맥스웰 자신의 유도 과정은 간명하다.

$N$개의 단분자 이상기체 입자를 생각해보자. $x,y,z$ 방향의 속도가 각각 $(v_x, v_x+dv_x)$, $(v_y, v_y+dv_y)$, $(v_z, v_z+dv_z)$의 간격 안에 있는 입자의 수를 $N \phi(v_x,v_y,v_z) dv_x dv_y dv_z$라고 하자.

$v_x$, $v_y$, $v_z$는 서로 독립이므로 $\phi(v_x,v_y,v_z) = f(v_x) f(v_y) f(v_z)$처럼 확률의 곱 형태로 쓸 수 있다. 나아가 $x,y,z$라는 방향은 우리가 임의로 택하는 것이므로 $\phi(\vec{v})$는 다음처럼 $\vec{v}$의 크기 $v$에만 의존할 것이다: $$f(v_x) f(v_y) f(v_z) = \phi(v_x, v_y,v_z) = \phi(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2) = \phi(v^2).$$

맥스웰은 이 함수 방정식을 만족하는 해가 $f(v_i)=C e^{Av_i^2}$이고 따라서 $\phi(v^2) = C^3 e^{Av^2}$일 것이라고 추론했다. 이 해가 $x \rightarrow \infty$에서 발산하지 않으려면 $A = -1/\alpha^2$으로 음수여야 한다. 이 $\alpha$는 이상기체 상태방정식을 통해 결정될 것이다.

$\int_{-\infty}^{\infty} f(v_i) dv_i = 1$이라는 규격화 조건에 의해 상수 $C$가 $\frac{1}{\alpha \sqrt{\pi}}$로 결정된다 (가우스 적분 참고). 따라서 $$f(v_i) = \frac{1}{\alpha\sqrt{\pi}} e^{-v_i^2/\alpha^2$$ 를 얻는다.

1. 에밀리오 세그레 지음, 노봉환 옮김, 고전물리학의 창시자들을 찾아서 (From Falling Bodies to Radio Waves) (전파과학사, 서울, 1984).