======직교하지 않는 좌표계에서의 벡터======

=====표현=====
좌표계의 축들이 직교하지 않는다고 해보자. 이 때 벡터를 성분으로 나타내려면 두 가지 방안이 있을 수 있다.

하나는 왼쪽처럼 축에 평행한 방향으로 선을 그어서 표현하는 방법이다. 이렇게 표현하는 벡터를 $\vec{r} = x^1 \vec{a}_1 + x^2 \vec{a}_2$라고 하자. $\vec{a}_i$는 적절한 기저 벡터이고, 윗 첨자는 제곱을 의미하는 것이 아님에 주의한다.

다른 방법은 오른쪽 그림처럼 축에 수선을 내림으로써 표현하는 것이다. 이렇게 표현하는 벡터를 $\vec{r} = x_1 \vec{a}^1 + x_2 \vec{a}^2$으로 적자. 마찬가지로 $\vec{a}^i$는 적절한 기저 벡터로, $\vec{a}_i$와 일반적으로 같지 않다.

좌표축이 수직하다면 이 두 표기법을 구분할 필요는 없다.

{{:수학:tensor_cand1.png?200|}}
{{:수학:tensor_cand2.png?200|}}

아인슈타인 표기법에 따르면 $\vec{r} = x_i \vec{a}^i = x^i \vec{a}_i$이며, 반면 $\vec{r} \neq x_i \vec{a}_i$이고 $\vec{r} \neq x^i \vec{a}^i$이다. 이제 이 둘을 같이 그려보자.

{{:수학:tensor_both.png?200|}}

좌표축 사이의 각도를 $\alpha$라고 하자. 벡터의 화살표 끄트머리로부터 $x^1$으로 내려오는 선과 $x_1$으로 내려오는 선 사이의 각도를 $\theta$라고 하면, 위 그림 오른쪽의 삼각형으로부터 $\alpha+\theta = \pi/2$임을 쉽게 알 수 있다.

그 삼각형을 좀더 들여다보면, 밑변의 길이가 $x_1 - x^1$이고 가장 긴 변의 길이는 $x^2$이다. 둘 사이의 각도가 $\theta$이므로 다음의 식을 얻는다:
$$ x_1 - x^1 = x^2 \sin \theta. $$
마찬가지로 제일 위에 놓인 삼각형을 보면
$$ x_2 - x^2 = x^1 \sin \theta. $$
임을 알게 된다. 다시 말해서,
$$\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
1 & \sin\theta\\
\sin\theta & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x^1\\
x^2
\end{pmatrix}
$$
이라는 것이다. 중간의 $2 \times 2$ 행렬을 $g$라고 부르면 다음처럼 적을 수 있다:
$$x_i = g_{ij} x^j.$$

=====거리잡기 텐서=====
위 그림에서 벡터의 길이 $r^2$은 코사인 법칙에 의해
$$r^2 = x^1 \times x^1 + x^2 \times x^2 - 2x^1 x^2 \cos(\pi - \alpha)$$
이다. 위에서 $\alpha+\theta = \pi/2$임을 보였으므로 $\cos (\pi-\alpha) = -\cos\alpha = -\sin \theta$이고 따라서
$$r^2 = x^1 \times x^1 + x^2 \times x^2 + 2x^1 x^2 \sin\theta =
\begin{pmatrix}
x^1 & x^2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & \sin\theta\\
\sin\theta & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x^1\\
x^2
\end{pmatrix}
$$
이다. 위에서 정의한 $g$가 다시 등장하였으므로
$$r^2 = x^i g_{ij} x^j = x^i x_i$$
라고 줄여 쓸 수 있다.

=====좌표축 회전에 대한 변환식=====

====반변====

위의 좌표축을 각도 $\beta$만큼 회전시켜보자. 아래 그림처럼 벡터 $\vec{r}$은 이 새로운 좌표축 $(\tilde{X}, \tilde{Y})$에서 $\tilde{x}^1$과 $\tilde{x}^2$라는 성분으로 기술될 것이다.

{{:수학:tensor_contra.png?200|}}

설명의 편의를 위해, $O\tilde{Y}$에 평행하게 $A=x^1 \vec{a}_1$으로부터 $\tilde{X}$ 축 위로 선분을 긋자. 이 때에 만들어지는 각을 $\gamma$와 $\mu$라고 부르고 있다. 위 그림에서 이 두 각을 포함하고 있는 삼각형 OAB를 보면, 그 둘을 제외한 나머지 각 BOA는 단순히 회전각 $\beta$이므로 $\beta + \gamma + \mu = \pi$임을 알 수 있다.

