양자기체의 밀도행렬 문서에서 우리는 밀도행렬이 아래와 같은 방정식을 만족한다고 언급하였다.

\begin{align} \hbar \frac{\partial \rho(u)}{\partial u} = -H \rho (u) \end{align}

이 때 만족하는 해는 $\rho(u) = e^{-Hu / \hbar}$ 이고 이 때, $u = \beta \hbar$이다. 기존 방정식과 다른 점은 $\hbar$ 가 곱해졌다는 것과, 해의 지수부분의 $\beta$ 가 $u/\hbar$ 로 바뀌었다는 점인데, 이는 경로적분을 설명하면서 어떤 지점에서 특정 지점까지의 시간을 볼 것이기 때문이다. 다시말해 변수 $u$의 차원은 시간인데, 이를 간단하게 살펴보면,

\begin{align} u [s] = \beta\hbar = \frac{\hbar}{k_B T} \left[\frac{J \cdot s}{J/K \cdot K} = s\right] \end{align}

시간차원인 것을 확인할 수 있다. 또한, 여기서 시간 $u$를 아주 작은 $\epsilon$ 으로 $n$개만큼 쪼개면,

\begin{align} \rho(u) = e^{-Hu / \hbar} &= e^{-H\epsilon / \hbar}e^{-H\epsilon / \hbar} \cdots e^{-H\epsilon / \hbar} \\ &= \rho_\epsilon \rho_\epsilon \cdots \rho_\epsilon \end{align}

으로 나타낼 수 있고 (물론, $u = n\epsilon$), $\rho(u)$ 가 위치 $x^{\prime}$ 에서 $x$ 의 지점을 시간 $u$ 만큼의 궤적을 말하려면, 양자역학에서의 좌표계 표현 (coordinate representation) 을 이용하여,

\begin{align} \rho(x, x^{\prime}; u) = \langle x \vert \rho(u) \vert x^{\prime} \rangle &= \int \cdots \int \langle x \vert \rho_\epsilon \vert x_{n-1} \rangle \langle x_{n-1} \vert \rho_\epsilon \vert x_{n-2} \rangle \cdots \langle x_1 \vert \rho_\epsilon \vert x^{\prime} \rangle dx_1 dx_2 \cdots dx_{n-1} \\ &= \int \cdots \int \rho(x, x_{n-1};\epsilon) \rho(x_{n-1}, x_{n-2};\epsilon) \cdots \rho(x_1, x^{\prime};\epsilon) dx_1 dx_2 \cdots dx_{n-1} \end{align}

이라고 쓸 수 있다. $\epsilon$ 만큼 쪼갠 $\rho$ 를 '경로(path)' 라고 하면, 그 모든 경로에 대해 적분한 것, 즉 $\rho(x, x^{\prime}; u)$ 는 전체 진폭이라고 하자. 이제 앞에서 $\epsilon$ 만큼 쪼갠 시간을 $0$으로 보내는 극한으로 보내면, 지금의 식은

\begin{align} \rho(x, x^{\prime}; U) = \int \Phi[x(u)]\mathcal{D}x(u) \end{align}

으로 바꿀 수 있다. 여기서 전체 경로 적분에 대한 시간을 $U$, 각 부분 $\epsilon$ 으로 쪼갠 부분의 시간을 $u$로 썼다. 여기서 $\Phi[x(u)] \,, \mathcal{D}x(u)$ 는

\begin{align} &\Phi[x(u)] = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \rho(x, x_{n-1};\epsilon) \rho(x_{n-1}, x_{n-2};\epsilon) \cdots \rho(x_1, x^{\prime};\epsilon) \\ &\mathcal{D}x(u) = \lim_{n \rightarrow \infty} dx_1 dx_2 \cdots dx_{n-1}. \end{align}

여기서 파인만 책에서는 슈뢰딩거 방정식을 따라가지 않다 보니 일반적인 형태의 시간 변화 연산자 $e^{-iHt/\hbar}$ 의 형태를 사용하고 있지 않다. 이점에 대해서는 책에서도 언급하고 있는데, 사실 처음에 쓴 방정식에서 시간 $u \rightarrow iu$ 이면 익숙한 슈뢰딩거 방정식,

\begin{align} -i\hbar \frac{\partial \rho(u)}{\partial u} = H \rho (u) \end{align}

이다. 책에서는 다음과 같이 언급하고 있다.

