Spectral dimension

격자와 같은 규칙적인 연결 구조(geometry)에 대해서 선형대수학의 개념으로 정의할 수 있었던 유클리드 차원은 주기성이 없는 연결 구조에 대해서 연속적인 차원으로 일반화될 수 있다.

일례로, 프랙탈 차원 $d_f$를 정의할 수 있으나, small-world의 특성을 갖는 연결 구조의 경우에는 이 차원의 값이 보통 발산한다. 프랙탈 차원의 일례로, 하우스 도르프 차원 $d_H$도 그러하다.

이러한 small-world한 연결 구조 또는 더 복잡한 네트워크의 구조에 대해서 유한한 값의 차원을 정의하기 위해서는 spectral dimension $d_s$로 차원을 옳게 일반화할 수 있다.

무작위 행보 (random walk) 모형을 고려하여, 어떤 기준이 되는 원점으로부터 다른 이웃한 위치(site 또는 node)로 균등한 확률로서 이동한다고 하자. 이 기준 원점을 'i'이라고 부르겠다.

그렇게 했을 때, (연결 구조의 특성에 따라서) 무작위 행보자는 그 i번 위치로 부터 아주 멀리 벗어날 수도 있겠지만, 유한한 step인 $t'$에서는 i번 위치로 다시 되돌아올 수도 있을 것이다.

$$\\$$ 직관적으로, '무작위 행보자가 (동일한 시간 척도에 대해서) 연결 구조를 보다 넓게 탐험할 수 있는 경우'는,

'무작위 행보자가 (동일한 시간 척도에 대해서) 국소적인 구조를 반복적으로 복귀함으로써 넓게 탐험하지 못하는 경우'에 비해서 (차원이 높은) 고차원의 연결 구조일 것이다.

$$\\$$

이러한 맥락에서, (각 이산적인 step을 연속적인 극한을 취하여 바꾼다면) 무작위 행보자가 이동(jump)을 시작한 시작점인 i번에 시간 $t$에 되돌아올 '복귀 확률(return probability)'를 $P_i(t)$라 하자.

이때 수학적으로는 spectral dimension은 다음과 같이 정의된다.

$$P_i(t) \sim t^{-d_s/ 2} \quad (t\gg 1)$$

이를 통해 우리가 이해할 수 있는 것은, 실제로 무작위 행보 모형은 $d_s=2$에서 그 특성이 나뉜다는 것이다.

더 자세히 설명하자면, $d_s \le 2$에서는 다음의 측정량이 $T \to \infty$의 극한에서 0보다 큰 유한한 값을 갖는다.

$$N_i \equiv \frac{1}{T} \lim_{T\to \infty} \int^T P_i(t)\ dt .$$

$$ \\ $$ 이 수학적 결과를 물리적으로 이해한다면, $d_s \le 2$의 저차원 구조에서는 무한한 시간이 지나는 동안에도 i번의 위치에 다시 돌아올 확률이 $0$보다 크다는 것이다.

반면에, $d_s > 2$에서는 저 값은 $0$으로 수렴한다. 즉, 충분히 큰 시간이 지나면 연결 구조를 넓게 탐험하게 되어 i번 위치로 되돌아올 확률이 $0$에 수렴한다.

$$\\$$

원래의 무작위 행보 모형은 확률적 과정(stochastic process)이지만, 그의 확률에 대한 방정식을 세운다면 그 결과는 결정론적(deterministic)으로 기술할 수 있게 된다.

즉, 포커-플랑크 방정식(Fokker-Planck equation)으로서, 무작위 행보자가 시간 $t$에서 위치 $j$에 있을 확률을 $\pi_j(t)$라고 하자.

그렇다면 그 확률은 다음과 같은 확산방정식을 따른다.

$$ \frac{d\pi_j(t)}{dt} = -\sum_k L_{kj} \pi_k(t).$$

이때 $L_{ij}$는 라플라시안 행렬 (Laplacian matrix) $L=D-A$의 $i$행 $j$번째 성분이다.

$D$는 이웃의 수를 대각성분으로 갖는 행렬(degree matrix)이며, $A$는 인접행렬으로서 $i$와 $j$가 연결되어 있다면 $1$, 그렇지 않다면 $0$을 갖는다.

위의 확산방정식은 이산적인(discrete) 연결 구조에 대해서 정의되는 식이며, 연속적인 경우라고 한다면 우리가 익히 아는 기존의 확산방정식과 같다.

$$ \frac{\partial \pi(r,t)}{\partial t} = \nabla^2 \pi(r, t).$$

(이 게시글에서는 일반적인 연결 구조를 다루므로 유클리드 격자 또는 연속적인 공간이 아닌 이산적인 구조에 대해서 다루므로 $ \frac{d\pi_j(t)}{dt} = -\sum_k L_{kj} \pi_k(t)$에 대해서 더 설명하겠다.)

$$\\$$ 여기서 확률 분포 벡터인 $\pi_j(t)$의 초기조건은 특정한 site $i$에 대해서 무작위 행보자가 시작한다는 의미로서 $\pi_j(0)=\delta_{ij}$라고 하자. 이때 $\delta_{ij}$는 크로네커-델타이다.

그렇다면 $\pi_i(t)$는 다름이 아니라 위에서 논의했던 (시작점 i에 대한) 복귀 확률(return probability)와 정의 상 일치한다.

$$\\$$ 그러한 확률이 라플라스 연산자의 이산적 구조에 대응되는 행렬로서 Laplacian matrix와 관련되는데,

사실 수학적으로 (연속적인 시간 $t$로 연속체 가정을 취하기 전인) 이산적인 시간 $t'$에 대해 그의 변화(update) 식을 Laplacian matrix의 고유값 $\lambda$에 대해서 합산해가는 과정과 같다.

(이 과정은 어렵지 않지만) 다소 설명이 길어질 수 있으므로 결론만 말하자면, 위의 특성을 통해서 아래의 식을 얻을 수 있다.

$$ P(t) \propto \int_0^{\lambda_{max}} \rho(\lambda)e^{-\lambda t} \ d\lambda.$$ (초기 site에 대한 index인 i는 일반성을 잃지 않고 지울 수 있으므로 표시하지 않았다.)

이때, Laplacian matrix의 고유값 중 가장 작은 크기인 $\lambda_{min}$는 항상 $0$임에 유의하자.

$$\\$$ 위 관계식을 통해 우리는 무작위 행보자의 복귀 확률 $P_0(t)$를 라플라스 변환(Laplace transform)하면 Laplace matrix의 고유값 분포(eigenvalue spectrum)인 $\rho(\lambda)$를 얻을 수 있음을 알 수 있으므로

복귀 확률의 장시간 거동으로 이해할 수 있었던 spectral dimension의 아래 정의는 $$P(t) \sim t^{-d_s/ 2} \quad (t\gg 1)$$

Laplacian matrix의 고유값에 대해서는 아래의 식으로도 얻을 수 있음을, 라플라스 변환의 공식으로 이해할 수 있다.

$$\rho(\lambda) \sim \lambda^{d_s/2-1} quad (\lambda \ll 1)$$

따라서 고유값 분포를 얻고 그의 고유값이 작은 영역의 멱법칙 지수(power-law exponent)로 부터 spectral dimension을 얻을 수 있다.

(연속적인 경우에 Laplacian의 고유값은 momentum $$k의 제곱에 해당됨을 떠올려보면 알 수 있듯이, low momentum의 영역으로 기술된다.) $$\\$$