Spectral dimension

격자와 같은 규칙적인 연결 구조(geometry)에 대해서 선형대수학의 개념으로 정의할 수 있었던 유클리드 차원은 주기성이 없는 연결 구조에 대해서 연속적인 차원으로 일반화될 수 있다.

일례로, 프랙탈 차원 $d_f$를 정의할 수 있으나, small-world의 특성을 갖는 연결 구조의 경우에는 이 차원의 값이 보통 발산한다. 프랙탈 차원의 일례로, 하우스 도르프 차원 $d_H$도 그러하다.

이러한 small-world한 연결 구조 또는 더 복잡한 네트워크의 구조에 대해서 유한한 값의 차원을 정의하기 위해서는 스펙트럴 차원(spectral dimension) $d_s$로 차원을 옳게 일반화할 수 있다.

무작위 행보 (random walk) 모형을 고려하여, 어떤 기준이 되는 원점으로부터 다른 이웃한 위치(site 또는 node)로 균등한 확률로서 이동한다고 하자. 이 기준 원점을 'i'이라고 부르겠다.

그렇게 했을 때, (연결 구조의 특성에 따라서) 무작위 행보자는 그 i번 위치로 부터 아주 멀리 벗어날 수도 있겠지만, 유한한 step인 $t'$에서는 i번 위치로 다시 되돌아올 수도 있을 것이다.

$$\\$$ 직관적으로, '무작위 행보자가 (동일한 시간 척도에 대해서) 연결 구조를 보다 넓게 탐험할 수 있는 경우'는,

'무작위 행보자가 (동일한 시간 척도에 대해서) 국소적인 구조를 반복적으로 복귀함으로써 넓게 탐험하지 못하는 경우'에 비해서 (차원이 높은) 고차원의 연결 구조일 것이다.

$$\\$$

이러한 맥락에서, (각 이산적인 step을 연속적인 극한을 취하여 바꾼다면) 무작위 행보자가 이동(jump)을 시작한 시작점인 i번에 시간 $t$에 되돌아올 '복귀 확률(return probability)'를 $P_{ii}(t)$라 하자.

이때 수학적으로는 스펙트럴 차원은 다음과 같이 정의된다.

$$P_{ii}(t) \sim t^{-d_s/ 2} \quad (t\gg 1)$$

이를 통해 우리가 이해할 수 있는 것은, 실제로 무작위 행보 모형은 $d_s=2$에서 그 특성이 나뉜다는 것이다.

더 자세히 설명하자면, $d_s \le 2$에서는 다음의 측정량이 $T \to \infty$의 극한에서 0보다 큰 유한한 값을 갖는다.

$$N_i \equiv \frac{1}{T} \lim_{T\to \infty} \int^T P_{ii}(t)\ dt .$$

$$ \\ $$ 이 수학적 결과를 물리적으로 이해한다면, $d_s \le 2$의 저차원 구조에서는 무한한 시간이 지나는 동안에도 i번의 위치에 다시 돌아올 확률이 $0$보다 크다는 것이다.

반면에, $d_s > 2$에서는 저 값은 $0$으로 수렴한다. 즉, 충분히 큰 시간이 지나면 연결 구조를 넓게 탐험하게 되어 i번 위치로 되돌아올 확률이 $0$에 수렴한다.

$$\\$$

원래의 무작위 행보 모형은 확률적 과정(stochastic process)이지만, 그의 확률에 대한 방정식을 세운다면 그 결과는 결정론적(deterministic)으로 기술할 수 있게 된다.

즉, 포커-플랑크 방정식(Fokker-Planck equation)으로서, 무작위 행보자가 시간 $t$에서 위치 $j$에 있을 확률을 $\pi_j(t)$라고 하자.

그렇다면 그 확률은 다음과 같은 확산방정식을 따른다.

$$ \frac{d\pi_j(t)}{dt} = -\sum_k L_{kj} \pi_k(t).$$

이때 $L_{ij}$는 라플라시안 행렬 (Laplacian matrix) $L=D-A$의 $i$행 $j$번째 성분이다.

$D$는 이웃의 수를 대각성분으로 갖는 행렬(degree matrix)이며, $A$는 인접행렬으로서 $i$와 $j$가 연결되어 있다면 $1$, 그렇지 않다면 $0$을 갖는다.