방정식의 “$u$” 가 “$iu$“로 대치되면 우리는 슈뢰딩거 방정식을 얻을 수 있다. 통계역학에서와 유사하게,
양자역학도 경로적분의 관점으로 공식화할 수 있다. 수학자들에게는 통계역학이 더 다루기 쉬운데
이는 경로 적분의 지수함수들이 지수부분을 실수의 양로서 가지기 때문이다.

작은 $\epsilon$만큼 진행한다면 자유입자의 밀도행렬로서 다음을 얻는다: $$\rho(x,x';\epsilon) \approx \sqrt{\frac{m}{2\pi\hbar \epsilon}} \exp\left[ \frac{m}{2\hbar\epsilon} (x-x')^2 \right].$$ 자유입자의 해밀토니안이 다음과 같으므로 $$H = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2}$$ $U$만큼 진행했을 때의 밀도행렬은 \begin{eqnarray*} \rho(x,x';U) &=& \lim_{\epsilon\to 0} \int \cdots \int \exp\left\{ -\frac{m\epsilon}{2\hbar} \left[ \left(\frac{x-x_{n-1}}{\epsilon}\right)^2 + \left(\frac{x_{n-1}-x_{n-2}}{\epsilon}\right)^2 + \ldots + \left(\frac{x_1-x'}{\epsilon}\right)^2 \right] \right\} \frac{dx_1}{\sqrt{2\pi\hbar\epsilon/m}} \frac{dx_2}{\sqrt{2\pi\hbar\epsilon/m}} \cdots \frac{dx_{n-1}}{\sqrt{2\pi\hbar\epsilon/m}}. \end{eqnarray*} 따라서, 자유입자에 대해 $$\Phi\left[x(u)\right] = \lim_{\epsilon\to 0} \exp\left\{ -\frac{m\epsilon}{2\hbar} \left[ \left(\frac{x-x_{n-1}}{\epsilon}\right)^2 + \left(\frac{x_{n-1}-x_{n-2}}{\epsilon}\right)^2 + \ldots + \left(\frac{x_1-x'}{\epsilon}\right)^2 \right] \right\}.$$ 간격 $\epsilon$이 작아지면 $$\frac{x_k - x_{k-1}}{\epsilon} \to \left. \frac{dx(u)}{du} \right|_{u=k\epsilon} \equiv \left. \dot{x} (u)\right|_{u=k\epsilon}$$ 이므로 다음처럼 적을 수 있다: $$\Phi\left[x(u)\right] = \exp \left\{ -\frac{1}{\hbar} \int_0^U \frac{m}{2} \left[ \dot{x}(u) \right]^2 du \right\}.$$

자유입자 밀도행렬의 다음과 같은 원소를 생각하자: $$\rho(x_2, x_1, U) = \int \cdots \int \exp \left\{ -\frac{1}{\hbar} \int_0^U \frac{m}{2} \left[ \dot{x}(u) \right]^2 du \right\} \mathcal{D}x(u)$$ 여기에서 $x(0)=x_1$이고 $x(U)=x_2$이다. 직선 경로 $\tilde{x}(u)$를 생각해서 $$\frac{d\tilde{x}(u)}{du} = \frac{x_2-x_1}{U} = v$$ 로 놓고 각각의 경로는 $x(u) = \tilde{x}(u) + y(u)$로 쓰도록 하자. \begin{eqnarray*} \int_0^U \left[ \dot{x}(u) \right]^2 du &=& \int_0^U \frac{m}{2} \left[ v+\dot{y}(u) \right]^2 du\\ &=& \int_0^U \frac{m}{2} \left[ v^2 + 2v\dot{y} + \dot{y}^2 \right]^2 du\\ &=& v^2 U + 2v\left[ y(U) - y(0) \right] + \int_0^U \dot{y}^2 du. \end{eqnarray*} $y(U) = y(0) = 0$으로 놓으면 두 번째 항은 사라진다. 따라서 $$\rho(x_2, x_1, U) = \exp\left( -\frac{mv^2 U}{2\hbar} \right) \int\cdots\int \exp\left(- \frac{m}{2\hbar} \int_0^U \dot{y}^2 du \right) \mathcal{D}y.$$ 이 중 적분 부분을 $F(U)$로 적으면 $$\rho(x_2, x_1, U) = F(U) \exp\left[ -\frac{m (x_2-x_1)^2}{2\hbar U} \right].$$

