충분히 작은 입자를 액체에 담근 후 현미경으로 관찰하면 무작위한 운동을 관찰할 수 있다. 이것이 소위 '브라운 운동'으로서 액체 분자들이 열운동하며 이 입자를 두드리고 있기 때문에 일어난다. 분자들이 서로 충돌하는 시간 척도가 대략 $10^{-13}$ 초 정도인데, 이보다는 크지만 거시적으로 보았을 때에는 여전히 충분히 작은 약 $10^{-6}$ 초 단위에서 수많은 분자들의 영향을 뭉뚱그린 후 이 입자의 운동을 현상론적으로 기술하는 것이 편리하다. 입자의 변위를 $x(t)$, 속도를 $v = dx/dt$로 놓고 이 입자에 작용하는 힘을 기술해보면 이것은 일반적으로 시간에 따라 변화할 것이다. 즉 $$ m \frac{dv}{dt} = f(t) $$ 이다. 여기에서 다시 시간 척도에 따라 $f(t)$를 둘로 나누는데, 천천히 변화하는 부분은 이 입자를 감속시키는 경향을 나타내고, 빠르게 변화하는 부분은 요동을 칠 뿐 평균적으로 미치는 영향은 0이 될 것이다. 천천히 변화하는 부분은 $v=0$에서 사라질 것이므로 테일러 전개에서 첫째 항만을 남긴다고 생각하면 $-\alpha v$처럼 쓸 수 있다. 그리고 빠르게 변화하는 부분은 $F(t)$라고 부르고 $\left< F \right> = 0$이라고 놓자. 이 때 $\left< \right>$는 앙상블 평균을 의미한다. 이렇게 얻어진 식이 다음의 랑주뱅(Langevin) 방정식이다. $$ m \frac{dv}{dt} = - \alpha v + F(t). $$

• F. Reif, Fundamentals of Statistical and Thermal Physics (McGraw-Hill, NY, 1965).