======개요======
정확히 10분 간격으로 오는 버스가 있고, 내가 무작위로 정류장에 도착한다면 대기시간은 평균 5분일 것이다.
반면 평균 10분 간격의 푸아송 과정으로 도착하는 버스가 있을 때 마찬가지로 무작위로 정류장에 도착한다면 대기시간은 5분이 아니라 10분이 된다.

======설명======
버스와 버스 사이의 간격을 $T$라고 부르고 $\rho(T) dT$가 길이 $(T, T+dT)$인 간격의 비율이라고 하자. 예컨대 푸아송 과정이라면 $\rho(T) = \mu e^{-\mu T}$가 된다.

내가 정류장에 도착했을 때 길이가 $T$인 간격에 놓일 확률을 $p(T)$라고 부르자. 중요한 점은 "길이가 긴 구간은 선택될 확률이 더 높다"는 것이다. 즉 $p(T) \propto T \rho(T)$이다. 규격화 조건 $\int_0^\infty p(T) dT = 1$을 이용하면, $p(T) = \frac{T \rho(T)}{\left< T \right>}$이고 이 때에 $\left< T^n \right> \equiv \int_0^\infty T^n \rho(T) dT$이다.

이제 정류장에서 기다려야 하는 시간 $\tau$의 확률분포 $p(\tau)$를 생각해보자. 이는 한계분포(marginal distribution)의 개념과 [[수학:베이즈의 정리]]를 사용해 다음처럼 쓸 수 있다.
\begin{eqnarray*}
p(\tau) &=& \int_0^\infty p(\tau, T) dT\\
&=& \int_0^\infty p(\tau|T) p(T) dT.
\end{eqnarray*}
여기에서 $p(\tau|T)$는 $T$라는 길이의 구간에 도착했다는 전제 하에서 내가 $\tau$만큼을 기다린다는 확률밀도인데, 무작위로 구간의 아무 점이나 고르게 되므로 다음처럼 기술된다:
\[ p(\tau|T) = \left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{T} && \text{if }T \ge \tau\\
0 && \text{otherwise.}
\end{array}
\right. \]
따라서 종합해보면 대기시간 $\tau$의 확률밀도는
\[ p(\tau) = \int_\tau^\infty \frac{1}{T} \frac{T \rho(T)}{\left< T \right>} dT = \frac{1}{\left< T \right>} \int_\tau^\infty \rho(T) dT
\]
이고 $\tau$의 기대값은
\begin{eqnarray*}
\overline{\tau} &=& \int_0^\infty \tau p(\tau) d\tau\\
&=& \int_0^\infty d\tau \frac{\tau}{\left< T \right>} \int_\tau^\infty \rho(T) dT\\
&=& \int_0^\infty dT \int_0^T d\tau \frac{\tau}{\left<T \right>} \rho(T) dT\\
&=& \frac{\left<T^2 \right>}{2\left< T \right>}\\
&=& \frac{\left<T\right>}{2} \left( 1 + \frac{\sigma_T^2}{\left<T\right>^2} \right)
\end{eqnarray*}
로서 $\sigma_T^2 \equiv \left< T^2 \right> - \left<T \right>^2$이다.

따라서 $\sigma_T^2=0$인 경우에는 $\overline{\tau} = \left<T \right>/2$로서 정해진 간격의 절반만 기다리면 되지만, 푸아송 과정이라면 $\rho(T)$가 지수함수적으로 분포하여 $\left< T \right> = 1/\mu$, $\sigma_T^2 = 1/\mu^2$이므로 $\overline{\tau} = 1/\mu$로서 간격들의 길이 평균과 같아진다.

======참고문헌======
  *http://estebanmoro.org/2009/01/waiting-for-the-bus/
  *Wolfgang von der Linden, Volker Dose, and Udo von Toussaint, //Bayesian Probability Theory: Applications in the Physical Sciences// (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2014).