$F(U)$ 는 일반적으로

\begin{align} F(U) = \sqrt{\frac{m}{2\pi\hbar U}} e^{\alpha U} \end{align}

으로 주어지는데, 이것을 유도해보도록 하자. 여기에서 $\alpha$는 임의의 상수이며, 퍼텐셜의 영점을 바꾸는 것에 해당하여 물리를 바꾸지 않는다. 간단히 $\alpha=0$으로 놓아도 된다. 본래의 양자역학적인 계산을 수행한다면 $$F(U) = \sqrt{\frac{-im}{2\pi\hbar U}}.$$

이 식을 유도하기 위해 자유입자의 경로적분 표현으로부터 얻는 밀도행렬의 식

\begin{align} \rho(x_2, x_1, U) = F(U)\exp\left[-\frac{m(x_2 - x_1)^2}{2\hbar U}\right] \end{align}

에서 시작하자. 그리고 위의 식의 $F(U)$는

\begin{align} \rho(x, y, u_1 + u_2) = \int dx^{\prime} \rho(x, x^{\prime}; u_2)\rho(x^{\prime}, y; u_1) \end{align}

으로부터 얻을 수 있다. 밀도행렬 $\rho$ 를 두 번째 식을 이용하여 나타내면, 좌변은

\begin{align} \rho(x, y, u_1 + u_2) = F(u_1 + u_2)\exp\left[-\frac{m(x - y)^2}{2\hbar \left(u_1 + u_2\right)}\right] \end{align}

이고, 우변은

\begin{align} \rho(x, x^{\prime}, u_2) = F(u_2)\exp\left[-\frac{m(x - x^{\prime})^2}{2\hbar u_2}\right] \\ \rho(x^{\prime}, y, u_1) = F(u_1)\exp\left[-\frac{m(x^{\prime} - y)^2}{2\hbar u_1}\right] \end{align}

으로 나타내어 진다. 계산을 위해 우변의 밀도행렬을 적분항에 대입하면,

\begin{align} \rho(x, y, u_1 + u_2) = \int dx^{\prime} F(u_1)F(u_2)\exp\left[-\frac{m(x - x^{\prime})^2}{2\hbar u_2}\right] \exp\left[-\frac{m(x^{\prime} - y)^2}{2\hbar u_1}\right] \end{align}

으로 되는데, 이 적분은 양자기체의 밀도행렬 에서 보였던 적분으로, 아래의 적분 테이블을 이용하면 간단하게 계산할 수 있다.

\begin{align} \int dy \exp[-a(x-y)^2] \exp[-b(y-z)^2] = \left(\frac{\pi}{a+b}\right)^{1/2} \exp \left[-\frac{ab}{a+b}\left(x-z\right)^2\right] \end{align}

적분을 계산하여 정리하면,

\begin{align} \rho(x, y, u_1 + u_2) = F(u_1)F(u_2)\left[\frac{2\pi\hbar u_1 u_2}{m(u_1 + u_2)}\right]^{1/2} \exp\left[-\left(\frac{m}{2\hbar}\right)\left(\frac{1}{u_1 + u_2}\right)(x-y)^2\right] \end{align}

이를 좌변의 계산값과 비교하면 아래와 같은 간단한 형태로 정리된다.

