두 운동량 $p_1$과 $p_2$를 가지며, 점유입자수(occupation number) 표현식이 $|n_1 n_2 \rangle$와 같이 표현되는 계를 고려하자.

이때, 해당 상태는 진공 상태(vacuum state)인 $|0\rangle$에 생성 연산자(creation operator)들을 걸어줌으로써 얻을 수 있을 것이므로 아래와 같이 표현 가능하다.

$$ \hat{a}_{p_1}^\dagger |0\rangle = |10\rangle, \ \hat{a}^\dagger |0\rangle = |01\rangle. $$

여기에 또 다른 입자를, 점유되어 있지 않은 곳에 하나 더 생성해보자: $$ \hat{a}_{p2}^\dagger \hat{a}_{p1}^\dagger | 0\rangle \propto |11\rangle, \ \hat{a}_{p1}^\dagger \hat{a}_{p2}^\dagger|0 \rangle \propto |11\rangle. $$ 위에서 '비례' 기호($\propto$)는 비례 관계에 대응되는 상수를 아직 정할 수 없기 때문에 표기된 것이다.

위의 과정을 통해 아래의 관계식을 이해할 수 있다: $$ \hat{a}_{p1}^\dagger \hat{a}_{p2}^\dagger = \lambda \hat{a}_{p2}^\dagger \hat{a}_{p1}^\dagger. $$ 위에서 $\lambda$는 상대적인 비례 상수이다.

이때 우리는 $\lambda = \pm 1$인 경우를 고려하자.

우선 $\lambda = 1$인 경우는 '보존'에 해당하며, 앞서 우리가 얻은 관계식에 $\lambda$를 대입하면 다음과 같다.

$$ \hat{a}_{p1}^\dagger \hat{a}_{p2}^\dagger = \hat{a}_{p2}^\dagger \hat{a}_{p1}^\dagger. $$ 여기에서 각 아래 첨자를 $i$ 및 $j$로서 일반화된 상태에 대해서 표현하고, 항들을 재배열하면

다음과 같은 commutation relation을 얻을 수 있다. $$[\hat{a}_i^\dagger, \hat{a}_j^\dagger ] = \hat{a}_i^\dagger \hat{a}_j^\dagger - \hat{a}_j^\dagger \hat{a}_i^\dagger =0. $$

즉, 이 경우 서로 다른 입자 상태에 대한 생성 연산자는 교환 가능(commute)함을 의미한다. 이와 유사하게 소멸 연산자(annihilation operator)에 대해서도 아래와 같은 관계식을 얻을 수 있다. $$ [\hat{a}_i, \hat{a}_j ] =0. $$

우선 $\lambda = -1$인 경우는 '페르미온'에 해당한다. 보존의 경우에 사용했던 연산자 표기($\hat{a}^\dagger, \hat{a}$)와 구별하기 위해 $\hat{f}^\dagger, \hat{f}$와 같이 표기하여 다음과 같은 관계식을 확인하자: $$ \left\{ \hat{f}_i^\dagger, \hat{f}_j^\dagger\right\} \equiv \hat{f}_i^\dagger \hat{f}_j^\dagger+\hat{f}_j^\dagger \hat{f}_i^\dagger =0. $$ 위의 식을 통해서 우리는 페르미온 연산자는 서로 'anticommute'함을 알 수 있다.

즉, 입자의 순서를 바꾸게 된다면 음의 부호$(-)$를 붙여준다. $( \because \hat{f}^\dagger_i \hat{f}^\dagger_j = -\hat{f}^\dagger_j \hat{f}^\dagger_i).$

페르미온은 '파울리 배타원리 (Pauli exclusion principle)'을 따르는데, 이를 위의 식에 $i=j$를 대입하여 확인해볼 수 있다:

$$ \hat{f}^\dagger_i \hat{f}^\dagger_i + \hat{f}^\dagger_i\hat{f}^\dagger_i =0\\ \\ \therefore \hat{f}^\dagger_i\hat{f}^\dagger_i=0. $$ 즉, 동일한 상태에 두 개의 페르미온을 두려고 하는 것은 (완전하게 소멸되므로) 불가능함을 확인할 수 있다.

양자역학으로 기술되는 현상을 다루는 통계역학 모형은 '양자 스핀(quantum spin)'이 포함된 해밀토니안(Hamiltonian)으로 기술되곤 한다.