위의 확산방정식은 이산적인(discrete) 연결 구조에 대해서 정의되는 식이며, 연속적인 경우라고 한다면 우리가 익히 아는 기존의 확산방정식과 같다.

$$ \frac{\partial \pi(r,t)}{\partial t} = \nabla^2 \pi(r, t).$$

(이 게시글에서는 일반적인 연결 구조를 다루므로 유클리드 격자 또는 연속적인 공간이 아닌 이산적인 구조에 대해서 다루므로 $ \frac{d\pi_j(t)}{dt} = -\sum_k L_{kj} \pi_k(t)$에 대해서 더 설명하겠다.)

$$\\$$ 여기서 확률 분포 벡터인 $\pi_j(t)$의 초기조건은 특정한 site $i$에 대해서 무작위 행보자가 시작한다는 의미로서 $\pi_j(0)=\delta_{ij}$라고 하자. 이때 $\delta_{ij}$는 크로네커-델타이다.

그렇다면 $\pi_i(t)$는 다름이 아니라 위에서 논의했던 (시작점 i에 대한) 복귀 확률(return probability)와 정의 상 일치한다.

$$\\ $$

그러한 확률이 라플라스 연산자의 이산적 구조에 대응되는 행렬로서 Laplacian matrix와 관련되는데,

사실 수학적으로 (연속적인 시간 $t$로 연속체 가정을 취하기 전인) 이산적인 시간 $t'$에 대해 그의 변화(update) 식을 Laplacian matrix의 고유값 $\lambda$에 대해서 합산해가는 과정과 같다.

(이 과정은 어렵지 않지만) 다소 설명이 길어질 수 있으므로 결론만 말하자면, 위의 특성을 통해서 아래의 식을 얻을 수 있다.

$$ P(t) \propto \int_0^{\lambda_{max}} \rho(\lambda)e^{-\lambda t} \ d\lambda.$$ (초기 site에 대한 index인 i는 일반성을 잃지 않고 지울 수 있으므로 표시하지 않았다.)

이때, Laplacian matrix의 고유값 중 가장 작은 크기인 $\lambda_{min}$는 항상 $0$임에 유의하자.

$$\\$$ 위 관계식을 통해 우리는 무작위 행보자의 복귀 확률 $P_0(t)$를 라플라스 변환(Laplace transform)하면 Laplacian matrix의 고유값 분포(eigenvalue spectrum)인 $\rho(\lambda)$를 얻을 수 있음을 알 수 있으므로

복귀 확률의 장시간 거동으로 이해할 수 있었던 스펙트럴 차원의 아래 정의는 $$P(t) \sim t^{-d_s/ 2} \quad (t\gg 1)$$

Laplacian matrix의 고유값에 대해서는 아래의 식으로도 얻을 수 있음을, 라플라스 변환의 공식으로 이해할 수 있다.

$$\rho(\lambda) \sim \lambda^{d_s/2-1} \quad (\lambda \ll 1)$$

따라서 고유값 분포를 얻고 그의 고유값이 작은 영역의 멱법칙 지수(power-law exponent)로 부터 스펙트럴 차원을 얻을 수 있다.

(연속적인 공간의 경우에서는 Laplacian의 고유값이 파수 $k$의 제곱에 해당됨을 떠올려보면 알 수 있듯이, low momentum의 영역으로 기술된다.)

$$\\$$

보통 고체물리학의 전반 부에 소개 되는 (1차원 조화진동자로서의) 원자 사슬 모형의 동역학은 다음과 같다.

$$F_{i,i+1}= - K(u_{i+1}-u_{i})$$

이는 각 $i$, $i+1$번째의 원자가 $u_i$와 $u_{i+1}$의 변위로 기술될 때, 그 두 원자 사이의 힘 $F_{i, i+1}$이 그 변위의 차에 비례한다는 것이다.

