자유입자의 경로적분

p80 에 있는 식 3.36 은 식 $F(U)$ 에 대한 일반적인 해라고 소개하고 있다. $F(U)$ 는 아래와 같이

\begin{align} F(U) = \sqrt{m/2\pi\hbar U} e^{\alpha U} \end{align}

으로 주어지는데, 이것을 유도해보도록 하자. 먼저 자유입자의 경로적분 표현으로 부터 얻는 밀도행렬의 식 3.34 가

\begin{align} \rho(x_2, x_1, U) = F(U)\exp[-m(x_2 - x_1)^2 / 2\hbar U] \end{align}

으로 주어진다. 그리고 위의 식의 $F(U)$ 를 얻는 방법은 아래의 식

\begin{align} \rho(x, y, u_1 + u_2) = \int dx^{\prime} \rho(x, x^{\prime}; u_2)\rho(x^{\prime}, y; u_1) \end{align}

으로 부터 얻을 수 있다고 한다. 우변의 $\rho$ 를 두 번째 식을 이용하여 나타내면,

\begin{align} \rho(x, x^{\prime}, u_2) = F(U)\exp[-m(x - x^{\prime})^2 / 2\hbar u_2] \\ \rho(x^{\prime}, x, u_1) = F(U)\exp[-m(x^{\prime} - x)^2 / 2\hbar u_1] \end{align}