$ \\ $ 다체계 문제(many-body problem)에서는 이러한 양자 스핀은 다루기가 상당히 까다로운데, 그 한 가지 이유는

각각 보존, 페르미온이 만족하는 관계식인 commutation, anticommuatation을 일반적으로 만족하지 않기 때문이다.

따라서, 기존의 모형을 원활하게 풀이하기 위해서는 새로운 방법이 필요하다.

1차원에서는, 양자 스핀이 페르미온과 유사한 방식으로 동작하며, 그와 관련하여 Jordan과 Wigner가 발견한 방법은 다음과 같은 내용에서 시작된다.

각 스핀(signle spin)이 위(up)와 아래(down)를 가리키는 상태는, 각각 페르미온 입자가 점유된(occupied) 상태와 점유되지 않은(empty) 상태로 해석될 수 있다. 이는 아래와 같은 mapping을 가능하게 한다.

$$ |\uparrow \rangle \equiv \hat{f}^\dagger | 0\rangle , \quad |\downarrow \rangle \equiv 0\rangle. $$ (이번 게시글에서는 $\hbar =1 $로 설정하자.)

이때, 스핀을 올리는(spin-raising) 연산자와 스핀을 내리는(spin-lowering) 연산자를 다음과 같은 명시적인 표현법으로 나타낼 수 있겠다. $$ S^+ =\hat{f}^\dagger= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \\ \\ S^- =\hat{f}= \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $$

또한, 스핀 연산자의 $z$방향 성분은 다음과 같이 작성될 수 있음을 행렬 연산으로 확인할 수 있다. $$ S_z = \frac{1}{2}\Big[|\uparrow \rangle \langle \uparrow |-|\downarrow \rangle \langle \downarrow |\Big] \equiv \hat{f}^\dagger \hat{f} - \frac{1}{2}. $$

가로 방향 스핀 연산자(transverses spin operator)들은 다음과 같이 표현된다. $$ S_x = \frac{1}{2}(S^+ + S^-) = \frac{1}{2} (\hat{f}^\dagger + \hat{f})\\ S_y = \frac{1}{2i}(S^+ - S^-) = \frac{1}{2i} (\hat{f}^\dagger - \hat{f}). $$

이때, 아래의 commutation relation을 행렬 표기법을 통하여 간단히 확인해볼 수 있다. $$ [S_a, S_b] = i\epsilon_{abc}S_c. $$ 따라서 스핀 연산자는 서로 교환이 가능하지 않다.

$\\$

다만 여기에서 스핀 연산자가 갖는 특이한 부분이 있으며

그는 다음과 같이 anticommutation relation은 만족 된다는 것이다.

$$ \{S_a, S_b\}=\frac{1}{4}\{\sigma_a,\sigma_b\} = \frac{1}{2}\delta_{ab}. $$ 위에서 $\sigma_i$는 '파울리 스핀 연산자'로서, 행렬 표기를 통해 아래와 같이 정의된다. $$ \sigma_x=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \ \sigma_y=\begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix}, \ \sigma_z =\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \ . $$

$$ \sigma_+=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \ \sigma_-=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\ . $$

$\\$ 이러한 anticommuation relation은 (앞서 살펴보았듯이) 페르미온이 갖는 성질이므로, 양자 스핀을 페르미온으로 변환하는 과정이 이미 적절한 것처럼 보인다.

$\\$ 다만, 스핀이 한 개가 아닌 여러 개의 스핀으로 구성되어 있다면 이야기가 달라진다. 독립적인 스핀 연산자는 서로 commute한 점과 다르게, 독립적인 페르미온은 서로 anticommute하기 때문이다:

앞서 본 것과 같이 $S_j^+ =\hat{f}_j^\dagger,\ S_j^- =\hat{f}_j$의 변환을 사용한다면, 이러한 성질을 반영하지 않게 된다. $\\$

이에 대하여 Jordan과 Wigner가 고안한 방법은, 기존의 변환 방법을 아래와 같이 수정하는 것이다.

$$S_j^+ = \hat{f}_j^\dagger e^{i\phi_j},\\ \\ \phi_j \equiv \pi \sum_{l<j} n_l. $$ (위에서 $n_l$은 $l$의 site에 페르미온 입자가 존재하면 $1$, 존재하지 않다면 $0$의 값을 취한다.)

즉, 위상 연산자(phase operator) $\phi_j$를 지수로 갖는 인자(factor)를 이용함으로써 수정된 관계식을 사용하면 문제는 해결되며

이때 $e^{i\phi_j}$의 연산자를 'string' 연산자라고 부른다.

