부피 $V$인 상자에 $N$개의 입자가 들어있고, 기체 상태에 있다고 생각해보자. 만약 각각의 입자의 위치와 운동량을 모두 고려하면서 계를 기술하려면 총 $6N$개의 좌표가 필요할텐데 이는 비현실적이다. 예를 들어 평형상태에 있는 기체의 압력을 계산하려면 하나의 입자에 대한 분포만 알고 있으면 충분하다. $6N$개의 좌표로 기술되는 밀도를 $\rho(\mathbf p, \mathbf q, t)$라고 하자. 그렇다면 특정 시간 $t$에서, 하나의 입자가 위치 $\vec q$와 $\vec p$를 가지고 있는 기댓값은 다음과 같다. \begin{align*} f_1(\vec p,\vec q, t) &= \left\langle\sum_{i=1}^N\delta^3(\vec p -\vec p_i)\delta^3(\vec q -\vec q_i)\right\rangle\\ &=N\left\langle\delta^3(\vec p -\vec p_1)\delta^3(\vec q -\vec q_1)\right\rangle\\ &= N\int \prod_{i=2}^N d^3p_id^3q_i \rho(\vec p_1 = \vec p, \vec q_1 = \vec q, \cdots, t) \end{align*}

이와 비슷하게 두 입자에 대한 기댓값은

$$ f_2(\vec p_1,\vec q_1,\vec p_2,\vec q_2, t) =N(N-1)\int \prod_{i=3}^N d^3p_id^3q_i \rho(\mathbf p, \mathbf q, t) $$

이고, 일반적으로 $s$개의 입자에 대한 기댓값은

\begin{align*} f_2(\vec p_1,\vec q_1,\vec p_2,\vec q_2,\cdots,\vec q_s, t) &=\frac{N!}{(N-s)!}\int \prod_{i=s+1}^N d^3p_id^3q_i \rho(\mathbf p, \mathbf q, t)\\ &= \frac{N!}{(N-s)!}\rho_s(\vec p_1,\dots,\vec q_s,t) \end{align*} 로 쓸 수 있다. 여기서 $\rho_s$는 $s$개 입자에 대한 밀도이다.

이 계의 해밀토니안이 다음과 같이 주어진다고 생각해보자. $$H(\mathbf p, \mathbf q) = \sum_{i=1}^N \left[\frac{\vec p_i^2}{2m}+U(\vec q_i)\right]+\frac12\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^NV(\vec q_i-\vec q_j)$$ $U(\vec q_i)$는 외부 퍼텐셜, $V(\vec q_i-\vec q_j)$는 두 입자 상호작용을 나타낸다. 지금은 전체 $N$개의 입자 중 $s$개를 부분계로 선택해서 이들의 시간에 따른 분포를 볼 것이다. 이를 위해 전체 해밀토니안을 세 부분으로 나누어보자. $$H_s = \sum_{n=1}^s \left[\frac{\vec p_n^2}{2m}+U(\vec q_n)\right]+\frac12\sum_{n=1}^s\sum_{m=1}^sV(\vec q_n-\vec q_m)$$ $$H_{N-s} = \sum_{i=s+1}^N \left[\frac{\vec p_i^2}{2m}+U(\vec q_i)\right]+\frac12\sum_{i=s+1}^N\sum_{j=s+1}^NV(\vec q_i-\vec q_j)$$ $$H' = \sum_{n=1}^s\sum_{i=s+1}^NV(\vec q_n-\vec q_j)$$

$\rho_s$의 시간변화는 리우빌 정리를 적용하면 다음과 같이 주어진다.

$$\frac{\partial\rho_s}{\partial t} = \int\prod_{i=s+1}^Nd^3p_id^3q_i\frac{\partial\rho}{\partial t} = -\int\prod_{i=s+1}^Nd^3p_id^3q_i \{\rho,H_s+H_{N-s}+H'\}$$

$$\int \prod_{i=s+1}^N d^3p_id^3q_i \{\rho,H_s\} = \left\{\left(\int \prod_{i=s+1}^N d^3p_id^3q_i \rho\right),H_s\right\} = \{\rho_s,H_s\}$$

푸아송 괄호를 모두 풀어서 적어보면 \begin{align*} \int \prod_{i=s+1}^N d^3p_id^3q_i\{\rho,H_{N-s}\} &= \int \prod_{i=s+1}^N d^3p_id^3q_i\sum_{j=1}^N\left[\frac{\partial\rho}{\partial\vec q_j}\cdot\frac{\partial H_{N-s}}{\partial\vec p_j}-\frac{\partial\rho}{\partial\vec p_j}\cdot\frac{\partial H_{N-s}}{\partial\vec q_j}\right] \end{align*} 이고, 각각의 $j$항을 따로 계산할 수 있다. \begin{align*} &\int d^3p_jd^3q_j\left[\frac{\partial\rho}{\partial\vec q_j}\cdot\frac{\partial H_{N-s}}{\partial\vec p_j}-\frac{\partial\rho}{\partial\vec p_j}\cdot\frac{\partial H_{N-s}}{\partial\vec q_j}\right]\\ =&\int d^3p_j\left[\rho\frac{\partial H_{N-s}}{\partial\vec p_j}\right]_{\vec q_j\text{ at }\infty}-\int d^3q_j\left[\rho\frac{\partial H_{N-s}}{\partial\vec q_j}\right]_{\vec p_j\text{ at }\infty}+\int d^3p_jd^3q_j \rho\left[-\frac{\partial^2H_{N-s}}{\partial\vec p_j\partial\vec q_j}+\frac{\partial^2H_{N-s}}{\partial\vec q_j\partial\vec p_j}\right]\\ =&0 \end{align*} 이는 우리가 고려하고자 하는 $s$개의 입자를 제외한 나머지들 끼리의 운동은 $\rho_s$에 아무 영향을 끼치지 않음을 의미한다.

