_{\rm{empty}}	=& \, \left( 0 ~~ 0 ~~ 0 ~~ 0 ~~ 0 ~~ 1 \right)
\end{aligned}
\end{equation*}

고유벡터로 구성되는 행렬 Q를 $Q = \left( \mathbf{d}_{\rm{sq}}\,, \mathbf{d}_{\rm{dead}}\,, \mathbf{d}_{\rm{cor}}\,, \mathbf{d}_{\rm{para}}\,, \mathbf{d}_{\rm{line}}\,, \mathbf{d}_{\rm{empty}} \right)$
으로 구성하면, 간단히 대각행렬 D만 계산하여 n번의 변환을 거친 프랙탈 기본 구성 사각형의 총 개수를 얻을 수 있다.
\begin{equation*}
	SI^{n} = \left( QDQ^{-1} \right)^{n} = QD^{n}Q^{-1}
\end{equation*}

위 식의 성질을 이용하여 python의 numpy, matplotlib를 이용한 코드는 아래와 같다.

{{:수학:kochgraph.png?600 |}}


<code Python | fractalstep.py>
import numpy as np
import numpy.linalg as lin
import matplotlib.pyplot as plt

matrix = np.array(
        [[0,0,0,0,0,0],
        [8,5,3,2,1,0],
        [4,4,3,4,2,0],
        [4,2,1,0,0,0],
        [4,6,5,8,4,0],
        [1,5,11,9,17,25]]
)

steps = 10
eigval, eigvec = lin.eig(matrix)
diagmat = np.zeros((6,6))
np.fill_diagonal(diagmat,eigval)
diagmat0 = diagmat
sum_mat = np.zeros((6,steps))
for i in range(steps):
        A = eigvec @ diagmat @ lin.inv(eigvec)
        for j in range(6):
                sum_mat[j][i] = np.sum(A[j])
        diagmat = diagmat0 @ diagmat

x = np.arange(1,steps+1,1)
label = ['square', 'deadend', 'corner', 'parallel', 'line', 'empty']
for i in range(6):
        plt.plot(x, sum_mat[i], label=label[i])
plt.yscale('log')
plt.plot((2,8),(5**5*10,5**17*10),'--',label='2')
log_5_11=np.log(11)/np.log(5)
plt.plot((2,8),(5**(log_5_11*2)*10,5**(log_5_11*8)*10),'--',label=r'$\log 11 / \log 5$')
plt.xlabel('steps')
plt.ylabel('n (steps)')
plt.legend()
plt.savefig('kochgraph.png', dpi=300, transparent=True)
</code>

====== 함께 보기 ======
  * [[물리:프랙탈 차원]]
  * [[http://events.kias.re.kr/h/statphys.winterschool/?pageNo=4526|The 19th KIAS-APCTP Winter School on Statistical Physics]]