$\\$ 위의 내용을 잠시 정리해보면, 요르단-위그너 변환법은 아래와 같은 변환이다. $$ S_j^z = \hat{f}_j^\dagger \hat{f}_j - \frac{1}{2}\\ \\ S_j^+ = \hat{f}_j^\dagger e^{i\pi \sum_{l<j} n_l}\\ \\ S_j^- = \hat{f}_j e^{-i\pi \sum_{l<j} n_l}. $$

(참고로, $e^{-i\pi n_j} = e^{-i\pi n_j}$로서 각 복소지수함수는 Hermitian 연산자이기 때문에 위상 인자의 전체적인 부호는 'spin operator를 바꾸지 않고도' 뒤집혀질 수 있다.) $\\$

이러한 '스핀 = 페르미온 × string'의 변환 방식을 택한다면 실제로 문제가 해결되는지, 아래에서 계속 확인해보자.

$\\$

앞서 정의한 string이 갖는 중요한 특성은 '페르미온과 anticommute하다'는 것이다.

이를 확인하기 위해서 우선 $e^{i\pi n_j}$가 $\hat{f}_j$와 anticommute함을 확인해보자: $$ \hat{f}_j e^{i\pi n_j} = - \hat{f}_j, \\ e^{i\pi n_j}\hat{f}_j = \hat{f}_j $$

따라서, $\{e^{i\pi n_j}, \hat{f}_j\}=\hat{f}_j-\hat{f}_j = 0$로서 anticommute한다.

또한 마찬가지로, $\{e^{i\pi n_j}, \hat{f}_j^\dagger \}=0$를 쉽게 확인할 수 있다.

$\\$ 이때, $l$과 $j$가 서로 다른 site일 때, $e^{i\pi n_l}$과 $\hat{f}_j$ 및 $\hat{f}_j^\dagger$는 commute하다. 따라서 다음의 관계를 확인할 수 있다.

$$ \{e^{i\phi_j}, \hat{f}_l^\dagger\} =0\ (l < j),\\ \\ [e^{i\phi_j}, \hat{f}_l ^\dagger]=0 \ (l \ge j). $$ 이는 string 연산자의 정의를 떠올려보면 바로 이해할 수 있다.

$\\$ 이를 통해 결론적으로 다음의 관계식을 확인 가능하다.

$$ [S_j^{(\pm)},S_k^{(\pm)}] = [\hat{f}_j^\dagger e^{i\phi_j}, \hat{f}_k^\dagger e^{i\phi_k}] = e^{i\phi_j}[\hat{f}_j^\dagger, \hat{f}_k^\dagger e^{i\phi_k}]. $$ 이때 $\hat{f}_j^\dagger$는 $\hat{f}_k^\dagger$ 및 $e^{i\phi_k}$와 동시에 anticommute 하다. 따라서, $j\ne k$에 대하여 $S_j^{(\pm)}$와 $S_j^{(\pm)}$는 commute하다는 것을 확인하였다:

$$ [S_j^{(\pm)},S_k^{(\pm)}] \propto [\hat{f}_j^\dagger, \hat{f}_k^\dagger e^{i\phi_k}]=0. $$

처음에 언급한 1차원 양자 스핀 모형인 '가로장이 걸려있는 XY 스핀 사슬 (XY spin chain in a transverse field)'에 요르단-위그너 변환을 적용해보도록 하자.

우선, 기존의 해밀토니안은 다음과 같다. $$ \hat{H} = \sum_{i=1}^N g_i \hat{\sigma}^z_i - \sum_{i=1}^N (J_x \hat{\sigma}^x_{i} \hat{\sigma}^x_{i+1} + J_y \hat{\sigma}^y_{i}\hat{\sigma}^y_{i+1}). $$ 각 $\hat{\sigma}$에 대해서는 아래와 같은 형태의 변환을 적용하면 되겠다. $$ \hat{\sigma}^z = 2\hat{f}_j^\dagger \hat{f}_j - 1\\ \\ \hat{\sigma}^+ = \hat{f}_j^\dagger e^{i\pi \sum_{l<j} n_l}\\ \\ \hat{\sigma}^- = \hat{f}_j e^{-i\pi \sum_{l<j} n_l}. $$ 따라서 $\hat{H}$의 첫 항은 아래와 같다. $$ -\sum_{i=1}^N g_i (1-2\hat{f}_j^\dagger \hat{f}_j) $$

