선형 회귀 분석(Linear regression analysis)은 $x$와 $y$의 값을 알고 있을 때, $y = ax +b$의 꼴에서 $a$와 $b$의 값을 추측하는데 사용하는 방법이다. 데이터 포인트 하나만 가지고는 $a$와 $b$값을 추론할 수 없기 때문에 $x$에 대한 $y$ 데이터가 많이 있을 때 함수 형태가 어떻게 되는지 추론할 때 쓰인다. 데이터의 수가 많기 때문에 아래와 같이 행렬 꼴로 많이 쓰인다. $$ \mathbf{Y} = a\mathbf{X} + b $$
이 때, $\mathbf{Y} = (y_1, y_2, y_3, \ldots)^\intercal$, $\mathbf{X} = (x_1, x_2, x_3, \ldots)^\intercal$ 이다.
그 중 널리 쓰이는 방법이 최소제곱법(Least-square fitting)이다. 최소제곱법은 데이터로 얻은 $\mathbf{Y}$와 우리가 추론한 함수의 결과인 $f(\mathbf{X})$ 사이의 오차의 제곱을 최소화 하는 함수 $f(x)$를 찾는 방법이다. 즉, 다음의 식에서 $\chi^2$를 최소화하는 함수 $f(x)$를 찾는 것이다. $$ \chi^2 = \sum_{i=1}^{N}\left(\frac{y_i - f(x_i)}{\sigma_i}\right)^2$$
Python의 경우 scipy의 curve_fitting 함수를 사용할 수 있고, C/C++의 경우 gsl(gnu scientific library)의 gsl_fit_linear 혹은 gsl_fit_wlinear를 사용할 수 있다. 데이터에 표준오차가 포함되어 있는 경우에는 wlinear를, 포함되지 않은 경우에는 linear를 사용한다. wlinear를 쓸 때는 표준오차 값의 제곱의 역수를 w값으로 넣어줘야 한다. gsl의 경우 $$\chi^2 = w(y-f(x))^2;\quad w = \frac{1}{\sigma^2}$$ 으로 계산하기 때문이다.
scipy를 쓸 때는 표준오차가 포함되어 있는 경우에는 absolute_sigma 옵션을 True로 줘야 한다.
다음의 데이터를 예로 각 언어로 적합(fitting)해보자.
| x | y | $\sigma$ |
|---|---|---|
| 0.0 | 1.5891700001638700 | 0.5320185951347170 |
| 0.25 | 1.2046979031630900 | 0.45427229254919400 |
| 0.5 | 2.598484110379440 | 0.5077027054798450 |
| 0.75 | 2.2043375760987900 | 0.5205826529502230 |
| 1.0 | 3.002229375836470 | 0.4698090780151540 |
| 1.25 | 2.928655222350250 | 0.4773624121076510 |
| 1.5 | 3.4769844321649000 | 0.5018787752525470 |
| 1.75 | 4.007335261529810 | 0.4897362325985810 |
| 2.0 | 4.534192485682100 | 0.49462141854510300 |
| 2.25 | 5.76185759925369 | 0.5405394898833090 |
| 2.5 | 6.41954394976063 | 0.4523449367708450 |
| 2.75 | 6.023919923933230 | 0.48898047501417500 |
| 3.0 | 7.443742735575060 | 0.5342659697011440 |
| 3.25 | 7.870686775946450 | 0.4730380798563350 |
| 3.5 | 8.022587710435350 | 0.4572104512757930 |
| 3.75 | 9.395420889477870 | 0.49902577926821200 |
| 4.0 | 9.948288024421440 | 0.530527413902035 |
| 4.25 | 9.986332770533490 | 0.48969676619036700 |
| 4.5 | 9.694674681091840 | 0.5443240285483060 |
| 4.75 | 10.519384785632700 | 0.47616567472190800 |
먼저 Python 코드는 아래와 같다.