삼각형 OAB에서 붉은 색으로 칠해진 변 OB의 길이는 사인 법칙에 의해 $x^1 \frac{\sin \mu}{\sin \gamma}$이다.

그 옆의 색칠된 삼각형 두 개는 서로 닮음인데, 그 중 큰 쪽을 보면, 아래에 놓인 예각 BAC는 $\beta$와 같고 왼쪽 위의 둔각 ABC는 $\pi - \gamma$와 같다. 따라서 사인 법칙을 다시 한번 이용하면, 이 삼각형에서 붉은 색 실선으로 나타낸 변 BC의 길이는 검은 점선으로 나타낸 변 AC의 $\frac{\sin \beta}{\sin \gamma}$ 배일 것이다

작은 삼각형도 닮음에 의해 마찬가지. 그리고 두 삼각형에서 검은 점선 두 개 길이의 합은 $x^2$에 다름 아니므로 결과적으로 우리는 $\tilde{x}^1$의 크기를 알게 되었다:
$$\tilde{x}^1 = x^1 \frac{\sin\mu}{\sin\gamma} + x^2 \frac{\sin\beta}{\sin\gamma}.$$

다른 한편, $x_2$를 고정한 채 $x_1$을 늘려갈 때 $\tilde{x}_1$이 얼마나 변화하는지 생각해보자. 즉 위 그림에서 빈 화살표 방향으로 진행하는 것을 의미한다. 여기에서도 사인 법칙을 이용하면 그 변화량이
$$ \left( \frac{\partial \tilde{x}^1}{\partial x^1} \right)_{x^2} = \frac{\sin\mu}{\sin\gamma}$$
임을 보일 수 있다.

또 이번에는 $x_1$를 고정한 채 $x_2$을 늘려갈 때 $\tilde{x}_1$이 얼마나 변화하는지를 생각해본다면, 이는 선분 AC를 연장시키며 진행하는 것에 대응하는데, 그 변화량은 다음과 같다:
$$ \left( \frac{\partial \tilde{x}^1}{\partial x^2} \right)_{x^1} = \frac{\sin\beta}{\sin\gamma}.$$

다시 말해서,
$$\tilde{x}^1 = \left( \frac{\partial \tilde{x}^1}{\partial x^1} \right)_{x^2} x^1 + \left( \frac{\partial \tilde{x}^1}{\partial x^2} \right)_{x^1} x^2$$
이 성립하고 더 일반적인 표현식으로는
$$ \tilde{x}^j = \frac{\partial \tilde{x}^j}{\partial x^k} x^k $$
이 된다.


====공변====

이번에는 축에 수선을 내린 경우에서 좌표축을 각도 $\beta$만큼 회전해보자.

{{:수학:tensor_co.png?200|}}

$\tilde{x}_1$의 표현식을 구하려고 한다.

먼저 선분 OB의 길이는 $x_1 \cos\beta$임을 $X$ 축과 비교함으로써 알 수 있다.

나머지 부분의 길이를 구하기 위해, 벡터의 화살표 끝에서 $X$ 축으로 내린 검은색 점선을 보자. 여기에 $\sin\beta$를 곱하면 우리가 알고자 하는 길이가 된다.

그리고 벡터 $\vec{r}$의 길이를 $r$이라 하면 그 검은색 점선의 길이는 $r \sin\phi$이다.

요컨대, $\tilde{x}_1 = x_1 \cos\beta + r \sin\phi \sin\beta$이다.

그런데 벡터의 길이 $r$에 대해 다음 식이 성립함을 쉽게 알 수 있다.
$$ r = \frac{x_1}{\cos\phi} = \frac{x_2}{\cos(\alpha-\phi)}. $$
이를 통해 $r$을 소거하고 다음처럼 쓸 수 있다.

$$\tilde{x}_1 = x_1 \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin\alpha} + x_2 \frac{\sin\beta}{\sin\alpha}.$$

그런데 $\tilde{x}_2$를 고정한 채 $\tilde{x}_1$을 증가시켰을 때 $x_1$이 얼마나 변화하는지를 보면 (빈 화살표 참조)
$$ \left( \frac{\partial x_1}{\partial \tilde{x}_1} \right)_{\tilde{x}_2} = \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin\alpha}$$
임을 보일 수 있다.

