정리

$N$ 개의 $q_i$ 좌표계가 주어졌을 때, $(p_i,q_i)$ 위상공간에서 $2N$ 차원의 닫힌 폐곡면의 체적(volume)은 보존된다. 즉, 이 폐곡면의 체적이 위상공간에서 시간에 무관함을 나타내는 정리이다.

증명의 간결함을 위해서 $N=1$이라고 하자. 이 경우 위상 공간의 차원은 $2N$이다. 이 공간 위에서 한 점 $(p,q)$의 속도를 $\vec v=(\dot p, \dot q)$이라 하자. 초기 시간에서 임의의 폐곡선을 $C_0$라 하자. 이 폐곡선 위의 점들이 $dt$만큼의 시간이 지났을 때의 이루는 새로운 폐곡선을 $C_{dt}$라고 하자(그림 참조).

$C_0$에서 $C_{dt}$로 이동할 때 곡선 이 가지는 넓이의 변화를 계산해보자. 점 $A$와 $B$가 $C_0$에서 $C_{dt}$로 이동하는 동안 쓸고 지나간 면적은 $dl\times dh$이다.

$\hat v$를 $C_0$에 수직하며 폐곡선 바깥을 가리키는 방향의 단위 벡터라고 했을 때 $dh=\hat v\cdot\vec vdt$이다. 그러므로 그림에서 어두운 면의 넓이는 $dldh = dl(\hat n\cdot\vec vdt)$이다. 단위 벡터의 방향이 폐곡선 바깥을 향하기 때문에 아래의 위의 그림에서 점 $A$와 $B$가 속한 평행사변형의 넓이가 양의 값을 가진다. 반면 어떤 평행사변형은 음의 변화량을 가지는 것을 알 수 있다. 즉, 폐곡선 위의 점들이 쓸고 지나간 면적의 넓이를 나타낸 평행사변형의 넓이는 사실 $C_0$의 넓이에서 늘어난 부분과 줄어든 부분을 나타낸다는 것을 주목하자. 전체 넓이의 변화량은 조그만 평행사변형의 넓이의 합이기 떄문에 다음과 같이 구할 수 있다.

$$dA = \int_C(\hat n\cdot \vec vdt)dl$$

그리고 위 식으로 부터 시간 변화에 의한 넓이의 변화는

$$\frac{dA}{dt} = \int_C\vec v\cdot(\hat ndl)$$

임을 알 수 있다. 우변을 발산정리를 사용하면 아래처럼 정리할 수 있다.

\begin{align*} \frac{dA}{dt} &= \int_C\vec v\cdot(\hat ndl) \\ &= \int_A\nabla\cdot\vec vdA \\ &= \int_A\nabla\cdot(\dot{q},\dot{p})dA \\ &= \int_A\left(\frac{\partial\dot{q}}{\partial q}+\frac{\partial\dot{p}}{\partial p}\right)dA \\ &= \int_A\left(\frac{\partial}{\partial q}\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)+\frac{\partial q}{\partial p}\left(-\frac{\partial H}{\partial q}\right)\right)dA \\ &= \int_A\left(\frac{\partial^2H}{\partial q\partial p}-\frac{\partial^2H}{\partial p\partial q}\right)dA \\ &= 0. \end{align*}

그러므로 위상 공간에서 폐곡선의 면적은 시간에 대해 변하지 않는다.

때때로 리우빌 정리는 위상 공간에서 밀도의 변화가 없음을 의미한다고 간단히 언급된다. 하지만 이러한 설명을 이해할 때 위상 공간 위의 고정된 한 점에서 밀도의 변화가 없다고 오해하지 않도록 주의하라. 위의 증명 과정처럼 한 점 주위의 밀도라는 것은 실제로 이 점을 따라가면서 관찰했을 때 바로 그 점 주위의 밀도를 의미하는 것이다.