import numpy as np from scipy.optimize import curve_fit func = lambda x, a, b: a*x + b #f(x) = ax + b x = np.linspace(0, 4.75, 20) #x = [0.00, 0.25, 0.50, ...] y = np.array([1.5891700001638700, 1.2046979031630900, 2.598484110379440, 2.2043375760987900, 3.002229375836470, 2.928655222350250, 3.4769844321649000, 4.007335261529810, 4.534192485682100, 5.76185759925369, 6.41954394976063, 6.023919923933230, 7.443742735575060, 7.870686775946450, 8.022587710435350, 9.395420889477870, 9.948288024421440, 9.986332770533490, 9.694674681091840, 10.519384785632700]) sig = np.array([0.5320185951347170, 0.45427229254919400, 0.5077027054798450, 0.5205826529502230, 0.4698090780151540, 0.4773624121076510, 0.5018787752525470, 0.4897362325985810, 0.49462141854510300, 0.5405394898833090, 0.4523449367708450, 0.48898047501417500, 0.5342659697011440, 0.4730380798563350, 0.4572104512757930, 0.49902577926821200, 0.530527413902035, 0.48969676619036700, 0.5443240285483060, 0.47616567472190800]) #if saved file is existed """ x, y, err = np.loadtxt('line.data', unpack = True) """ NDF = x.size - 2 # # of Degree of Freedom popt, pcov = curve_fit(func, x, y, sigma = sig, absolute_sigma = True) #popt: inferenced coefficient, pcov: covariance between coefficients perr = np.sqrt(np.diag(pcov))# diagonal elements of covariance matrix are error of each coefficient chi2 = np.sum((y - func(x,*popt))**2 / sig**2) print("y = {0}x + {1}".format(popt[0],popt[1])
다음은 C++에서 gsl을 이용한 코드이다.
#include <iostream> #include <gsl/gsl_fit.h> #include <cmath> using std::cout; using std::pow; using std::sqrt; // #include <fstream> // #include <sstream> // #include <string> // #include <vector> //using std::ifstream; //using std::istringstream; //using std::vector; //using std::string; //using std::stod; //using std::copy; int main() { double x[] = {0.0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.0, 1.25, 1.5, 1.75, 2.0, 2.25, 2.5, 2.75, 3.0, 3.25, 3.5, 3.75, 4.0, 4.25, 4.5, 4.75}; double y[] = {1.5891700001638700, 1.2046979031630900, 2.598484110379440, 2.2043375760987900, 3.002229375836470, 2.928655222350250, 3.4769844321649000, 4.007335261529810, 4.534192485682100, 5.76185759925369, 6.41954394976063, 6.023919923933230, 7.443742735575060, 7.870686775946450, 8.022587710435350, 9.395420889477870, 9.948288024421440, 9.986332770533490, 9.694674681091840, 10.519384785632700}; double sig[] = {0.5320185951347170, 0.45427229254919400, 0.5077027054798450, 0.5205826529502230, 0.4698090780151540, 0.4773624121076510, 0.5018787752525470, 0.4897362325985810, 0.49462141854510300, 0.5405394898833090, 0.4523449367708450, 0.48898047501417500, 0.5342659697011440, 0.4730380798563350, 0.4572104512757930, 0.49902577926821200, 0.530527413902035, 0.48969676619036700, 0.5443240285483060, 0.47616567472190800}; //if saved file is existed /* string tmp; std::ifstream fin; fin.open("line.dat"); vector<double> xv; vector<double> yv; vector<double> sigv; vector<string> sv; string sbf; while(!fin.eof()) { getline(fin, tmp); if(tmp == "") {break;} istringstream ss(tmp); while(getline(ss,sbf,',')) { sv.emplace_bacK(); } sv.shrink_to_fit(); xv.emplace_back(stod(sv[0])); yv.emplace_back(stod(sv[1])); sigv.emplace_back(stod(sv[2])); sv.clear(); sv.shrink_to_fit(); } xv.shrink_to_fit(); yv.shrink_to_fit(); sigv.shrink_to_fit(); double x[xv.capacity()]; double y[yv.capacity()]; double sig[sig.capacity()]; copy(xv.begin(), xv.end(), x); copy(yv.begin(), yv.end(), y); copy(sigv.begin(), sigv.end(), sig); */ for(int i = 0; i < sizeof(sig)/sizeof(double); ++i) { sig[i] = 1/sig[i]; } double a, b, cov00, cov01, cov11, chisq; gsl_fit_wlinear(x, 1, sig, 1, y, 1, sizeof(x)/sizeof(double), &b, &a, &cov00, &cov01, &cov11, &chisq); cout << "y = " << a << "x + "<< b << "\n"; }
각각의 결과는 다음과 같다 $$\text{Python:}\quad y = 2.09749(\pm 0.0771828)x + 0.838641(\pm 0.213449)$$ $$\text{C++:}\quad y = 2.09749(\pm 0.0771828)x + 0.838641(\pm 0.0.213449)$$ 유효숫자는 c++ cout의 기본 자릿수인 6자리에 맞췄다.