변수 $x$, $y$, $z$와 이변수 함수 $f(x,y)$를 생각하자. 함수 $f$의 변화량은 $x$가 바뀜으로 인한 변화와 $y$가 바뀜으로 인한 변화로 다음처럼 기술된다. \[ df = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_y dx + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)_x dy. \]
변수들 사이에 $y=y(x,z)$의 관계가 있다면 마찬가지로 $y$의 변화량을 적을 수 있다. \[ dy = \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)_z dx + \left( \frac{\partial y}{\partial z} \right)_x dz. \]
이것을 저 위의 식에 대입하면 $f(x,y) = f\left( x, y(x,z) \right) = f(x,z)$의 변화를 얻게 된다. \begin{eqnarray*} df &=& \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_y dx + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)_x \left[ \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)_z dx + \left( \frac{\partial y}{\partial z} \right)_x dz \right]\\ &=& \left[ \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_y + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)_x \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)_z \right] dx + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)_x \left( \frac{\partial y}{\partial z} \right)_x dz\\ &=& \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_z dx + \left( \frac{\partial f}{\partial z} \right)_x dz. \end{eqnarray*} 따라서 다음의 식들을 얻는다. \begin{eqnarray*} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_z &=& \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_y + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)_x \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)_z\\ \left( \frac{\partial f}{\partial z} \right)_x &=& \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)_x \left( \frac{\partial y}{\partial z} \right)_x. \end{eqnarray*}
$f(x,z) = z$인 특별한 경우를 생각해보자. 위에서 얻은 두 식 중 앞의 것에 이를 적용해보면 다음과 같다. \[ \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)_z = \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)_y + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)_x \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)_z \] 이때 $z$를 고정한 상태에서 미분하고 있으므로 좌변은 $0$과 같다. $\left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)_y = 1/ \left( \frac{\partial x}{\partial z} \right)_y$이므로 식을 정리하면 다음을 얻는다. \[ \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)_x \left( \frac{\partial x}{\partial z} \right)_y \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)_z = -1. \] 이 결과는 어떤 점 근처에서 $x$, $y$, $z$ 사이에 관계식 $x=x(y,z)$, $y=y(z,x)$, $z=z(x,y)$를 적을 수 있는 한 일반적으로 성립하는 식이다. 이를 보기 위해 다음처럼 적어보자. \begin{eqnarray*} dx &=& \left( \frac{\partial x}{\partial y} \right)_z dy + \left( \frac{\partial x}{\partial z} \right)_y dz\\ dy &=& \left( \frac{\partial y}{\partial z} \right)_x dz + \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)_z dx\\ dz &=& \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)_y dx + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)_x dy. \end{eqnarray*} 행렬을 사용해 적으면 다음과 같다. \[ \begin{pmatrix} -1 & \left( \frac{\partial x}{\partial y} \right)_z & \left( \frac{\partial x}{\partial z} \right)_y\\ \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)_z & -1 & \left( \frac{\partial y}{\partial z} \right)_x\\ \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)_y & \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)_x & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dx\\dy\\dz \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}. \] $dx$, $dy$, $dz$가 일반적으로 0이 아닌데 우변이 0이 되었으므로 이는 저 $3\times3$ 행렬의 행렬식(determinant)이 0임을 의미한다. \begin{eqnarray*} A &\equiv& \left( \frac{\partial x}{\partial y} \right)_z\\ B &\equiv& \left( \frac{\partial y}{\partial z} \right)_x\\ C &\equiv& \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)_y \end{eqnarray*} 라고 적으면 이는 다음처럼 정리된다. \[ \det \begin{pmatrix} -1 & A & 1/C\\ 1/A & -1 & B\\ C & 1/B & -1 \end{pmatrix} = 2+\frac{1}{ABC} + ABC = 0. \] 이 방정식의 해는 $ABC = -1$이다.