Spectral dimension

격자와 같은 규칙적인 연결 구조(geometry)에 대해서 선형대수학의 개념으로 정의할 수 있었던 유클리드 차원은 주기성이 없는 연결 구조에 대해서 연속적인 차원으로 일반화될 수 있다.

일례로, 프랙탈 차원 $d_f$를 정의할 수 있으나, small-world의 특성을 갖는 연결 구조의 경우에는 이 차원의 값이 발산하는 경우가 많다. 프랙탈 차원의 일례로, 하우스 도르프 차원 $d_H$도 그러하다.

이러한 small-world한 연결 구조 또는 더 복잡한 네트워크의 구조에 대해서 유한한 값의 차원을 정의하기 위해서는 spectral dimension $d_s$로 차원을 옳게 일반화할 수 있다.

무작위 행보 (random walk) 모형을 고려하여, 어떤 기준이 되는 원점으로부터 다른 이웃한 위치(site 또는 node)로 균등한 확률로서 이동한다고 하자. 이 기준 원점을 'i'이라고 부르겠다.

그렇게 했을 때, (연결 구조의 특성에 따라서) 무작위 행보자는 그 i번 위치로 부터 아주 멀리 벗어날 수도 있겠지만, 유한한 step인 $t'$에서는 i번 위치로 다시 되돌아올 수도 있을 것이다.

$$\\$$ 직관적으로, '무작위 행보자가 (동일한 시간 척도에 대해서) 연결 구조를 보다 넓게 탐험할 수 있는 경우'는, '무작위 행보자가 (동일한 시간 척도에 대해서) 국소적인 구조를 반복적으로 복귀함으로써 넓게 탐험하지 못하는 경우'에 비해서 차원이 높은 고차원의 연결구조일 것이다.

$$\\$$ 이러한 맥락에서, (각 이산적인 step을 연속적인 극한을 취하여 바꾼다면) 무작위 행보자가 이동(jump)을 시작한 시작점인 i번에 시간 $t$에 되돌아올 '복귀 확률(return probability)'를 $P_i(t)$라 하자.

이때 수학적으로는 spectral dimension은 다음과 같이 정의된다.

$$P_i(t) \sim t^{-d_s/ 2}$$

이를 통해 우리가 이해할 수 있는 것은, 실제로 무작위 행보 모형은 $d_s=2$에서 그 특성이 나뉜다는 것이다.

더 자세히 설명하자면, $d_s \le 2$에서는 다음의 측정량이 $T \to \infty$의 극한에서 0보다 큰 유한한 값을 갖는다.

$$N_i \equiv \frac{1}{T} \lim_{T\to \infty} \int^T P_i(t) dt $$

$$ \\ $$ 이 수학적 결과를 물리적으로 이해한다면, $d_s \le 2$의 저차원 구조에서는 무한한 시간이 지나는 동안에도 i번의 위치에 다시 돌아올 확률이 $0$보다 크다는 것이다.

반면에, $d_s > 2$에서는 저 값은 $0$으로 수렴한다. 즉, 충분히 큰 시간이 지나면 연결 구조를 넓게 탐험하게 되어 i번 위치로 되돌아올 확률이 $0$에 수렴한다.