이를 시간에 대한 미분방정식으로 나타낸다면 다음과 같다.

$$ m \frac{d^2 u_i}{dt^2} = -K\left(\{u_{i+1} - u_i\}+\{u_{i-1} - u_i\}\right).$$

이러한 1차원의 공식으로부터 일반적인 이산적 연결 구조로 확장하는 것은 (위에서 언급한 Laplacian matrix의 정의를 통해서) 다음과 같이 가능함을 알 수 있다.

$$ m \frac{d^2 u_i}{dt^2} = -K \sum_j L_{ij} u_j.$$

벡터 및 행렬 표현으로 나타낸다면 아래와 같다. $$ \frac{d^2 \mathbf{u}}{dt^2} = -\frac{K}{m} \mathbf{L} \mathbf{u}$$

$$\\$$ 이때, 우리는 '고유 진동수' $\omega_p$의 스펙트럼과 Laplacian matrix의 고유값 스펙트럼이 어떠한 관계를 갖는지 이해해보려고 한다.

(일반적인 연결 구조에서는 병진 대칭성이 없으므로 파수 $k$가 아니라 Laplacian matrix의 고유 벡터의 index인 $p$로 표기했음에 유의하자.)

$$\\$$ 이때 우리가 해 $\mathbf{u}(t)=\mathbf{v}=e^{-i\omega t}$라는 형태로 가정해보자.

그렇다면, $ \frac{d^2 \mathbf{u}}{dt^2} = -\frac{K}{m} \mathbf{L} \mathbf{u}$로 부터 다음을 얻는다.

$$ -\omega^2 \mathbf{v}e^{-i\omega t } = -\frac{K}{m} \mathbf{L} \left(\mathbf{v}e^{-i\omega t} \right)$$

여기에서 $e^{-i\omega t}$를 양변에 대해 소거해주면 아래와 같은 식을 얻으며 $$\mathbf{L}\mathbf{v}=\frac{m\omega^2}{K}\mathbf{v}$$

이는 Laplacian matrix $\mathbf{L}$에 대한 고유값 문제와 같다.

즉, 각각의 고유벡터를 $\mathbf{v_p}$라고 하면 $\mathbf{L}\mathbf{v_p}=\lambda_p \mathbf{v_p}$로서 고유값 $\lambda_p$를 고려할 수 있고

따라서 원자 모형의 고유 진동수 $\omega_p$와, 원자들의 연결 구조를 결정하는 Laplacian matrix가 갖는 고유값 $\lambda_p$에 대해서 다음의 관계를 얻는다.

$$ \lambda_p = \frac{m \omega_p^2}{K} $$

$$\\$$ 이를 통해, 측도(measure) $\mu$에 대해 $ d\mu = g(\omega) d\omega = \rho(\lambda) d\lambda$로 부터 아래와 같은 분산 관계를 이해할 수 있다.

$$ \rho(\lambda) d\lambda\ \sim\ \lambda^{d_s/2-1}\ d\lambda\ \sim\ \omega^{d_s-2}\ \omega d\omega\ \sim\ \omega^{d_s-1} d\omega $$

즉, 조화진동자 모드의 고유 진동수 $\omega$의 밀도 함수 $\rho(\omega)$에서도 스펙트럴 차원의 관계식을 얻을 수 있다.

$$\\$$

다음의 형태를 갖는 장거리 상호작용(long-range interaction)은 스펙트럴 차원과 밀접한 관련이 있다.

$$ J(r) \sim \frac{1}{r^{d+\sigma }} $$

여기에서 $d$는 유클리드 차원(Euclidean dimension)으로서, 상호작용하는 계가 해당 $d$차원 격자(lattice) 위에 놓인 경우이다.

$\sigma$의 값이 $-d$에서 $\infty$까지의 범위 사이에서 조절됨에 따라, 전부 연결되어 있는 경우$(\sigma=-d)$로서 평균장 해석이 정확해지는 경우와 최근접 이웃끼리만 연결되는 경우$(\sigma\to \infty)$ 사이의 영역을 연속적으로 떠올려볼 수 있다.

$$\\$$ 어떠한 계의 해밀토니안 $H$에서 그러한 상호작용을 기술하는 항을 $V$라고 하자.

더 자세한 식을 작성하자면, 아래와 같이 나타낼 수 있겠다. $$ V=-\frac{1}{2} \int d^d \mathbf{x} \int d^d \mathbf{y} J(|\mathbf{x}-\mathbf{x'}|) \phi(x) \phi(y),$$ 여기에서 $\phi(x)$는 공간적인 위치 $x$에서의 질서 변수 장(field)이다.

