======상관함수======

===상관함수를 얻기===
임의의 함수 $A(x)$ 가 있을 때 변수 $x \in [a,b]$ 에 대해 $x \rightarrow x+x_\text{corr}$ 을 한 함수 $A(x+x_\text{corr})$ 를

$A(x)$ 에 곱하여 구간에서의 평균을 구하자. 이렇게 얻어진 $x_\text{corr}$ 의 함수를 $G(x_\text{corr})$ 이라고 하고 상관함수라고 부른다. 

\begin{equation*}
\begin{split}
G(x_\text{corr}) &= \frac{\int_{a}^{b} A(x)A(x+x_\text{corr}) dx}{(b-a)}\\
&= \big<A(x)A(x+x_{corr})\big>
\end{split}
\end{equation*}

===간단한 예제: 코사인 함수===

$t\in [0,2\pi]$ 에서 함수 $\cos{t}$에 대한 상관함수를 얻어보자. 

\begin{equation*}
\begin{split}
G(t_\text{corr}) &= \frac{\int_{0}^{2\pi} \cos(t) \cos(t+t_\text{corr})dt }{2\pi}\\
&= \frac{1}{2} \cos(t_\text{corr})
\end{split}
\end{equation*}

얻어진 $G$ 를 잘 보면 $t_\text{corr}$ 이 $\pi$의 정수배일 때 진폭이 최대 혹은 최소임을 알 수 있다. 

이 의미는 주기함수를 $1$주기나 $\frac{1}{2}$주기만큼 옮긴 함수는 한 주기동안의 모양이 같다는 것으로 해석할 수 있다. 


===자성체의 스핀 밀도에서의 이용===

강자성체는 임계온도 이상에서 상자성체가 된다. 그렇다면 임계온도보다 낮은 온도에서 임계온도에 접근할수록 스핀 밀도의 평균인

자화도가 0이 된다. 이때 임계온도 근처에서 스핀 방향이 같은 몇개의 영역이 나타나게 되는데. 이 영역의 상관 길이는 아주 크다.  

어떤 기준점 $0$ 으로부터 위치가 $\vec{r}$ 만큼 떨어진 곳의 스핀 밀도를 $\sigma(\vec{r})$ 이라고 부르자.

이때 스핀 밀도의 편차에 대한 상관함수를 $G(0)$ 이라고 하면 상관함수를 아래와 같이 쓸 수 있다. 

$$ G(0) = \big<(\sigma(0) - <\sigma>)(\sigma(\vec{r}) - <\sigma>)\big> $$

임계온도로 갈수록 $<\sigma>$ 는 0에 가까워지게 된다. 따라서 위의 $G(0)$ 값은 어떤 기준점으로부터 $\vec{r}$만큼 떨어진 곳을 기준으로 할때의 스핀 분포가 기준점 $0$에서의 분포와  얼마나 비슷한가로 결정된다. 

임의의 $\vec{r}$ 에 대해 $G(0)$가 항상 큰 값을 가지게끔 하려면 $|\vec{r}| \rightarrow 0$ 부터 $|\vec{r}| \rightarrow large$ 까지 스핀의 분포가 같아야 한다는 결론이 나오게 된다. 

푸리에 변환을 적용하여 위 함수를 파수벡터 공간에 대한 함수로 전개할 때 $\vec{r}$이 발산한다는 것은 $k$가 $0$으로 가야만 값을 준다는 것을 의미한다. 

임계온도 근처에서 $G(k=0)$는 발산하는 것 같은 값을 가짐이 중성자 산란 실험에서 알려져 있다. 중성자 산란 실험에서는 스핀을 가지는 입자 사이의 거리가 아닌 운동량 운반자 개념을 사용한다. 이 때 운동량 운반자가 교차영역을 구하는 과정에서 파수벡터같은 역할을 하게 된다.

정상상태에서의 파동함수의 관점에서 생각해보면 장거리에 걸쳐서 그 범위 내의 스핀의 분포가 같게 나타난다면 공간 $x$에 대한 스핀 값 변화에 대한 주기가 아주 길다는 결론을 낼 수 있다.  

이때 운동량 공간의 파수벡터는 상대적으로 0에 가까워져야 하고 운동량 운반자를 파수벡터로 설명하는 중성자 산란 실험에서 $G(k = 0)$에서 최대 진폭을 얻는 실험결과에 부합한다. 

따라서 장거리에 걸쳐서 스핀 방향이 거의 같은 몇개의 영역이 나타난다는 설명은 설득력이 있다.


======참고문헌======

  * MA, Shang-Keng. Modern theory of critical phenomena. Da Capo Press, 2000.
  * Leonid Zhigilei. University of Virginia, MSE 4270/6270: Introduction to Atomistic Simulations(http://www.people.virginia.edu/~lz2n/mse627/notes/Correlations.pdf)