물리:무작위_송이_모형

개요

이징 모형, 팟츠 모형, 스미기 등 다양한 통계물리 모형들을 무작위로 자라난 송이(cluster)들의 조합으로 이해하는 표현법. 포르퇸-카스텔라인 표현(Fortuin-Kasteleyn representation)으로도 알려져 있다.

이징 모형

이징 모형의 분배함수는 다음처럼 정의된다: Z{σi}exp(βijσiσj). 이것을 p=1e2β를 도입해 아래처럼 고쳐 적어보자: Z={σi}ijeβ[(1p)+pδσiσj]. 이 표현에 따르면 서로 다른 스핀 배열(spin configuration)을 표현하는 각각의 항에서 σi=σj일 때에 eβ가, σiσj일 때에 eβ가 곱해지므로 분배함수의 정의와 일치한다.

이제 ij의 사이에 위치하며 0 또는 1의 값을 가질 수 있는 변수 nij를 생각하자. 1nij=0eβ[(1p)δnij,0+pδσiσjδnij,1]=eβ[(1p)+pδσiσj] 이므로 Z={σi}ij1nij=0eβ[(1p)δnij,0+pδσiσjδnij,1] 이다. 합의 곱을 곱의 합으로 바꾸는 기술을 사용해보자. 즉 (a1+a2+)(b1+b2+)=a1b1+a1b2+ 이므로 (μaμ)(νbν)={μ,ν}aμbν 이고 여기에서 {μ,ν}μν의 모든 가능한 조합을 의미한다. 곱이 여러 개가 되더라도 쉽게 일반화할 수 있다: (λaλ)(μbμ)(νcν)=(a1+a2+)(b1+b2+)(c1+c2+)=a1b1c1+a1b2c1+={λ,μ,ν}aλbμcν.

그러면 분배함수를 아래처럼 쓸 수 있다. Z={σi}{nij}ijeβ[(1p)δnij,0+pδσiσjδnij,1]. 이 표현에 따르면 σiσj일 때에 nij=0인 항들만 살아남고, σi=σj일 때에는 nij=1인 항들이 확률 p의 가중치, nij=0인 항들이 확률 1p의 가중치와 함께 살아남는다.

nij=1ij 사이 연결이 이어진 것으로, nij=0을 연결이 끊어진 것으로 해석하자. 그러면 저 위쪽 처음의 분배함수 표현식 안에서 서로 다른 스핀 배열에 대응되던 각각의 항들은, {nij}가 표현하듯이 여기저기 이어지거나 끊긴 다양한 송이(cluster) 구조를 나타내는 항들로 다시 분해될 수 있다.

참고문헌

  • 물리/무작위_송이_모형.txt
  • Last modified: 2024/06/11 17:44
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