\begin{align} F(u_1 + u_2) = F(u_1)F(u_2)\left[\frac{2\pi\hbar u_1 u_2}{m(u_1 + u_2)}\right]^{1/2} \end{align}

등식을 만족하기 위해서 양 변에 $\left[ 2\pi\hbar\left( u_1 + u_2 \right) / m \right]^{1/2}$ 를 곱해주면

\begin{align} F(u_1 + u_2)\left[\frac{2\pi\hbar \left( u_1 + u_2 \right)}{m}\right]^{1/2} = F(u_1)\left[\frac{2\pi\hbar u_1}{m}\right]^{1/2}F(u_2)\left[\frac{2\pi\hbar u_2}{m}\right]^{1/2} \end{align}

이며 등식을 만족시키기 위해서는 처음에 소개한 $F(U)$ 같은 식이 된다.

양자역학적 단순조화진동자에 대한 경로적분은 다음과 같은 양이 된다: $$F(U) = \int\cdots\int \exp\left[ -\frac{1}{i\hbar} \int_0^U \left(\frac{m}{2} \dot{y}^2 - \frac{m\omega^2}{2} y^2 \right) du \right] \mathcal{D}y(u).$$ 이때 $y(0) = y(U) = 0$이다.

여기에서 부분적분을 시행하면 다음 결과를 얻는데, $$\int \dot{y}^2 du = \left[ y \dot{y} \right]_{u=0}^U - \int y \ddot{y} du$$ $y(0)=y(U)=0$이므로 우변 첫 번째 항은 사라진다.

따라서 다음과 같은 형태로 쓸 수 있게 된다: \begin{eqnarray*} F(U) &=& \int\cdots\int \exp\left[ -\frac{1}{i\hbar} \int_0^U \left(-\frac{m}{2} y\ddot{y} - \frac{m\omega^2}{2} y^2 \right) du \right] \mathcal{D}y(u)\\ &=& \int\cdots\int \exp\left[ -\frac{1}{2} \int_0^U y \hat{C} y ~du \right] \mathcal{D}y(u). \end{eqnarray*} 이때 $\hat{C}$는 다음과 같은 연산자이다: $$\hat{C} \equiv -\frac{m}{i\hbar} \frac{\partial^2}{\partial u^2} - \frac{m\omega^2}{i\hbar} = \frac{m}{i\hbar} \left(-\frac{\partial^2}{\partial u^2} - \omega^2 \right).$$ 1차원 가우스 함수의 적분으로부터, $N\times N$ 실수 대칭 행렬 $\alpha$가 있을 때 다음이 성립함을 알고 있다: $$\int^{\infty}_{-\infty} \Big[\prod^{N}_{k=1} dx_{k} \Big] \exp\left(-\frac{1}{2}\sum^{N}_{m,n=1} x_{m}\alpha_{mn}x_{n}\right) = \sqrt{\frac{(2\pi)^{N}}{\det\alpha}}.$$ $\hat{C}$의 고윳값과 고유벡터를 찾아보면 $$y(u) = c\sin(\omega_n u)$$ 일 때 $\lambda_n = \frac{m}{i\hbar} (\omega_n^2 - \omega^2)$이며, $y(0)=y(U)=0$의 경계조건을 만족하기 위해서는 $\omega_n = n\pi/U$이다 ($n=1,2,\ldots$). 따라서 $F(U)$는 어떤 계수 $B$가 붙어서 다음처럼 표현될 것이다: $$F(u) = B \left\{ \prod_{n=1}^{\infty} \frac{m}{i\hbar} \left[ \left(\frac{n\pi}{U}\right)^2 -\omega^2 \right] \right\}^{-1/2}.$$

• 포커-플랑크 방정식
• 양자기체의 밀도행렬
• 1차원 가우스 함수의 적분

• Richard P. Feynman, Statistical Mechanics (Westview Press, 1972).
• Tom Lancaster & Stephen J. Blundell, Quantum Field Theory for the Gifted Amateur (Oxford University Press, Oxford, 2014).