2023 KIAS-APCTP 통계물리 겨울학교 조재윤 교수님 프로젝트 내용 정리입니다.

두 개의 에너지 준위를 가지는 입자 두개로 이루어진 계를 생각해보자. 이 때, 각 입자의 두 에너지 준위 사이의 에너지 차이가 $\hbar \omega$이고 두 입자가 $J$라는 세기로 상호작용하고 있다면 다음과 같은 해밀토니안을 생각할 수 있다. $$H = \frac{\hbar\omega}2\left(\sigma_z^A+\sigma_z^B\right)+\hbar J\sigma_x^A\sigma_x^B$$ 그리고 계의 입자와 외부 환경과의 상호작용을 다음과 같은 항으로 도입하자. $$L_0 = \sigma_-^A,~~L_1=\sigma_A^B,~~\gamma_i = \gamma$$ 여기서 외부 환경은 고려하고자 하는 계에 비해 매우 커서 이러한 상호작용을 도입하더라도 외부 환경은 변하지 않는다고 가정한다.

이를 가지고 린드블라드 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다. $$\dot\rho(t) = -\frac i\hbar[H_f+H_{\text{int}},\rho(t)]+\sum_{i=0}^1\gamma_i\left(L_i\rho(t)L_i^\dagger-\frac12L_i^\dagger L_i\rho(t)-\frac12\rho(t)L_i^\dagger L_i\right)$$ 여기서 $A$와 $B$에 작용하는 연산자가 곱해져 있을 때 이는 실제로 텐서곱을 의미하고, 둘 중 하나에만 작용하는 연산자는 항등연산자와의 텐서곱을 의미한다는 것을 주의해야 한다. 예를 들어, $$ \sigma_-^A = \sigma_-^A\otimes I,\quad\sigma_x^A\sigma_x^B=\sigma_x^A\otimes\sigma_x^B $$ 이다.

위 린드블라드 방정식을 풀 때는 밀도행렬을 열벡터로 펼치고, 각 항에 걸려있는 해밀토니안과 결어긋남 항들을 이 밀도행렬에 걸리는 연산자로 취급해서 푸는 것이 편리하다. 즉, 변환 $$X\rho Y=X\otimes Y^T\vec\rho$$ 를 이용해서 $$\dot{\vec \rho}(t) = M\vec\rho(t)$$ 의 형태로 만들자. 이 때 행렬 $M$을 리우빌리안이라고 부른다. 이렇게 하면, 어떤 양자계의 동역학은 위 리우빌리안 행렬의 고윳값과 고유벡터를 구하는 문제가 된다.

위 변환을 이용해서 우리 계의 리우빌리안을 구해보면 $$M = \left( \begin{array}{cccccccccccccccc} -2 \gamma & 0 & 0 & i J & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -i J & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{3 \gamma }{2}-i \omega & i J & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -i J & 0 & 0 \\ 0 & i J & -\frac{3 \gamma }{2}-i \omega & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -i J & 0 \\ i J & 0 & 0 & -\gamma -2 i \omega & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -i J \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -\frac{3 \gamma }{2}+i \omega & 0 & 0 & i J & -i J & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \gamma & 0 & 0 & 0 & 0 & -\gamma & i J & 0 & 0 & -i J & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & i J & -\gamma & 0 & 0 & 0 & -i J & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \gamma & 0 & i J & 0 & 0 & -\frac{\gamma }{2}-i \omega & 0 & 0 & 0 & -i J & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -i J & 0 & 0 & 0 & -\frac{3 \gamma }{2}+i \omega & 0 & 0 & i J & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -i J & 0 & 0 & 0 & -\gamma & i J & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \gamma & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -i J & 0 & 0 & i J & -\gamma & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \gamma & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -i J & i J & 0 & 0 & -\frac{\gamma }{2}-i \omega & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -i J & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -\gamma +2 i \omega & 0 & 0 & i J \\ 0 & -i J & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \gamma & 0 & 0 & 0 & 0 & -\frac{\gamma }{2}+i \omega & i J & 0 \\ 0 & 0 & -i J & 0 & \gamma & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & i J & -\frac{\gamma }{2}+i \omega & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -i J & 0 & \gamma & 0 & 0 & 0 & 0 & \gamma & 0 & i J & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)$$ 가 된다.

STEADY-STATE ENTANGLEMENT IN BIPARTITE SYSTEMS UNDER THE INFLUENCE OF NON-MARKOVIAN ENVIRONMENTS, Ph.D thesis of Joachim Fischbach