경제학:애로우의_불가능성_정리

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전제

  • 최소 3개 이상의 원소를 가지는 유한한 정책 집합 $\mathbf{A} = \{ A, B, C, \ldots \}$.
  • $N$ 명의 개인들
  • 개인의 선호는 소위 완전해서(complete) 임의의 두 정책 $a$와 $b$에 대해 개인 $i$는 반드시 다음 둘 중의 하나이어야 한다 (논의를 간단히 하기 위해 선호도가 정확히 같은 경우는 없다고 가정한다):
    • $a$를 $b$보다 선호하거나 ($a \succ_i b$)
    • $b$를 $a$보다 선호하거나 ($b \succ_i a$)
  • 또 개인의 선호는 추이적이어서(transitive) 임의의 세 정책 $a$, $b$, 그리고 $c$에 대해 다음 성질이 만족된다:
    • 만일 $a \succ_i b$이고 $b \succ_i c$이면 $a \succ_i c$이다.

목표

이 개인적 선호들 $P = \{ \succ_1, \succ_2, \ldots, \succ_N\}$을 종합하여 '사회적' 선호를 만드는 방법을 찾으려고 한다. 위에서와 비슷하게 이 사회적 선호는 완전(complete)해서 임의의 두 정책 $a$와 $b$에 대해

  • $a$를 $b$보다 선호하거나 ($a \succ b$)
  • $b$를 $a$보다 선호하거나 ($b \succ a$)
  • 둘을 동등하게 선호한다고 ($a \sim b$) 알려줄 수 있어야 한다.

개인적 선호들을 사회적 선호로 옮겨주는 함수를 '사회 후생함수(social welfare function)'이라고 부르자. 이 함수의 공역은 보편적이어서 (universal domain) 어떤 $P$에 대해서도 그에 해당하는 사회적 선호를 찾을 수 있어야 한다. 이 사회 후생함수가 만족했으면 하는 몇 가지 성질이 있는데,

  1. 추이성: 임의의 세 정책 $a$, $b$, 그리고 $c$에 대해 만일 $a \succsim b$이고 $b \succsim c$이면 $a \succsim c$이어야 한다.
  2. 만장일치성: 만일 모두가 $a \succ_i b$라면 그 결과로 사회적 선호 역시 $a \succ b$라는 결론이 나와야 한다.
  3. 비관련 대안의 독립성(IIA, independence of irrelevant alternatives): 만일 어떤 $P$를 종합한 결과 $a \succsim b$라는 결론이 얻어졌다고 하자. 한 개인을 골라서 $a$와 $b$ 사이의 선호도는 건드리지 않은 채 다른 부분의 선호를 바꿀 경우 (예를 들어 $c \succ_1 a$를 $a \succ_1 c$로), 사회적 선호에서 $a \succsim b$라는 부분은 그대로 유지되어야 한다.

불가능성 정리의 내용

사회 후생함수가 추이성과 만장일치성, 그리고 IIA를 만족하면, 사회적 선호와 정확히 일치하는 선호를 가지는 개인(=독재자)이 존재한다.

추이성과 만장일치성, 그리고 IIA가 만족된다고 가정 하에서, 독재자가 존재함을 보는 중간 과정으로서 다음의 내용을 확인하고 가자: 즉 특정 정책 $b$가 어떤 사람의 선호에서는 최고이고 다른 어떤 사람의 선호에서는 최악이며 중간은 없다고 하자. 그러면 이들을 종합한 사회적 선호에서도 $b$는 최고이거나 최악이거나 둘 중의 하나만이 가능하다.

이 결론이 거짓이라고 가정하자. 즉 $b$가 어떤 개인들에게는 최고이고 나머지 개인들에게는 최악이지만, 결과물로서의 사회적 선호를 보면 어떤 정책들 $a$와 $c$가 존재해서 $a \succsim b \succsim c$의 관계를 보게 된다고 가정하자. 이제 개인들의 선호를 조금 고쳐볼 것이다.

  • $b$를 가장 선호하는 개인들에게는 $c$를 두 번째로 가장 선호하는 위치로 가져다 놓는다. 이들에게는 $b \succ_i a$였고 $b$는 여전히 가장 선호받는 정책이기 때문에 $c$의 위치를 바꾸어도 여전히 $b \succ_i a$이다.
  • $b$를 가장 싫어하는 개인들에게는 $c$를 가장 선호하는 위치로 가져다 놓는다. 따라서 그러한 개인 $i$에게는 자동으로 $c \succ_i a$일 것이다. 이 경우에도 $b \succ_i a$라는 부분은 바뀌지 않는다.

어느 개인에 대해서도 $a$와 $b$ 사이의 선호도는 바뀌지 않으므로, IIA에 의해 $a \succsim b$라는 결론 역시 바뀌지 않는다.

참고문헌

  • J. Geanakoplos (2005), Three Brief Proofs of Arrow’s Impossibility Theorem, Econ. Theory 26(1), 211.
  • D. Quint, Five Beautiful Results in Micro Theory, With Proofs (link)
  • 경제학/애로우의_불가능성_정리.1578637062.txt.gz
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