개요
이징 모형, 팟츠 모형, 스미기 등 다양한 통계물리 모형들을 무작위로 자라난 송이(cluster)들의 조합으로 이해하는 표현법. 포르퇸-카스텔라인 표현(Fortuin-Kasteleyn representation)으로도 알려져 있다.
이징 모형
이징 모형의 분배함수는 다음처럼 정의된다: Z≡∑{σi}exp(β∑⟨ij⟩σiσj). 이것을 p=1−e−2β를 도입해 아래처럼 고쳐 적어보자: Z=∑{σi}∏⟨ij⟩eβ[(1−p)+pδσiσj]. 이 표현에 따르면 서로 다른 스핀 배열(spin configuration)을 표현하는 각각의 항에서 σi=σj일 때에 eβ가, σi≠σj일 때에 e−β가 곱해지므로 분배함수의 정의와 일치한다.
이제 i와 j의 사이에 위치하며 0 또는 1의 값을 가질 수 있는 변수 nij를 생각하자. 1∑nij=0eβ[(1−p)δnij,0+pδσiσjδnij,1]=eβ[(1−p)+pδσiσj] 이므로 Z=∑{σi}∏⟨ij⟩1∑nij=0eβ[(1−p)δnij,0+pδσiσjδnij,1] 이다. 합의 곱을 곱의 합으로 바꾸는 기술을 사용해보자. 즉 (a1+a2+…)(b1+b2+…)=a1b1+a1b2+… 이므로 (∑μaμ)(∑νbν)=∑{μ,ν}aμbν 이고 여기에서 {μ,ν}란 μ와 ν의 모든 가능한 조합을 의미한다. 곱이 여러 개가 되더라도 쉽게 일반화할 수 있다: (∑λaλ)(∑μbμ)(∑νcν)=(a1+a2+…)(b1+b2+…)(c1+c2+…)=a1b1c1+a1b2c1+…=∑{λ,μ,ν}aλbμcν.
그러면 분배함수를 아래처럼 쓸 수 있다. Z=∑{σi}∑{nij}∏⟨ij⟩eβ[(1−p)δnij,0+pδσiσjδnij,1]. 이 표현에 따르면 σi≠σj일 때에 nij=0인 항들만 살아남고, σi=σj일 때에는 nij=1인 항들이 확률 p의 가중치, nij=0인 항들이 확률 1−p의 가중치와 함께 살아남는다.
nij=1을 i와 j 사이 연결이 이어진 것으로, nij=0을 연결이 끊어진 것으로 해석하자. 그러면 저 위쪽 처음의 분배함수 표현식 안에서 서로 다른 스핀 배열에 대응되던 각각의 항들은, ∑{nij}가 표현하듯이 여기저기 이어지거나 끊긴 다양한 송이(cluster) 구조를 나타내는 항들로 다시 분해될 수 있다.