이때, 장거리 상호작용을 고려하더라도 $J(\mathbf{x}, \mathbf{x'}) = J(\mathbf{x}-\mathbf{x'}) $로서 현재 병진 대칭성이 존재하기 때문에, 운동량 공간(momentum space)에서의 분석이 가능하다. 이를 위해 푸리에 변환을 사용하자.

$$\phi(\mathbf{x}) = \int \frac{d^d \mathbf{k}}{(2\pi)^d} \tilde{\phi}(\mathbf{k}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x}} $$

그렇다면 $V$의 식은 아래와 같이 바뀐다.

$$ V=-\frac{1}{2} \int d^d \mathbf{x} \int d^d \mathbf{y} J(|\mathbf{x}-\mathbf{y}|) \left[\int \frac{d^d \mathbf{k}}{(2\pi)^d} \tilde{\phi}(\mathbf{k}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x}}\right] \left[\int \frac{d^d \mathbf{q}}{(2\pi)^d} \tilde{\phi}(\mathbf{q}) e^{i \mathbf{q} \cdot \mathbf{y}}\right].$$

여기에서, 상대 좌표인 $\mathbf{r}=\mathbf{x-y}$와 $\mathbf{R}=\mathbf{y}$를 사용해서 식을 정리해주자.

그렇게 한다면, $e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}+i\mathbf{q}\cdot \mathbf{y}}=e^{i\mathbf{k}\cdot (\mathbf{r+R}) + i \mathbf{q}\cdot \mathbf{R}}=e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r} + i(\mathbf{k+q})\cdot \mathbf{R}}$로서 적분을 아래와 같이 분리할 수 있다.

$$V=-\frac{1}{2}\int\frac{d^d \mathbf{k}}{(2\pi)^d} \int\frac{d^dq}{(2\pi)^d} \tilde{\phi}(\mathbf{k}) \tilde{\phi}(\mathbf{q}) \left[\int d^d R e^{i(\mathbf{k+q})\cdot R}\right]\left[\int d^d r J(|\mathbf{r}|) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}\right]\\ =-\frac{1}{2}\int\frac{d^d \mathbf{k}}{(2\pi)^d} \tilde{\phi}(\mathbf{k}) \tilde{\phi}(\mathbf{-k}) \left[\int d^d r J(|\mathbf{r}|) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}\right]\\ =-\frac{1}{2}\int \frac{d^d \mathbf{k}}{(2\pi)^d} J(\mathbf{k}) \tilde{\phi}(\mathbf{k}) \tilde{\phi}(\mathbf{-k}) . $$ (두 번째 등식으로 넘어가기 위해서 델타 함수의 정의를 이용하였고, 마지막인 세 번째 등식으로 넘어간 것은 푸리에 변환의 정의를 대입한 것이다.)

$$\\ $$

또한, 아래의 식으로도 나타낼 수 있다.

$$ V=-\frac{1}{2}\int \frac{d^d \mathbf{k}}{(2\pi)^d} J(\mathbf{k}) |\tilde{\phi}(\mathbf{k}) |^2. $$

왜냐하면 실공간(real space)에서의 장 변수 $\phi(r)$이 실수(real number)이기 때문이다: $$\tilde{\phi}(-\mathbf{k})=\int \phi(\mathbf{r})e^{-i(-\mathbf{k} \cdot \mathbf{r})} \ d^dr =\int \phi(\mathbf{r})e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r})} \ d^dr = \tilde{\phi}(\mathbf{k})^*.$$

$$\\ $$ 따라서 운동량 공간에서 분석할 경우에는 $|\tilde{\phi}(\mathbf{k}) |^2$에 붙은 $J(\mathbf{k})$의 거동을 이해하면 된다.

$$\\$$

푸리에 변환을 적용하여, $1$차원 유클리드 공간에 대해서는 $J(\mathbf{k})$를 다음과 같이 구할 수 있다. (곧바로 확인하기 위해서 Mathematica와 같은 프로그램을 사용해 볼 수 있다.)

$$ J(\mathbf{k}) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cos\left(\frac{\pi \sigma}{2}\right) \Gamma\left(-\sigma\right) |\mathbf{k}|^{\sigma}.$$

