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개요
이징 모형, 팟츠 모형, 스미기 등 다양한 통계물리 모형들을 무작위로 자라난 송이(cluster)들의 조합으로 이해하는 표현법. 포르퇸-카스텔라인 표현(Fortuin-Kasteleyn representation)으로도 알려져 있다.
이징 모형
이징 모형의 분배함수를 다음처럼 고쳐 적을 수 있다. \begin{eqnarray*} Z &=& \sum_{\{\sigma_i\}} \exp\left(\beta \sum_{\langle ij \rangle} \sigma_i \sigma_j \right)\\ &=& \sum_{\{\sigma_i\}} \prod_{\langle ij \rangle} e^\beta \left[ (1-p) + p \delta_{\sigma_i \sigma_j} \right]\\ &=& \sum_{\{\sigma_i\}} \sum_{\{n_{ij}\}} \prod_{\langle ij \rangle} e^\beta \left[ (1-p) \delta_{n_{ij},0} + p \delta_{\sigma_i \sigma_j} \delta_{n_{ij},1} \right]. \end{eqnarray*} 이때 $p=1-e^{-2\beta}$. 이 표현에 따르면 $\sigma_i \neq \sigma_j$이면 $n_{ij}=0$이고, $\sigma_i = \sigma_j$일 때에는 확률 $p$로 $n_{ij}=1$, 확률 $1-p$로 $n_{ij}=0$이다.