마찬가지로 $\tilde{x}_2$를 고정한 채 $\tilde{x}_1$을 증가시켰을 때 $x_2$가 얼마나 변화하는지를 보면
$$ \left( \frac{\partial x_2}{\partial \tilde{x}_1} \right)_{\tilde{x}_2} = \frac{\sin\beta}{\sin\alpha}$$
이다. 따라서
$$\tilde{x}_1 = \left( \frac{\partial x_1}{\partial \tilde{x}_1} \right)_{\tilde{x}_2} x_1 + \left( \frac{\partial x_2}{\partial \tilde{x}_1} \right)_{\tilde{x}_2} x_2$$
이고 더 일반적으로 적으면 다음과 같다:
$$\tilde{x}_j = \frac{\partial x_k}{\partial \tilde{x}_j} x_k.$$

=====두 벡터의 내적=====
{{:수학:tensor_inner.png?200|}}

위의 그림을 다시 한번 생각해보자. 사인 법칙에 의해
$$\frac{r}{\sin(\pi-\alpha)} = \frac{x^1}{\sin(\alpha-\phi)} = \frac{x^2}{\sin\phi}$$
이므로
$$x^1 = r \frac{\sin(\alpha-\phi)}{\sin\alpha},$$
$$x^2 = r \frac{\sin\phi}{\sin\alpha}$$
임을 알 수 있다.

다른 한편, 공변 성분은 간단히 $x_1 = r \cos\phi$, $x_2 = r \cos(\alpha-\phi)$이다.

위의 표현식들을 이용해 $\phi_1$ 방향을 가리키는 반변 벡터 $\vec{F}$와 $\phi_2$ 방향을 가리키는 공변 벡터 $\vec{s}$를 내적해보자:
$$F^i s_i = F^1 s_1 + F^2 s_2 = F \frac{\sin(\alpha-\phi_1)}{\sin\alpha} s \cos\phi_2 + F \frac{\sin\phi_1}{\sin\alpha} s \cos(\alpha-\phi_2).$$
이 때에 $F \equiv |\vec{F}|$, $s \equiv |\vec{s}|$이다.
코사인과 사인을 전개하고 정리하면
$$F^i s_i = F s \cos(\phi_1 - \phi_2)$$
로서 올바른 결과를 얻는다.


======몇 가지 언급======
텐서 분석에서는 어떤 물리적 실재가 있다는 것, 그래서 우리가 관찰을 위해 선택한 특정한 좌표계와 무관하게 동일한 것으로 남아있어야 한다는 생각이 바탕에 깔려 있다. 이를 위해 공변과 반변이 같이 등장해야 한다.[[https://en.wikipedia.org/wiki/Covariance_and_contravariance_of_vectors|위키피디아]]의 탁월한 비유처럼, 만일 우리가 좌표의 축척을 100만큼 나누어서 미터 대신 센티미터로 길이를 재고자 한다면 좌표축에 등장하는 숫자는 100배를 곱해줘야 한다 (즉 1m = 100cm). 전자가 공변이라면 후자는 반변이다. 벡터의 경우에도 공변과 반변이 같이 있음으로써 이러한 불변성이 보장된다:
$$\vec{v} = v_i \vec{a}^i = v^i \vec{a}_i.$$
기울기(gradient) 벡터가 공변이라고 하는 것은 그 __원소__가 공변이라는 뜻이다:
$$\left( \nabla u \right)_i = \frac{\partial u}{\partial x^i} = \frac{\partial \tilde{x}^j}{\partial x^i} \frac{\partial u}{\partial \tilde{x}^j}.$$
기울기 벡터 자체를 적어보면
$$\nabla u = \frac{\partial u}{\partial x^i} \vec{a}^i$$
로서, 여기에서 만일 $u = x^j$라면
$$\nabla u = \frac{\partial x^j}{\partial x^i} \vec{a}^i = \delta^j_i \vec{a}^i = \vec{a}^j$$
가 됨으로써 기울기는 __반변__ 벡터가 될 수 있다. 이는 그 원소가 공변이라는 진술과 모순이 아니라 오히려 잘 들어맞는 결과이다.

======계량 텐서======
$x^i$ 좌표계에서 아주 짧은 변위 벡터는
$d\vec{s} = dx^i \vec{a}_i$
이고 따라서 그 제곱은 $ds^2 = dx^i dx^j \vec{a}_i \cdot \vec{a}_j$이다.
$g_{ij} \equiv \vec{a}_i \cdot \vec{a}_j$로 정의하면 $ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j$이며, 이 때 $g_{ij}$를 계량 텐서라고 부른다.

데카르트 좌표계에서 $g_{ij} = \delta_{ij}$이다.