즉, 원래의 상호작용 커널(kernel)이 $\mathbf{|r|}=\mathbf{|x-x'|}$에만 의존할 때, 그 푸리에 변환 결과는 $|\mathbf{k}|^{\sigma}$에 비례한다.

$$\\$$ 일반적인 $d$차원 유클리드 공간을 고려하더라도, $r$을 제외한 나머지 $d-1$개의 좌표 축 변수에 대한 적분은 ($k$에 대해서는 상수인) solid angle만을 주기 때문에

$d$차원 유클리드 공간에 대해서 다음의 결과를 이해할 수 있다.

$$J(\mathbf{k}) \propto |\mathbf{k}|^{\sigma}.$$

즉, $1/r^{d+\sigma}$로 주어지는 장거리 상호작용은 운동량 공간에서 $|\mathbf{k}|$에 대해 $\sigma$의 차수(order)로 기여하는 항이다.

$$\\ $$

이를 통해, 우리는 '장파장 극한 (long wavelength limit)'의 거동을 고려할 때 $\sigma=2$가 임계적인 값임을 곧바로 이해할 수 있는데, 그러한 이유는 단거리 상호작용(short-range interaction)의 기여가 $|\mathbf{k}|^2$이기 때문이다.

자세히 살펴보기 위해, 일반적으로 단거리 상호작용을 나타내는 라플라시안 연산자로서 표현되는 상호작용 항을 고려해보자.

$$V_{\text{SR}}=\frac{1}{2} \int (\nabla \phi)^2\ d^d \mathbf{r}.$$

참고로, 라플라시안 연산자가 아니라 그래디언트(gradient)의 제곱항에 대한 적분도 대부분의 물리계에서 동일한 $V_{\text{SR}}$을 주며, 그러기 위한 조건은 아래 식의 우변에서 경계 항(boundary term) $\left[\phi \nabla \phi \right]_b$이 $0$인 경우이다. (일례로, 주기적 경계 조건을 고려해볼 수 있다.)

$$ \int (\nabla\phi)\cdot (\nabla \phi)\ d^d r = \left[\phi \nabla \phi \right]_b - \int \phi (\nabla^2 \phi)\ d^d \mathbf{r}.$$

따라서, 국소적(local)으로는 다른 효과를 주는 항이지만, 전체 공간에 대해 적분한 결과인 전역적(global)인 효과는 동일한 값으로 기여한다.

$$\\$$ 그러므로 이 게시글에서는 그러한 조건에 따라 아래의 $V_{\text{SR}}$을 살펴보자.

$$V_{\text{SR}}=-\frac{1}{2} \int (\phi \nabla^2 \phi) d^d \mathbf{r}.$$

푸리에 변환에 따라 이를 운동량 공간에 대한 적분으로 나타낸다면 아래와 같다.

$$V_{\text{SR}} = \frac{1}{2} \int |\mathbf{k}|^2 |\tilde{\phi}(\mathbf{k}) |^2 \frac{d^d \mathbf{k}}{(2\pi)^d}.$$

: 즉, 단거리 상호작용을 나타내는 라플라시안 (또는 그래디언트의 제곱) 항은 $|\mathbf{k}|^2$로서 장파장 극한에 기여한다.

$$\\$$

따라서 $\sigma \ge 2$에 대해서는 장거리 상호작용인 $1/r^{d+\sigma}$은 장파장 극한($|\mathbf{k}| \to 0$)에서 기여하지 않는 irrelevant한 항이 되며, $\sigma < 2$에서는 지배적인(dominant) 항으로서 relevant하게 된다.

$$\\$$

위에서는 장거리 상호작용이 장파장 극한인 저에너지 극한(low momentum limit)에서 어떠한 기여를 하는지 살펴 보았다.

더 나아가서, 이것이 연결 구조(geometry)에서 연결선의 가중치(weight)로 들어간 그래프를 고려한다면, 그 그래프의 스펙트럴 차원 $d_s$는 어떻게 주어질지도 이해할 수 있다.

$$\\$$ 우선, 초반에 살펴본대로 $d_s$는 라플라시안의 고유값 분포 $\rho(\lambda)$로 부터 얻을 수 있다.

$$\rho(\lambda) \sim \lambda^{d_s/2-1} \quad (\lambda \ll 1).$$

이산적인 구조에서는 라플라시안 행렬 이지만, 연속적인 극한에서 이는 라플라스 연산자 $\nabla^2$과 동일하다.