마찬가지로 푸아송 괄호를 풀어서 적어보면 \begin{align*} -\int \prod_{i=s+1}^N d^3p_id^3q_i\sum_{j=1}^N\left[\frac{\partial\rho}{\partial\vec q_j}\cdot\frac{\partial H'}{\partial\vec p_j}-\frac{\partial\rho}{\partial\vec p_j}\cdot\frac{\partial H'}{\partial\vec q_j}\right] \end{align*} 이다. $\partial H'/\partial\vec q_j=0$이 되고, $j\le s$일 때는 \begin{align*} \frac{\partial H'}{\partial\vec q_j} = \frac{\partial}{\partial\vec q_j}\left(\sum_{n=1}^s\sum_{i=s+1}^NV(\vec q_n-\vec q_i)\right) = \sum_{i=s+1}^NV(\vec q_j-\vec q_i) \end{align*} $s+1\le j\le N$일 때는 \begin{align*} \frac{\partial H'}{\partial\vec q_j} = \frac{\partial}{\partial\vec q_j}\left(\sum_{n=1}^s\sum_{i=s+1}^NV(\vec q_n-\vec q_i)\right) = \sum_{n=1}^sV(\vec q_n-\vec q_j) \end{align*} 이므로, 이를 모두 모아서 적어보면 \begin{align*} &-\int \prod_{i=s+1}^N d^3p_id^3q_i\sum_{j=1}^N\left[\frac{\partial\rho}{\partial\vec q_j}\cdot\frac{\partial H'}{\partial\vec p_j}-\frac{\partial\rho}{\partial\vec p_j}\cdot\frac{\partial H'}{\partial\vec q_j}\right]\\ =&\int \prod_{i=s+1}^N d^3p_id^3q_i\left[\sum_{n=1}^s\frac{\partial\rho}{\partial\vec p_n}\cdot\sum_{j=s+1}^N\frac{\partial V(\vec q_n-\vec q_j)}{\partial\vec q_n} + \sum_{j=s+1}^N\frac{\partial\rho}{\partial\vec p_j}\cdot\sum_{n=1}^s\frac{\partial V(\vec q_j-\vec q_n)}{\partial\vec q_j}\right] \end{align*} 이 된다. 두 번째 항 중에서 $j$인덱스를 하나 골라 계산해보면 \begin{align*} &\int d^3p_jd^3q_j\frac{\partial\rho}{\partial\vec p_j}\sum_{n=1}^s\cdot\frac{\partial V(\vec q_j-\vec q_n)}{\partial\vec q_j}\\ =&\int d^3q_j\left[\rho\sum_{n=1}^s\cdot\frac{\partial V(\vec q_j-\vec q_n)}{\partial\vec q_j}\right]_{\vec p_j\text{ at }\infty}-\int d^3q_jd^3p_j\rho\sum_{n=1}^s\cdot\frac{\partial^2 V(\vec q_j-\vec q_n)}{\partial\vec p_j\partial\vec q_j}\\ =&0 \end{align*} 가 된다. 그리고 $j$인덱스는 분포에서 고려하지 않을 것이고, 모든 입자는 동일하기 때문에 이들에 대한 합은 단순히 상수배가 된다. 정리해보면, \begin{align*} &(N-s)\int\prod_{i=s+1}^Nd^3q_id^3p_i \sum_{i=1}^s \frac{\partial V(\vec q_n-\vec q_{s+1})}{\partial\vec q_n}\cdot\frac{\partial\rho}{\partial\vec p_n}\\ =&(N-s)\sum_{n=1}^s\int d^3q_{s+1}d^3p_{s+1}\frac{\partial V(\vec q_n-\vec q_{s+1})}{\partial\vec q_n}\cdot\frac{\partial\rho_{s+1}}{\partial\vec p_n} \end{align*} 이다. 이제 계산해두었던 푸아송 괄호들을 다 모아보면 $$ \frac{\partial\rho_s}{\partial t}-\{H_s,\rho_s\}=(N-s)\sum_{n=1}^s\int d^3q_{s+1}d^3p_{s+1}\frac{\partial V(\vec q_n-\vec q_{s+1})}{\partial\vec q_n}\cdot\frac{\partial\rho_{s+1}}{\partial\vec p_n} $$ 를 얻는다. 여기서 좌변은 현재 관심을 가지는 부분계에 대한 위상점의 시간변화를 나타낸다. 만일 외부 입자와의 상호작용이 없다면 부분계를 나타내는 위상점은 리우빌 정리를 만족할테지만 나머지 $N-s$개의 입자와의 상호작용이 존재하는 경우에는 우변과 같은 충돌항이 추가된다.

위 식을 통해 단일 입자의 분포의 시간변화 $\partial\rho_1/\partial t$는 두 입자의 분포 $\rho_2$에 의존하고, $\partial\rho_2/\partial t$는 $\rho_3$에 의존함을 볼 수 있다. 결국 $\partial\rho/\partial t$를 정확히 알아내기 위해서는 $\rho_N$까지 모두 알아야 할 것이다. 따라서 실제 문제를 풀려면 특정 근사를 통해 이 계층구조를 적정 선에서 끊어주는 작업이 필요하다.