이제 기저 벡터 $\vec{\alpha}_i$를 가지는 새로운 $\tilde{x}^i$ 좌표계를 생각해보자. 변위 벡터가 $\vec{s} = \tilde{x}^i \vec{\alpha}_i = \tilde{x}_i \vec{\alpha}^i$로 표현되므로
$$\vec{\alpha}_j = \frac{\partial}{\partial \tilde{x}^j} \vec{s} = \frac{\partial x^i}{\partial \tilde{x}^j} \vec{a}_i$$
이다. __기존 좌표계__에서의 기저 벡터 $\vec{a}_i$로 표현되었음에 유의한다. 행렬 $J$가 원소로서
$$J_{ij} = \frac{\partial x^i}{\partial \tilde{x}^j}$$
를 가진다고 하자. 위 $\vec{\alpha}_j$의 표현식과 비교해보면, $J$의 $j$ 번째 열은 $\vec{\alpha}_j$를 __기존 좌표계__에서 표현한 것에 해당한다. 그리고 __새로운 좌표계__에서의 공변 계량 텐서는 행렬 $\tilde{g} = J^T J$로 표현된다.

원래의 $x^i$ 좌표계에서의 기술을 이 $\tilde{x}^i$ 좌표계로 옮겨주는 행렬 $R$을 고려하면, 그 행렬의 원소는 다음처럼 주어진다:
$$R_{ij} = \frac{\partial \tilde{x}^i}{\partial x^j}.$$
한편 우리는 이미 $\nabla x^i = \vec{a}^i$임을 보았다. 이는 $\nabla \tilde{x}^i = \vec{\alpha}^i$임을 유츄하게끔 해주는데, 이 때 $\nabla$는 원래의 $x^i$ 좌표계에서 계산하는 것임에 유의하라. 즉 새로운 좌표계 $\tilde{x}_i$가 가지는 기저 벡터 $\vec{\alpha}^i$들을 __기존 좌표계에서__ 표현하는 것이다. 그러한 방식으로 이 $R$의 $i$ 번째 행은 $\vec{\alpha}^i$를 나타낸다.

$R = J^{-1}$이므로 $J^T J R R^T = I$임은 자명하다. 이를 고쳐 적어보면
$R J = J^T J R R^T = \tilde{g} R R^T$
인데 좌변의 $R J$는 새로운 좌표계에서 적은 $\vec{\alpha}_j$들을 묶어놓은 것이고, 제일 오른쪽에 등장하는 $R R^T$는 마찬가지로 새로운 좌표계에서 적은 $\vec{\alpha}^i$들을 열 벡터들로 묶어둔 것이다. 이 좌표계에서 적은 계량 텐서 $\tilde{g}$가 양쪽을 연결해주는데, 구체적으로는 반변 텐서를 공변으로 바꾸어준다.

예를 들어
$\left\{ \begin{array}{lcl}
x_1&=&\tilde{x}_1+\tilde{x}_2\\
x_2&=&\tilde{x}_2
\end{array}\right.$,
혹은 다른 말로
$\left\{ \begin{array}{lcl}
\tilde{x}_1&=&x_1-x_2\\
\tilde{x}_2&=&x_2
\end{array}\right.$,
라고 해보자. 위의 $J$ 행렬은 이 경우 다음처럼 구해질 것이다:
$$J = \begin{pmatrix}
1 & 1\\0 & 1
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\vec{\alpha}_1 & \vec{\alpha}_2.
\end{pmatrix}$$
따라서 계량 텐서는 $\tilde{g} = J^T J = \begin{pmatrix} 1 & 1\\1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix}$이다. 다른 한편으로 위에서 쓴 $R$ 행렬은 아래와 같을 것이다:
$$R = \begin{pmatrix}
1 & -1 \\ 0 & 1
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\vec{\alpha}^{1^T} \\
\vec{\alpha}^{2^T}
\end{pmatrix}.$$
위의 항등식 $RB = gRR^T$로부터 아래의 관계식을 쉽게 확인할 수 있다:
$$R \begin{pmatrix}
\vec{\alpha}_1 & \vec{\alpha}_2
\end{pmatrix}
= g R \begin{pmatrix}
\vec{\alpha}^1 & \vec{\alpha}^2
\end{pmatrix}.$$
즉 새로운 좌표계에서 기술한 반변 텐서 $R \vec{\alpha}^i$가 $\tilde{g}$에 의해 (역시 새로운 좌표계에서 기술한) 공변 텐서 $R \vec{\alpha}_i$로 옮겨진다.

======참고문헌======
  *http://nct.goetheanum.org/cocontra.htm
  *http://mathpages.com/rr/s5-02/5-02.htm
  *http://www.openicon.com/mu/math/gradient_covariance/gradient_covariance.html