두 번째 항을 보다 다루기 원활한 꼴로 바꿔주기 위해서, 다음의 관계식을 이용하자. $$ \hat{\sigma}^x_j = (\hat{\sigma}_j^+ + \hat{\sigma}_j^-) \\ \hat{\sigma}^y_j = -i(\hat{\sigma}_j^+ - \hat{\sigma}_j^-). $$ 이를 적용하면,

\begin{align} & \sum_{i=1}^N (J_x \hat{\sigma}^x_{i} \hat{\sigma}^x_{i+1} + J_y \hat{\sigma}^y_{i}\hat{\sigma}^y_{i+1})\\ &=\sum_{j=1}^N \left[J_x (\hat{\sigma}_j^+ + \hat{\sigma}_j^-) (\hat{\sigma}_{j+1}^+ + \hat{\sigma}_{j+1}^-) - J_y (\hat{\sigma}_j^+ - \hat{\sigma}_j^-)(\hat{\sigma}_{j+1}^+ - \hat{\sigma}_{j+1}^-)\right]\\ &=\sum_{j=1}^N \Big[(J_x + J_y)\left(\hat{\sigma}_j^-\hat{\sigma}_{j+1}^+ + \hat{\sigma}_j^+ \hat{\sigma}_{j+1}^-\right) \\ &\qquad \quad +(J_x-J_y)\left(\hat{\sigma}_j^+\hat{\sigma}_{j+1}^+ +\hat{\sigma}_j^-\hat{\sigma}_{j+1}^-\right)\Big].\\ \end{align}

위의 식에 요르단-위그너 변환을 아래와 같이 적용해보자.

\begin{align} & \hat{\sigma}_j^- \hat{\sigma}_{j+1}^+ \\ &=\hat{f}_j e^{-i\pi \sum_{l<j} n_l} \hat{f}_{j+1}^\dagger e^{i\pi \sum_{l<j+1} n_l} .\\ &= \hat{f}_j \hat{f}_{j+1}^\dagger e^{i\pi n_j}= -\hat{f}_j\hat{f}_{j+1}^\dagger, \\ &\\ & \hat{\sigma}_j^+ \hat{\sigma}_{j+1}^- \\ &=\hat{f}_j^\dagger e^{i\pi \sum_{l<j} n_l} \hat{f}_{j+1} e^{-i\pi \sum_{l<j+1} n_l} .\\ &= \hat{f}_j^\dagger \hat{f}_{j+1} e^{-i\pi n_j}= \hat{f}_j^\dagger \hat{f}_{j+1}, \\ &\\ & \hat{\sigma}_j^+ \hat{\sigma}_{j+1}^+\\ &= \hat{f}_j^\dagger e^{i\pi \sum_{l<j} n_l}\hat{f}_{j+1}^\dagger e^{i\pi \sum_{l<j+1} n_l}.\\ &= \hat{f}_{j}^\dagger \hat{f}_{j+1}^\dagger e^{i\pi n_j} =\hat{f}_{j}^\dagger \hat{f}_{j+1}^\dagger. \\ &\\ & \hat{\sigma}_j^- \hat{\sigma}_{j+1}^-\\ &= \hat{f}_j^- e^{-i\pi \sum_{l<j} n_l}\hat{f}_{j+1} e^{-i\pi \sum_{l<j+1} n_l}.\\ &= \hat{f}_{j}\hat{f}_{j+1} e^{-i\pi n_j} =-\hat{f}_{j} \hat{f}_{j+1}. \end{align}

위의 두 번째 결과에서는 정수 $m$에 대해 $e^{2\pi i m}=1$을 사용했다.

$\\$ 따라서, 해밀토니안은 다음과 같이 쓰여진다.

\begin{align} \hat{H}&=-\sum_{i=1}^N g_i (1-2\hat{f}_j^\dagger \hat{f}_j) -\sum_{j=1}^{N-1} (J_x + J_y)\left(-\hat{f}_j\hat{f}_{j+1}^\dagger + \hat{f}_j^\dagger \hat{f}_{j+1} \right) \\ & -\sum_{j=1}^{N-1} (J_x-J_y)\left(\hat{f}_j^\dagger \hat{f}_{j+1}^\dagger-\hat{f}_j\hat{f}_{j+1}\right).\\ \\ &=-\sum_{i=1}^N g_i (1-2\hat{f}_j^\dagger \hat{f}_j) -\sum_{j=1}^{N-1} (J_x + J_y)\left(\hat{f}_j^\dagger \hat{f}_{j+1} + \hat{f}_{j+1}^\dagger\hat{f}_j \right) \\ & -\sum_{j=1}^{N-1} (J_x-J_y)\left(\hat{f}_j^\dagger \hat{f}_{j+1}^\dagger+\hat{f}_{j+1}\hat{f}_j\right). \end{align} 위에서 마지막 식에 도달할 때는 anticommutation relation을 사용하였다.