이 경우 라플라스 연산자의 고유함수는 $e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}$이며, 그의 고유값의 크기는 $|\mathbf{k}|^2$이다:

$$ -\nabla^2 e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}} = |\mathbf{k}|^2 e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}.$$

$$ \\ $$ $d_s$가 따르는 멱급수 형태(power-law)는 고유값이 작은 ($\lambda \ll 1$) 영역에 해당하므로, $|\mathbf{k}|^2 \to 0$으로서 장파장에 해당하는 저에너지 영역을 살펴보는 것과 동일함을 알 수 있다.

$$\\$$ 이는 연속적인 극한에만 해당되는 것이 아니라 이산적인 구조에 대해서도 성립한다. $1/r^{d+\sigma}$ 형태의 장거리 가중치를 갖는 그래프의 인접행렬을 $A$라고 하면, $A$는 순환 행렬 (circulant matrix)이므로 그의 고유벡터가 푸리에 모드 $v^k$에 해당하기 때문이다.

$$ v^k = \left(1,\ \omega_n^k,\ \omega_n^{2k},\ ..., \omega_n^{(n-1)k}\right)^T, \\ \omega_n = e^{2\pi i / n}. $$

위에서 $v^k$ 벡터의 $j$번째 성분은 유클리드 공간의 좌표인 $\mathbf{r}_j$를 이용하면 $e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_j}$로 나타낼 수 있으므로, 푸리에 모드와 동일한 것이다.

$$\\ $$ 이때, 라플라시안 행렬 $L$의 각 성분은 $L_{ij}=D_{ii} - A_{ij}= D_0\delta_{ij}-A_{ij}$로 주어지므로, 고유값 방정식을 아래와 같이 작성하자. (각 $i$의 연결 차수(degree)는 $D_i=D_0$로서 상수인 그래프임을 유의하자.)

$$ \sum_j L_{ij} v^k_j = \lambda_\mathbf{k} v_i\\ \to \sum_j (D_0\delta_{ij}-A_{ij}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_j} = \lambda_\mathbf{k} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_j} \\ =D_0 e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_i} -\sum_j J(|\mathbf{r}_i -\mathbf{r}_j|)e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_j}. $$

따라서, $\mathbf{r}=\mathbf{r}_j -\mathbf{r}_i$에 대해서 고유값은 다음과 같다.

\begin{align} \lambda_\mathbf{k} &= D_0 - \sum_\mathbf{r} J(|\mathbf{r}|)e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}\\ &=\sum_\mathbf{r} J(|\mathbf{r}|)- \sum_\mathbf{r} J(|\mathbf{r}|)e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \\ &= \sum_\mathbf{r} J(|\mathbf{r}|) \left\{1 - e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \right\}. \end{align}

$$\\$$

라플라시안의 고유값 $\lambda_\mathbf{k} = \sum_\mathbf{r} J(|\mathbf{r}|) \left\{1 - e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \right\}$에 연속체 극한을 취함으로써 다음과 같은 적분 형태의 표현식을 얻을 수 있다.

$$ \lambda(\mathbf{k}) = \int \frac{1 - e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} }{r^{d+\sigma}} \ d^d\mathbf{r}. $$

$d=1$의 경우에 위 적분의 실수부인 $\int \frac{1 - \cos{ \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} }{r^{d+\sigma}} \ d^d\mathbf{r}$를 계산하면 아래와 같은 결과를 얻는다.

$$-\cos\left(\frac{\pi \sigma}{2}\right)\Gamma(-\sigma)|\mathbf{k}|^\sigma, \quad 0 < \sigma < 2.$$

앞선 챕터에서 장거리 상호작용 커널의 푸리에 변환을 계산할 때 고려한 것과 같이, $d$차원에 대해서 일반화함으로써 $\lambda(\mathbf{k}) \sim |\matbhf{k}|^\sigma$라는 결론을 얻는다.

$$ \\ $$