(편의상, 주기적 경계 조건(periodic boundary condtiion)이 아닌 열린 경계 조건(open boudnary condition)을 사용함으로써 두 번째와 세 번째 항의 합은 $j=N$이 아닌 $j=N-1$이다.)

$\\$

마조라나 페르미온(Majorana fermion)은 입자와 반입자가 같은 페르미온이다.

위에서 얻은 해밀토니안을 마조라나 페르미온인 $\hat{a}_{2j-1}=\hat{f}_j^\dagger + \hat{f}_j$과 $\hat{a}_{2j}=i(\hat{f}_j^\dagger - \hat{f}_j)$으로 다시 표현할 수 있다. $$ \hat{H}(t) = i \sum_{j=1}^N g_j(t)\hat{a}_{2j-1}\hat{a}_{2j} +i\sum_{j=1}^{N-1}(J_x \hat{a}_{2j}\hat{a}_{2j+1} -J_y \hat{a}_{2j-1}\hat{a}_{2j+2}). $$

이를 아래와 같이 풀이하여 직접 확인해보자. $$ \hat{H}(t) = i \sum_{j=1}^N g_j(t)\{\hat{f}_j^\dagger + \hat{f}_j\}\{i(\hat{f}_j^\dagger - \hat{f}_j)\}\\ +i \sum_{j=1}^{N-1}\Big(J_x \{i(\hat{f}_j^\dagger - \hat{f}_j)\}\{\hat{f}_{j+1}^\dagger + \hat{f}_{j+1}\}\\ -J_y \{\hat{f}_j^\dagger + \hat{f}_j\}\{i(\hat{f}_{j+1}^\dagger - \hat{f}_{j+1})\}\Big). $$ $\\$

$$ \\ \to\ \hat{H}(t) = - \sum_{j=1}^N g_j(t)\Big[\hat{f}_{j}^\dagger \hat{f}_{j}^\dagger -\hat{f}_{j}^\dagger \hat{f}_{j} + \hat{f}_{j} \hat{f}_{j}^\dagger-\hat{f}_{j}\hat{f}_{j} \Big] \\ - \sum_{j=1}^{N-1}\Big[ J_x\{\hat{f}_{j}^\dagger \hat{f}_{j+1}^\dagger + \hat{f}_{j}^\dagger \hat{f}_{j+1} - \hat{f}_{j}\hat{f}_{j+1}^\dagger - \hat{f}_{j}\hat{f}_{j+1} \}\\ -J_y \{\hat{f}_{j}^\dagger \hat{f}_{j+1}^\dagger - \hat{f}_{j}^\dagger \hat{f}_{j+1} + \hat{f}_{j}\hat{f}_{j+1}^\dagger - \hat{f}_{j}\hat{f}_{j+1}\} \Big]. $$ $\\$

이때, $\{\hat{f}_j, \hat{f}_j^\dagger \} = \delta_{ij} \to \hat{f}_j \hat{f}_j^\dagger =1-\hat{f}_j^\dagger \hat{f}_j$등의 anticommutation들을 사용하고, $\hat{f}_j\hat{f}_j$와 같이 임의의 state에 걸어줄 때 0을 주는 항들을 제거해주면 아래와 같다.

$$ \\ \to\ \hat{H}(t) = - \sum_{j=1}^N g_j(t)\left( 1-2\hat{f}_{j}^\dagger \hat{f}_{j} \right) \\ -\sum_{j=1}^{N-1} (J_x + J_y)\left(\hat{f}_j^\dagger \hat{f}_{j+1} + \hat{f}_{j+1}^\dagger\hat{f}_j \right) \\ -\sum_{j=1}^{N-1} (J_x-J_y)\left(\hat{f}_j^\dagger \hat{f}_{j+1}^\dagger+\hat{f}_{j+1}\hat{f}_j\right). $$

즉, 앞서 본 Majorana fermion의 표현식이 실제로 원래의 식을 준다는 것을 확인하였다.

• Piers Coleman, Introduction to Many-Body Physics, 2015.
• Tom Lancaster and Stephen J. Blundell, Quantum field Theory for the Gifted Amatuer, 2014.
• V. M. Bastidas, Quantum fingerprints of self-organization in spin chains coupled to a Kuramoto model, 2024.